Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Angenommen, ${}F$ gehöre nicht zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ und mit ${}F\not \in {\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist

${}{\mathfrak {m}}=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,$

für gewisse ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Die Eigenschaft ${}F\not \in {\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass ${}F$ im zugehörigen Restekörper nicht ${}0$ ist, und das bedeutet ${}F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$. Wegen ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ist aber ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein Punkt von ${}V$, sodass dort nach Voraussetzung ${}F$ verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage