Wir können direkt annehmen, dass ein
Radikal
ist. Ferner ist es nicht das
Einheitsideal.
Wenn nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung
-
wobei wir als Radikale ansetzen können. Das bedeutet
.
Wegen
ist nach
Fakt (5)
-
Somit gibt es
,
und
.
Daher ist
-
und ist kein Primideal.
Wenn umgekehrt kein Primideal ist, so gibt es Elemente
und
.
Dann ist
und somit
-
Da ein Radikal ist, ist
für alle
.
Nach
Aufgabe
gibt es ein Primideal mit
und
.
Also ist
-
und entsprechend für . Nach
Fakt
ist nicht irreduzibel.