Affines Schema/Irreduzible Teilmenge/Primideal/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ein Radikal ist. Ferner ist es nicht das Einheitsideal. Wenn nicht irreduzibel ist, so gibt es eine nichttriviale Zerlegung

wobei wir als Radikale ansetzen können. Das bedeutet . Wegen ist nach Fakt  (5)

Somit gibt es , und . Daher ist

und ist kein Primideal.

Wenn umgekehrt kein Primideal ist, so gibt es Elemente und . Dann ist und somit

Da ein Radikal ist, ist für alle . Nach Aufgabe gibt es ein Primideal mit und . Also ist

und entsprechend für . Nach Fakt ist nicht irreduzibel.