Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Textabschnitt

Die geometrische Idee zur noetherschen Normalisierung ist, dass man eine abgeschlossene Untervarietät ${}V\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch eine geeignete (und zwar generische) Projektion auf einen niedrigerdimensionalen affinen Raum als geometrisches Objekt ${}V\rightarrow V'$ mit endlichen Fasern über einer Varietät (wobei nicht klar ist, warum das Bild wieder affin-algebraisch ist) ${}V'\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}$ realisieren kann. Bei ${}V'={{\mathbb {A} }_{K}^{n-1}}$ ist man fertig, andernfalls projiziert man weiter. Die Endlichkeit der Fasern wird durch die stärkere Eigenschaft, dass die Abbildung ein endlicher Morphismus ist, sichergestellt. Dass es hinreichend viele Projektionsmöglichkeiten gibt, erfordert im Fall eines endlichen Grundkörpers eine besondere Vorsicht.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom.

Dann gibt es einen ${}K$ -Algebraautomorphismus ${}\varphi$ des Polynomringes derart, dass ${}\varphi (F)$ die Form

${}\varphi (F)=a_{d}X_{n}^{d}+a_{d-1}X_{n}^{d-1}+\cdots +a_{2}X_{n}^{2}+a_{1}X_{n}+a_{0}\,$

mit ${}a_{d}\in K^{\times }$ und mit ${}a_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ für ${}j\leq d-1$ besitzt.

Beweis

Wir nehmen zusätzlich an, dass der Körper unendlich viele Elemente besitzt. Wir betrachten lineare Automorphismen der Form ${}\varphi (X_{i})=X_{i}-c_{i}X_{d}$ für ${}i\leq n-1$ und ${}\varphi (X_{n})=X_{n}$ . Es sei

{}F=\sum _{j=0}^{d}F_{j}\,

die Zerlegung in die homogenen Komponenten. Wir setzen ${}X_{i}=\varphi (X_{i})+c_{i}X_{d}$ . in ${}F$ ein, wobei aus einem Monom ${}a_{\nu }X^{\nu }$ vom maximalen Grad ${}d$ der Ausdruck

a_{\nu }{\left(X_{1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(X_{n-1}+c_{1}X_{n}\right)}^{\nu _{n-1}}\cdot X_{n}^{\nu _{n}}

wird. Wenn man dies ausmultipliziert, so erhält man einen Ausdruck ${}a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ plus eine Summe von Monomen mit Koeffizienten, in denen neben ${}X_{n}$ zumindest noch eine weitere Variable vorkommt. Die Summe über alle Ausdrücke der Form ${}a_{\nu }c_{1}^{\nu _{1}}\cdots c_{n-1}^{\nu _{n-1}}X_{n}^{d}$ zu ${}\nu$ vom Grad ${}d$ stimmt dabei mit