Algebraische Körpererweiterung/Minimalpolynom ist irreduzibel/Umkehrung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${}L$ die Beziehung

${}0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$

Da ${}L$ ein Körper ist, muss ein Faktor ${}0$ sein, sagen wir ${}P_{1}(f)=0$. Da aber ${}P$ unter allen Polynomen ${}\neq 0$, die ${}f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen ${}P$ und ${}P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${}P_{2}$ konstant (${}\neq 0$), also eine Einheit

sein.

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