Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt

   ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

   das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.

2. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

   $R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

   festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien $r,s\in R$ und $u,v\in M$ beliebig):

   1. ${}r(su)=(rs)u$,
   2. ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$,
   3. ${}(r+s)u=(ru)+(su)$,
   4. ${}1u=u$.
3. Zu ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von ${}V$.
4. Der Punkt ${}P$ heißt glatt, wenn

   ${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$

   gilt.

5. Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.
6. Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.

Zur gelösten Aufgabe