Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Eine ebene affin-algebraische Kurve über einem Körper ${}K$ ist das Nullstellengebilde ${}V(F)\subseteq K^{2}$ eines nicht-konstanten Polynoms ${}F$ in zwei Variablen.
2. Man nennt

   ${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$

   das Verschwindungsideal zu ${}T$.

3. Der ${}R$-Modul ${}M$ heißt noethersch, wenn jeder ${}R$-Untermodul von ${}M$ endlich erzeugt ist.
4. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
5. Es sei ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe und es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

   ${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

   die eingesetzte Potenzreihe.
6. Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt.

Zur gelösten Aufgabe