Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

Zu einem Polynom ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$ heißt das Maximum
$\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$

der Grad von ${}F$ .
Die beiden affin-algebraische Mengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit
${}\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$

gibt.
Zu ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ den Koordinatenring von ${}V$ .
Unter dem Spektrum versteht man die Menge der ${}K$ -Algebrahomomorphismen ${}\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$ .
Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.
Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$ .