Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt den Quotientenkörper ${}Q(K[X])$ zum Polynomring ${}K[X]$ den rationalen Funktionenkörper über ${}K$.
2. Eine ${}R$-Algebra ${}A$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt von endlichem Typ, wenn sie die Form

   ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

   besitzt.

3. Das Element heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.
4. Eine stetige Abbildung

   ${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

   heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

   $f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

   zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.

5. Wenn ${}P$ der Nullpunkt ist, was man durch eine lineare Variablentransformation erreichen kann, so sei

   ${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

   die homogene Zerlegung von ${}F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Dann heißt ${}m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$.

6. Unter dem projektiven Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man den Zariski-Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Zur gelösten Aufgabe