Algebraische Raumkurven/Schnitt von zwei gleichgroßen Zylindern/Singuläre Punkte/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, also den Schnitt ${}C$ der beiden Zylinder, die durch

$F=x^{2}+y^{2}-1{\text{ und }}G=x^{2}+z^{2}-1$

gegeben sind. Die partiellen Ableitungen sind

$\partial F=(2x,2y,0){\text{ und }}\partial G=(0,2y,2z).$

Ein singulärer Punkt liegt vor, wenn diese durch die Jacobi-Matrix definierte Abbildung einen Rang ${}\leq 1$ hat, und dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden partiellen Ableitungstupel linear abhängig sind (und es ein Punkt der zugehörigen Varietät ist). Wegen der beiden Nullen kann lineare Abhängigkeit nur bei ${}x=z=0$ vorliegen, und dort liegt sie für beliebiges ${}y$ auch vor. Bei ${}x=z=0$ ergibt allerdings nur ${}y=\pm 1$ einen Punkt der Kurve, und das sind die beiden singulären Punkte von ${}C$. Dies sind natürlich genau die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise, die nach Beispiel die irreduziblen Komponenten von ${}C$ sind.

Wenn die Radien der beiden Zylinder nicht gleich groß sind, sagen wir ${}r_{1}\neq r_{2}$, so funktioniert die Bestimmung der singulären Punkte zunächst genau gleich, und man gelangt zur Bedingung ${}y^{2}=r_{1}$ und ${}y^{2}=r_{2}$, die nicht beide zugleich erfüllt sein können. Bei unterschiedlichen Radien ist die Schnittkurve also glatt.