Allgemeine lineare Gruppe/Operation auf Punktkonfiguration/Situation/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Die natürliche Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${}G=\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ besitzt nur zwei Bahnen, nämlich den Nullpunkt ${}0$ und ${}V\setminus \{0\}$. Je zwei von ${}0$ verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten ${}g\in G$ ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten.

Ein ${}g\in G$ transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt ${}v\in V$ (einen Vektor), sondern beliebige Teilmengen ${}T\subseteq V$. Die Frage, ob zwei Teilmengen ${}T_{1},T_{2}\subseteq V$ mittels einem ${}g\in G$ ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert (die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein). Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ und betrachten Punkttupel

$(P_{1},\ldots ,P_{n})\in V^{n},$

die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in ${}V$ vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass ${}P_{i}=P_{j}$ ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V^{n}\longrightarrow V^{n},\,(g,v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\longmapsto (g(v_{1}),g(v_{2}),\ldots ,g(v_{n})),$

gegeben.

Im einfachsten Fall, bei ${}V=K$, geht es um die Operation der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ auf ${}K^{n}$ durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf ${}K^{n}\setminus \{0\}$ eingeschränkte Operation besitzt den ${}n-1$-dimensionalen projektiven Raum als Quotienten.