Allgemeine und spezielle lineare Gruppe/Determinante/Isomorphiesatz/Beispiel

Die Determinante

$\det \colon \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{\times },\,M\longmapsto \det M,$

ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der Kern ist nach Definition die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$. Nach dem Isomorphiesatz gibt es eine kanonische Isomorphie

${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}/\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\cong K^{\times }\,.$