Allgemeines Zentralfeld/Form der Lösung/Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ . Es sei

I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),

ein Zentralfeld, d.h. ein Vektorfeld ${}f$ vom Typ

{}f(t,v)=g(t,v)\cdot v\,

g\colon I\times U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(t,v)\longmapsto g(t,v).

Zeige, dass zu einem fixierten ${}w\in U$ die Lösungen

\alpha \colon J\longrightarrow \mathbb {R}

der eindimensionalen Differentialgleichung

y'=h(t,y):=g(t,yw)y{\text{ mit }}\alpha (t_{0})=1

zu Lösungen der Differentialgleichung

v'=f(t,v){\text{ mit  }}v(t_{0})=w

führen.