Alternierende Gruppe/Polynomring/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Gleichheit rechts ergibt sich aus Fakt und Fakt. Auf operiert die Restklassengruppe wie in Fakt beschrieben. Es sei das nichttriviale Element daraus. Dieses wird repräsentiert durch eine beliebige ungerade Permutation, etwa durch eine Transposition. Es sei ein Polynom, das invariant unter der alternierenden Gruppe ist. Nach Fakt  (3) ist unabhängig von dem gewählten Repräsentanten . Es ist

wobei die beiden Summanden symmetrisch bzw. signumsinvariant sind. Dies überprüft man, indem man die (geraden oder ungeraden) Permutationen darauf anwendet. Die Summe ist direkt, da der Durchschnitt ist: Ein Polynom, das sowohl symmetrisch als auch signumsinvariant ist, muss sein.