Alternierende Stammbrüche/2 zu 1 Vertauschung/Konvergenz/Divergente Umordnung/Aufgabe/Lösung
a) Drei aufeinanderfolgende Summanden haben die Form
mit . Dies kann man schreiben als
Der Zähler ist und der Nenner ist für . Somit kann man die Summanden für durch
nach oben abschätzen. Da nach Beispiel die Reihe der Kehrwerte der Quadrate konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch diese Reihe.
b) Da die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe der Stammbrüche zu den ungeraden Zahlen, die in die gegebene Reihe positiv eingehen. Wir betrachten die Umordnung, bei der abwechselnd von den noch nicht verarbeiteten positiven Glieder so viele genommen werden, bis ihre Summe erreicht, und sodann ein negatives Glied genommen wird. Also
Eine solche Zwischensumme ist
.