Alternierende Summe/Induktion/Aufgabe/Lösung

Bei ${}n=1$ besteht die Summe links aus dem einzigen Summanden ${}(-1)^{1}1=-1$, die Summe ist also ${}-1$. Da ${}1$ ungerade ist, steht rechts ${}-{\frac {2}{2}}=-1$, der Induktionsanfang ist also gesichert.

Sei die Aussage nun für ${}n$ bewiesen, und es ist die Gültigkeit der Aussage für ${}n+1$ zu zeigen. Die Summe links ist

${}\sum _{k=1}^{n+1}(-1)^{k}k={\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}k\right)}+(-1)^{n+1}(n+1)\,.$

Bei ${}n$ gerade (also $n+1$ ungerade) ist dies nach Induktionsvoraussetzung gleich

${}{\frac {n}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)={\frac {n}{2}}-(n+1)={\frac {n-2n-2}{2}}={\frac {-n-2}{2}}=-{\frac {n+2}{2}}\,,$

was mit der rechten Seite übereinstimmt. Bei ${}n$ ungerade (also $n+1$ gerade) ist die Summe nach Induktionsvoraussetzung gleich

${}-{\frac {n+1}{2}}+(-1)^{n+1}(n+1)=-{\frac {n+1}{2}}+(n+1)={\frac {-n-1+2n+2}{2}}={\frac {n+1}{2}}\,,$

was ebenfalls mit der rechten Seite übereinstimmt.

Zur gelösten Aufgabe