Analysis 1/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

   $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$

   das Urbild von ${}T$ unter ${}F$.

2. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Die Familie ${}a_{i}$, ${}i\in I$, heißt summierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {C} }$ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ derart, dass für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$ die Beziehung

   ${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt. Dabei ist ${}a_{E}=\sum _{i\in E}a_{i}$.

4. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.
5. Man nennt die Menge ${}E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}$ den Epigraphen der Funktion.
6. Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion

   $y\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto y(t),$

   auf einem mehrpunktigen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$, die folgende Eigenschaften erfüllt.

   1. Es ist ${}(t,y(t))\in U$ für alle ${}t\in I$.
   2. Die Funktion ${}y$ ist differenzierbar.
   3. Es ist ${}y'(t)=f(t,y(t))$ für alle ${}t\in I$.

Zur gelösten Aufgabe