Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine Teilmenge. Dann ist ${}T$ genau dann kompakt, wenn jede Folge in ${}T$ eine in ${}T$ konvergente Teilfolge besitzt.
2. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

   $f\colon I\longrightarrow V$

   eine Abbildung. Es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es seien

   $f_{j}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   die zugehörigen Komponentenfunktionen von ${}f$. Es sei ${}t\in I$. Dann ist ${}f$ genau dann differenzierbar in ${}t$, wenn sämtliche Funktionen ${}f_{j}$ in ${}t$ differenzierbar

   sind.
3. Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung derart, dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt

   $D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$

Zur gelösten Aufgabe