Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition

Konvergente Folge (metrischer Raum)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in \mathbb {R}$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}d{\left(x_{n},x\right)}\leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert), andernfalls, dass sie divergiert.