Normen, Metriken, Topologie

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verwendet (siehe Wiki2Reveal). Ferner gibt es ein Quiz zu dieser Lernressource.

Intro

Topologischer Raum

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Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich

  • intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und
  • „Konvergenz gegen“ aus den reellen Zahlen   bzw. aus dem  

auf viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen (wie z.B. die Topologie von Funktionenräumen).

Topologie allgemein

Definition - Topologie

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Eine Topologie ist ein Mengensystem   bestehend aus Teilmengen (offene Mengen genannt) einer Grundmenge  , für die die folgenden definierenden Eigenschaften erfüllt sind

  • (T1)  
  • (T2)   für alle  .
  • (T3) Für eine beliebige Indexmenge   und   für alle   gilt:  .

Eine Menge   zusammen mit einer Topologie   auf   heißt topologischer Raum  .

Definition Topologie

Bemerkung - abgeschlossene Mengen

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Mit der Definition aller offenen Mengen in   durch die Topologie   sind auch alle abgeschlossenen Mengen als Komplement einer offenen Menge   definiert.

 

Definition - offener Kern einer Menge

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Sei in   in dem topologischen Raum  , dann ist der offene Kern   als die "größte" in   enthaltene offene Menge definiert:

 

Bemerkung - offener Kern

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Da in der Defintion   als Vereinigung von offenen Mengen   dargestellt ist, ist   offen nach Eigenschaft (T3).

Definition - Abschluss einer Menge

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Sei in   in dem topologischen Raum  , dann ist der Abschluss   als die "kleinste" abgeschlossene Menge definiert, die   enthält:

 

Bemerkung - Abschluss einer Menge

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Da in der Defintion   als Schnitt von abgeschlossenen Mengen   mit   dargestellt ist, ist   als Komplement einer beliebigen Vereinigung von offenen Mengen abgeschlossen:

 

Definition - Rand einer Menge

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Sei   eine Menge in dem topologischen Raum  , dann der Rand einer Menge aus dem Abschluss der Menge   ohne den offenen Kern   von  . Der Rand wird daher wie folgt definiert:

 .

Bemerkung

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Die Mengen   sind per Definition offen und wechselseitig bilden die beiden Mengen jeweils die Komplemente zu einander. Damit sind diese beiden Mengen zugleich offen und abgeschlossen. Daher haben die beiden Mengen keine Randpunkte.

Definition - Umgebung

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Sei   und   eine Menge in einem topologischen Raum  , dann heißt der   Umgebung von  , wenn eine offene Menge   existiert mit:

 

Die Menge aller Umgebungen von   bzgl. der Topologie   wird mit   bezeichnet.   bezeichnet die Menge aller offenen Umgebungen von  .

Definition - Umgebungsbasis

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Sei   und   ein Mengensystem in einem topologischen Raum  , dann heißt   Umgebungsbasis von  , wenn gilt:

  • (B1)  
  • (B2) zu jeder Umgebung   eine Umgebung   mit  

Beispiel

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Die Menge der offenen  -Umgebungen   in   mit der vom Betrag   erzeugten euklidischen Topologie   ist eine Umgebungsbasis von  .

Bemerkung

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Die Begriff der Umgebungsbasis hilft dabei, Konvergenzaussagen nur für die Umgebungsbasis nachzuweisen und damit auch die Aussagen für beliebige Umgebungen ebenfalls zu erhalten. In der Analysis verwendet man  -Umgebungen in Definitionen ohne den topologischen Aspekt der Umgebungsbasis explizit zu thematisieren. Man hat die Aussagen streng genommen nicht für beliebige Umgebungen gezeigt hat, sondern nur für die Umgebungsbasis aus den  -Umgebungen.

Definition - Basis der Topologie

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Sei   ein Mengensystem in einem topologischen Raum  , dann heißt   Basis von  , wenn gilt:

  • (BT1)  
  • (BT2) zu jeder offenen Menge   gibt es eine offene Menge   mit  

Beispiel

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Die Menge aller offenen Intervalle   ist eine Basis der Topologie in dem topologischen   mit der vom Betrag   erzeugten euklidischen Topologie  .

Bemerkung - Merkhilfe

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Für die Unterscheidung der Begriffe

  • "Umgebungsbasis" und
  • "Basis der Topologie"

für einen topologischen Raum   kann man folgende Merkhilfe aus der Terminologie ableiten.

Merkhilfe - Umgebungsbasis

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Der Begriff "Umgebungsbasis" enthält den Begriff "Umgebung". Damit ist die Umgebungsbasis eine Teilmenge aller Umgebungen   von einem Punkt  .

Merkhilfe - Basis der Topologie

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Der Begriff der "Basis der Topologie" bezieht auf die "Topologie"   - also auf das System aller offenen Menge in dem Raum  .

Konvergenz in topologischen Räumen

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In der Analysis ist die Konvergenz von Folgen eine zentrale Definition, um darauf aufbauende Begriffe wie Stetigkeit, Differenz und Integrale zu definieren. Folgen   mit   als Indexmenge sind in allgemeinen topologischen Räumen ungeeignet Konvergenz zu definieren, da die Indexmenge   bzgl. der Umgebungsbasis nicht mächtig genug ist. Dies ist nur dann möglich, wenn der topologische Raum eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Daher geht man entweder zu Netzen oder Filtern über

Beispiel: Topologie auf Texten

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In der Regel geht man davon aus, dass Topologien auf mathematischen Räumen definiert werden (z.B. Zahlenräume, Funktionenräume, (topologische) Gruppen, Vektorräume, ...). Die Allgemeinheit der Definition macht es aber auch möglich, eine Topologie auf Texten zu definieren. Dieses Beispiel wurde ergänzt, weil rein anschaulich z.B. Texte in der deutschen Sprache

  • eine ähnliche Aussage haben können und
  • unterschiedliche Wörter verwenden.

Diese Ähnlichkeit der Semantik oder auch Syntax wird als Übung in "Topologie auf Texten" näher untersucht.

Ähnlichkeit von Wörter durch Metrik beschreiben

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Stellen Sie von gesprochenen Wörtern die Buchstabenanzahl und die Menge der vorkommenden Buchstaben als Tabelle dar. Wie kann man aus der tabellarische Aufstellung einen Abstand von Wörtern ableiten. machen Sie dazu einen Vorschlag. Welche Eigenschaften hat die von Ihnen vorgeschlagene Abstandsfunktion. Ist es eine Metrik auf dem Raum der Wörter?

Aufgabe - Abstand zwischen Wörtern

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  • Betrachten Sie die Wörter "Eimer", "Eimr", "Eimerr". Wie können Sie die Unterschiede der Wörter durch eine Metrik ausdrücken
  • Phonetische Ähnlichkeit Wörter "Aihmähr" und "Eimer" haben eine phonetische Ähnlichkeit, aber von der Sequenz von Buchstaben unterscheiden sich die Schreibweisen stark. Wie können Sie Ähnlichkeit von gesprochen Wörtern (Spracherkennung) durch eine phonetische Schreibweise notieren und in dieser Notation der Phoneme eine Ähnlichkeit der Wörter ebenfalls ausdrücken.

Klassifikation topologischer Räume

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Hierarchie Topologischer Räume

Bedeutung: Notation Topologie

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  • (T1)   leere Menge und die Grundmenge   sind offene Mengen
  • (T2)   für alle  : Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
  • (T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge.

Semantik: Metrik

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Eine Metrik   ordnet mit   zwei Elementen   aus einem Grundraum   den Abstand   zwischen   und   zu.

Definition: Metrik

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Sei   eine beliebige Menge. Eine Abbildung   heißt Metrik auf  , wenn für beliebige Elemente  ,   und   von   die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  • (M1) Trennung:  ,
  • (M2) Symmetrie:  ,
  • (M3) Dreiecksungleichung:  .

Definition: Metrischer Raum

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Sei   auf   eine Metrik, dann nennt bezeichnet mit   eine metrischen Raum.

Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum ist.

Veranschaulichung: Metrik Dreiecksungleichung

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Nicht-Negativität

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Aus den drei Eigenschaften der Metrik folgt die Nicht-Negativität, d.h. für alle   gilt.  . Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Eigenschaften mit:

 

 

Definition - Halbmetrik

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Sei   eine beliebige Menge. Eine Abbildung   heißt Pseudometrik, Halbmetrik oder Spanne, wenn für beliebige Elemente  ,   und   von   die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • (HM1)  ,
  • (HM2)   (Symmetrie) und
  • (HM3)   (Dreiecksungleichung).

Offene Mengen in metrischen Räumen

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  • In einem metrische Raum   definiert man eine Menge   als offen (d.h.  ), wenn es zu jedem   ein   gibt, dass die  -Kugel   ganz in   liegt (d.h.  )
  • Zeigen Sie, dass mit diesem definierten   das Paar   ein topologischer Raum ist (d.h. (T1), (T2), (T3) erfüllt).

Norm auf Vektorräumen

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Eine Norm ist eine Abbildung   von einem Vektorraum   über dem Körper   der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen  . Dabei ordnet die Norm jedem Vektor   seine Länge   zu.

Definition: Norm

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Sei   ein  -Vektorraum und   eine Abbildung Erfüllt   die folgenden Eigenschaften N1,N2, N3, so heißt   Norm auf  .

  • (N1) Definitheit:   für alle  ,
  • (N2) absolute Homogenität:   für alle   und  
  • (N3) Dreiecksungleichung:   für alle  .

Definition Halbnorm

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Gelten für ein Funktional nur die Bedingungen (N2) und (N3) dann nennt man dieses Funktional Halbnorm.

Bemerkung: N1

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Das Eigenschaft (N1) ist eigentlich eine Äquivalenz und es gilt in jedem normierten Raum (  ist der Nullvektor in   und   ist die Null im Körper  , wenn   ein  -Vektorraum ist).

  • (N1)' Definitheit:   für alle  ,
  • Da man für Definitionen ein Minimalitätsprinzip für die definierenden Eigenschaft verwendet, würde man keine stärkere Formulierung (N1)' in der Definition für (N1) verwenden, da die Äquivalenz aus den definierenden Eigenschaften der Norm den Eigenschaften des Vektorraumes bereits für jeden normierten Raum folgen.
 

Normierter Raum / Metrischer Raum

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Ein normierter Raum   ist zugleich auch ein metrischer Raum.

  • Ein Norm   ordnet einem Vektor   seine Vektorlänge   zu.
  • Mit der Norm   kann man über   eine Metrik definieren, die den Abstand zwischen   und   angibt.

Aufgabe: Metrik aus gegebener Norm generieren

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Sei   ein normierter Raum mit der Norm  . Zeigen Sie, dass die definierte Abbildung   mit   die Eigenschaften einer Metrik erfüllt.

Notation: Norm

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  • In der Eigenschaft (N2)   bezeichnet   den Betrag des Skalars. " "-Zeichen: Äußere Verknüpfung im Vektorraum bzw. Multiplikation  .
  •   gibt die Länge des Vektors   an.
  • In (N3)   für alle  . " "-Zeichen bezeichnet zwei unterschiedliche Verknüpfungen (d.h. Addition in   bzw.  

Veranschaulichung: Norm Dreiecksungleichung

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Def: Konvergenz im normierten Raum

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Sei   ein normierter Raum und   eine Folge in   und  :

 
audio15_def_konvergenz_norm.ogg

Def: Konvergenz im metrischen Raum

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Sei   ein metrischer Raum und   eine Folge in   und  :

 

Def: Cauchy-Folgen in metrischen Räumen

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Sei   ein metrischer Raum und   eine Folge in  .   heißt Cauchy-Folge in  :

 

Äquivalenz: Normen

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Seien zwei Normen   und   auf dem  -Vektorraum   gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

 

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in   konvergiert, wenn es auch bzgl.   konvergiert.

audio17_aequivalenz_normen.ogg

Äquivalenz von topologieerzeugende Funktionalen

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Die Äquivalenz von Normen ist ein Spezialfall von topologieerzeugende Funktionalen, sogenannten Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen.

Betrag in komplexen Zahlen

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Sei   eine komplexe Zahl mit  . Zeigen Sie, dass   eine Norm auf dem  -Vektorraum   ist!

audio18_norm_komplexe_zahlen.ogg

Historische Anmerkung: Norm

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Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt. Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand   zwischen Vektoren   und   verwendet.

Aufgaben

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In den folgenden Aufgaben geht es darum, definierende Eigenschaften einer Norm, einer Metrik oder allgemein eines topologischen Raumes nachzuweisen.

Aufgabe: Metrische Räume

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Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung   auf   mit   als Menge der stetigen Abbildungen von dem Intervall   nach   eine Metrik ist.

  mit  

Weisen Sie also die 3 Eigenschaften einer Metrik   nach. Berechnen Sie dann den Abstand zwischen den beiden Funktionen   und   mit   und mit  !

Optionale Aufgabe: Normierte Räume

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Zeigen Sie, dass der metrische Raum   mit

 

nicht vollständig ist. Betrachten Sie dazu z.B. stetige Funktionen, die stückweise aus linearen und konstanten Funktionen definiert sind.

Funktionenfolge definieren

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Sei   und definieren Sie eine Funktionenfolge   mit expliziten Funktionen   mit Funktionsterm.

  •   für alle   für alle  .
  •   für alle  .
  • der Graph von   interpoliert die Punkte     bzw.   und  .

Zeigen Sie, dass   eine Cauchy-Folge in dem oben definierte Funktionenraum   ist und die Folge keinen Grenzwert in   besitzt.

Aufgabe: Topologische Räume

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Betrachten Sie als Grundmenge des toplogischen Raumes das Intervall   und die Mengen  , die die Topologie   enthalten soll. Erweitern Sie die Erzeugermenge minimal   mit weiteren Menge, damit  mit   zu einem topologischen Raum wird.

  •   besteht aus 3 offenen Intervallen
  •   besteht aus 2 offenen Intervallen
  •  , wobei der Erzeuger der Topologie alle Einpunktmengen aus   enthalten soll.

Siehe auch

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Seiteninformation

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Diese Lernresource wurde als Wiki2Reveal Foliensatz erstellt.

Wiki2Reveal

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Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

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