Definition: Äquivalenz von Normen Bearbeiten

Seien zwei Normen   und   auf dem  -Vektorraum   gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

 

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in   konvergiert, wenn diese Folge auch bzgl.   konvergiert.

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Theorem: Normenäquivalenzsatz Bearbeiten

Auf endlichdimensionalen  -Vektorräumen   mit   sind alle Normen äquivalent.

Beweisidee Bearbeiten

Man zeigt in dem Beweis, dass eine beliebige Norm   auf   äquivalent zu einer speziellen Norm   ist und nutzt die Eigenschaft aus, dass die Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation ist. In dem Beweis der Ungleichungskette für die beiden Normen geht der Satz von Bolzano-Weierstraß für endlich dimensionale Vektorräume ein, um die Abschätzung zu zeigen, dass ein   existiert mit   für alle   gilt.

Beweis 1: Definition einer Norm Bearbeiten

Dabei ist die Norm   bezüglich einer frei wählbaren Basis   auf   wie folgt definiert:

 

wobei   der Koordinatenvektor von   bezüglich der Basis   ist, der für jedes   eindeutig bestimmt ist, d.h. es gilt

 ,

Beweis 2: Abschätzung nach oben Bearbeiten

Sei   beliebig gewählt, dann gilt unter Verwendung der Homogenität einer Norm und der Dreiecksungleichung:

 ,

Beweis 3: Abschätzung nach unten Bearbeiten

Wir betrachten nun die Einschränkung der Funktion . Man definiert dazu den Rand der Einheitskugel   bzgl. der beliebig gewählten Norm  .

Die Menge   ist bezüglich   eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von   (bzw.  ). Für endlich dimensionale  -Vektorräume ist eine solche Menge nach dem von Satz von Heine-Borel kompakt.

Beweis 4: Abschätzung nach unten - Min/Max Bearbeiten

Das Minimum und Maximum der stetigen Funktion   existiert nach dem Satz von Weierstrass und wird durch ein Element   auf dem kompakten Definitionsbereich angenommen.

  • Minimum:  
  • Maximum:  

für geeignet gewähltes  . Weil   gilt,   und   und weil auch   eine Norm auf dem endlichdimensionalen Vektorraum   ist, muss   und   gelten.

Beweis 5: Abschätzung nach unten Bearbeiten

Mit der Fallunterscheidung für   und   erhält man mit:

  • Fall 1:   sowohl  , weil beide Abbildungen   und   Normen sind. Damit gilt auch   für eine beliebige  .
  • Fall 2:   gilt  . Ferner gilt  .

Beweis 6: Abschätzung nach unten Bearbeiten

Da in Fall 1 ein beliebiges   die Abschätzung nach unter erfüllt, erhält man das   der Abschätzung nach unten für   mit   über:

 

Beweis 7: Abschätzung gesamt Bearbeiten

Insgesamt liefern die Beweisschritte 2,5 und 6 für alle   aus dem endlichdimensionalen Vektorraum   die gesuchte Ungleichung:

 .

Damit sind die beiden Normen   und   äquivalent.

Beweis 8: Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation Bearbeiten

Die Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation. Da die Norm   beliebig auf   gewählt war, sind mit dem obigen Beweis alle Normen äquivalent zur Norm  . Da Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen auf   ist, sind alle Normen in einem endlichdimensionalen Vektorräume äquivalent. q.e.d.

Bemerkung Bearbeiten

Diese Aussage gilt nicht mehr auf unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen, da dort die Einheitskugel zwar abgeschlossen und beschränkt ist, aber nicht mehr kompakt.

Aufgaben Bearbeiten

  • (A1) (Konvergenz) Sei   ein beliebiger  -Vektorraum (nicht notwendig endlichdimensional). Ferner seien zwei Normen   und   auf   gegeben, die äquivalent sind. Zeigen Sie, dass eine Folge   genau dann in   konvergiert, wenn diese auch in   konvergiert.
  • (A2) (Äquivalenzrelation) Zeigen Sie, dass Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen ist.
  • (A3) (Abschätzung nach oben) In Beweisschritt 4 wird ebenfalls das Maximum   mit   auf dem Kompaktum angenommen. Wie können Sie den Beweisschritt 2 durch ein solches Argument für die Abschätzung nach durch das Maximum ersetzen?

Bemerkung zu (A3) Bearbeiten

Der erste Beweisteil zeigt noch einmal den grundlegenden Umgang mit Normen bzgl. der Dreieckungleichung und Homogenität. Der Beweis kann durch die Ersetzung Beweisschritt 4 verkürzt werden.

Siehe auch Bearbeiten

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