Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra 
Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren

Einführung Bearbeiten

Gegebenen sei ein reeller Vektorraum  . Eine Linearkombination heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten   aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller   für die Vektoren   mit   1 ergibt:

 

Konvexkombinationen in der Ebene Bearbeiten

Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum  . Zunächst betrachten wir in   Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung   sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist  , dann setzt man z.B.   und  .

Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum Bearbeiten

Betrachtet man nun eine Abbildung  , so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren   wie folgt über die Abbildung   darstellen:

 

Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung Bearbeiten

 
Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation

Konvexkombinationen von 2 Vektoren in Funktionenräumen Bearbeiten

Die Behandlung von Konvexkombination mit   oder   liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien  , so entsteht mit   und   eine neue Funktion   mit:

 

Der Index   in   wird verwendet, da in Abhängigkeit von   eine andere Funktion   definiert wird.

Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen Bearbeiten

Sei   und als erste Funktion   wird ein Polynom definiert.

 

Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion   gewählt.

 

Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination  

Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen Bearbeiten

Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen[1].

 
Konvexkombination von zwei Funktionen in Geogebra

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Bemerkung - Deformation Bearbeiten

Wenn die erste Funktion   die Ausgangsform beschreibt und   die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben.

Konvexkombinationen von Konvexkombinationen Bearbeiten

In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus 2 Konvexkombination der Ordnung   eine Konvexkombinationen der Ordnung  .

Konvexe Hülle Bearbeiten

Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als konvexe Hülle (siehe auch p-konvex Hülle).

Video Konvexkombinationen in der Ebene Bearbeiten

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Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra Bearbeiten

In dem Video sieht man Konvexkombinationen der

  • 1. Ordnung zwischen   und   ohne Hilfspunkte,
  • 2. Ordnung zwischen   und   mit dem Hilfspunkt  ,
  • 3. Ordnung zwischen   und   mit den Hilfspunkten  ,

Konvexkombinationen als Polynome von t Bearbeiten

Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum   stammen (siehe auch Polynomalgebra). Wählt man z.B.   kann man eine Konvexkombinationen   als Element der Polynomalgebra   auffassen.

3D-Konvexkombination - 1. Ordnung Bearbeiten

Wählt man z.B.   und  , so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert

 

Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument  . Stellen Sie die Konvexkombination in Geogebra 3D mit   dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor).

3D-Konvexkombination - 2. Ordnung Bearbeiten

Wählt man wieder   und   mit einem Hilfpunkt  , so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung.

 

Stellen Sie   als Polynom   dar.

Koeffizienten Bearbeiten

Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren:

  •  
  •  
  •  

Aufgabe für Studierende Bearbeiten

  • Berechnen Sie nun für   ( ) die Koeffizienten in  .
  • Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken?

Bernsteinpolynom - Ordnung 1 Bearbeiten

 

Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 Bearbeiten

 

Bernsteinpolynom - Ordnung 2 Bearbeiten

 

Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 Bearbeiten

 

Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 Bearbeiten

  • Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von  . Verwenden Sie dazu die Notation   und   für Konvexkombinationen der Ordnung   zwischen den Punkten   und   mit den Hilfpunkten  .
  • Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion.
 

Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt Bearbeiten

Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen:

Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra

Konvexkombination als Abbildung Bearbeiten

Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten   und   verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte  ,....  für eine Konvexkombination  -ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall   nach   wie folgt auffassen:

 

Konvexkombinatioen in Geogebra - Download Bearbeiten

In Geogebra kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem

In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren  ) behandelt.

Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum Bearbeiten

Konvexkombination 1. Ordnung Bearbeiten

  • Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten  .
 

Konvexkombination 2. Ordnung Bearbeiten

  • Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte   in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung:
  (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen  )
  (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen  )
  (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen   mit dem Hilfpunkt  )

Konvexkombination 3. Ordnung Bearbeiten

Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte   in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung:

  (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen  )
  (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen  )
  (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen  )

Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung Bearbeiten

Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt:

  (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen   mit dem Hilfpunkt  )
  (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen   mit dem Hilfpunkt  )

Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung Bearbeiten

Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt:

  (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen   mit den Hilfpunkten  )

Konvexkombinationen n-ter Ordnung Bearbeiten

Allgemein hat eine Konvexkombination  -ter Ordnung

  •   Hilfspunkte  
  •   Konvexkombinationen 1. Ordnung,
  •   Konvexkombinationen 2. Ordnung,
  • ...
  •   Konvexkombinationen  -ter Ordnung,
  • ...
  •   Konvexkombination n-ter Ordnung,

In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe Bezier-Kurven)

Konvexkombination von Funktionen Bearbeiten

Sei   ein Definitionbereich von Funktionen und   ein Vektorraum über dem Körper   (z.B.   und   die Menge der stetigen Funktionen von   nach  . Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen   mit   ist definiert durch:

 

mit

 


Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren Bearbeiten

Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren   erfolgt.

Konvexkombinationen aus 3 Vektoren Bearbeiten

Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern   und Vektoren   über:

 

und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren   als Extremalpunkte definiert wird:

 

Konvexkombinationen aus 4 Vektoren Bearbeiten

Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung  

 
 

Die Abbildung   stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von   dar.

 

Aufgabe Bearbeiten

  • (Geogebra) Analysieren Sie die Geogebra-Beispieldateien und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra.
  • Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)?
  • (Interpolation) Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra.

Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung Bearbeiten

  • (Konvexkombination 3-ter Ordnung) Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im   mit Maxima CAS (siehe auch Maxima Tutorial der FH-Hagen).
K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3
Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit:
A : matrix( [-1], [3], [-4] )
  • (Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines) Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden?

Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen Bearbeiten

  • (Konvexkombination von Funktionen) Wählen Sie     und stellen die Konvexkombination von   und   in Geogebra mit einem Schieberegler   (analog zur GIF-Animation), wobei   und   ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen?   ist beschränkt und   ist unbeschränkt auf  . Welche Eigenschaft hat   für  ?
  • (Konvexkombinationen und Polynomalgebren) Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung   mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von   zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum   allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch Polynomalgebra und Bezierkurven)

Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus Bearbeiten

  • (Bernsteinpolynome) Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit Bernsteinpolynomen und Bezierkurven. Bernsteinpolynome für einen bestimmten Grad   stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1
 

Interpolationen Bearbeiten

Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form   interpoliert werden. Dabei sind die Punkte   Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen   stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen   die funktionale Darstellung   mit  :

 

Berechnung von t in Abhängigkeit von x Bearbeiten

Gegeben sei  . Wir berechnen nun das zugehörige   für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass   für   und   für   sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation  .

 

Berechnung des Funktionswertes zu x Bearbeiten

Die Konvexkombination

 

liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes  . Also verwenden wir den folgende Term:  .

CAS4Wiki Bearbeiten

The CAS4Wiki plot of the trace of a threedimensional convex combination of order 3.

CAS4Wiki Commands

 

Funktionale Darstellung Bearbeiten

Durch Einsetzen für   erhält man die lineare Interpolationsfunktion   über:

 .

Aufagben Bearbeiten

  • Berechnen Sie die Koeffizienten   der Funktion   mit  !
  • Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert.
  • Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen.

Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 Bearbeiten

 

Geogebra: Interaktives Applet - Download: Geogebra-File


 

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Aufgabe für Studierende Bearbeiten

Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme:

  • Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung,
  • An den Knotenpunkten des offenen Polygonzuges erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind).
  • Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug.
  • Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung?

Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens.

Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen Bearbeiten

Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim Morphing gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet.

 

Konvexkombination für Graustufenbilder Bearbeiten

Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in Octave Image Processing v7.3.0 bzw. Octave Image Processing v5.2.0. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß)

Konvexkombination für Farbbilder Bearbeiten

  • Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden.
  • Eine große digitale Farbpalette wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. Rot, Grün, Blau RGB. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden.

Räumliche Bewegung von Pixeln Bearbeiten

  • In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird.
  • Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort   in der Bildmatrix nach   bewegt und sich auf dem Weg von   nach   die Farbe von gelb nach blau wechselt.

Siehe auch Bearbeiten

Wiki2Reveal - Folien Bearbeiten

Quellennachweis Bearbeiten

  1. Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )

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