Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle

Einführung

Für $p$ -Normen in $p$ -Regularitätsbeweisen bzw. $p$ -Halbormen beim Nachweis der PC-Regularität benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute $p$ -konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf pseudokonvexe Räume benötigt den Begriff der (absolute) $p$ -konvexen Hülle (siehe Köthe 1966^[1]).

Definition: p-konvex

Sei ${\textstyle M}$ eine Teilmenge eines Vektorraums ${\textstyle V}$ und ${\textstyle 0<p\leq 1}$ , dann heißt ${\textstyle M}$ ${\textstyle p}$ -konvex, wenn gilt

\forall _{\displaystyle x,y\in M;\lambda ,\mu \geq 0}:\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1\,\Longrightarrow \,\lambda x+\mu y\in M

Definition: absolut p-konvex

Sei ${\textstyle M}$ eine Teilmenge eines Vektorraums ${\textstyle V}$ und ${\textstyle 0<p\leq 1}$ , dann heißt ${\textstyle M}$ absolut ${\textstyle p}$ -konvex, wenn gilt

\forall _{\displaystyle x,y\in M}:|\lambda |^{p}+|\mu |^{p}\leq 1\,\Longrightarrow \,\lambda x+\mu y\in M

Definition: p-konvexe Hülle

Die ${\textstyle p}$ -konvexe Hülle der Menge ${\textstyle M}$ (Bezeichnung: ${\textstyle {\mathcal {C}}_{p}(M)}$ ) ist der Schnitt über alle ${\textstyle p}$ -konvexen Mengen, die ${\textstyle M}$ enthalten.

{\mathcal {C}}_{p}(M):=\displaystyle \bigcap _{\stackrel {{\widetilde {M}}\supseteq M}{{\widetilde {M}}\,p-konvex}}{\widetilde {M}}

Definition: absolut p-konvexe Hülle

Die absolut ${\textstyle p}$ -konvexe Hülle der Menge ${\textstyle M}$ (Bezeichnung: ${\textstyle \Gamma _{p}(M)}$ ) ist der Schnitt über alle absolut ${\textstyle p}$ -konvexen Mengen, die ${\textstyle M}$ enthalten.

\Gamma _{p}(M):=\displaystyle \bigcap _{\stackrel {{\widetilde {M}}\supseteq M}{{\widetilde {M}}\,absolut\,p-konvex}}{\widetilde {M}}

Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle

Sei ${\textstyle M}$ eine Teilmenge eines Vektorraums ${\textstyle V}$ über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ und ${\textstyle 0<p\leq 1}$ , dann lässt sich die absolut ${\textstyle p}$ -konvexe Hülle von ${\textstyle M}$ wie folgt schreiben:

\Gamma _{p}(M)=\left\{\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}\,:\,n\in \mathbb {N} \wedge x_{j}\in M\wedge \sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1\right\}=:{\widehat {M}}

Beweis

Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) $\Gamma _{p}(M)\subseteq {\widehat {M}}$ liefert und (3) die Teilmengenbeziehung ${\widehat {M}}\subseteq \Gamma _{p}(M)$ .

(Beweisteil 1) ${\textstyle M\subset {\widehat {M}}}$ ,
(Beweisteil 2) ${\textstyle {\widehat {M}}}$ ist absolut ${\textstyle p}$ -konvex und
(Beweisteil 3) ${\textstyle {\widehat {M}}}$ ist in jeder absolut ${\textstyle p}$ -konvexen Menge ${\textstyle {\widetilde {M}}\supset M}$ enthalten.

Beweisteil 1

${\textstyle M\subset {\widehat {M}}}$ , denn ${\textstyle M=\{\alpha _{x}x:\alpha _{x}=1\wedge x\in M\}\subset {\widehat {M}}}$

Beweisteil 2

Seien nun ${\textstyle x,y\in {\widehat {M}}}$ und ${\textstyle |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}\leq 1}$ gegeben. Man muss zeigen, dass ${\textstyle \alpha x+\beta y\in {\widehat {M}}}$ liegt.

Beweisteil 2.1 - Absolut p-konvex

Mit ${\textstyle x,y\in {\widehat {M}}}$ sollen nun ${\textstyle x,y\in {\widehat {M}}}$ die folgende Darstellungen haben:

$\displaystyle x=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}x_{i}$ mit $\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|\alpha _{i}|^{p}\leq 1$
$\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}y_{i}$ mit $\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\beta _{i}|^{p}\leq 1$

Man zeigt nun das ${\widehat {M}}$ absolut ${\textstyle p}$ -konvex ist-

Beweisteil 2.2 - Absolut p-konvex

${\widehat {M}}$ ist absolut ${\textstyle p}$ -konvex, denn es gilt mit ${\textstyle |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}\leq 1}$ :

{\begin{array}{rcl}\sum _{i=1}^{m}|\alpha \alpha _{i}|^{p}+\sum _{j=1}^{n}|\beta \beta _{j}|^{p}&=&|\alpha |^{p}\underbrace {\sum _{i=1}^{m}|\alpha _{i}|^{p}} _{\leq 1}+|\beta |^{p}\underbrace {\sum _{j=1}^{n}|\beta _{j}|^{p}} _{\leq 1}\\&\leq &|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}\leq 1.\\\end{array}}

Damit erhält man:

\alpha \cdot x+\beta \cdot y=\alpha \sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}x_{i}+\beta \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}y_{j}\in {\widehat {M}}.

Beweisteil 2.3 - Nullvektor

${\textstyle 0_{V}\in {\widehat {M}}}$ , denn es gilt ${\textstyle 0_{V}=\alpha \cdot x}$ mit ${\textstyle \alpha =0=|\alpha |^{p}\leq 1}$ und ein beliebiges ${\textstyle x\in M}$ erhält ${\textstyle 0_{V}=\alpha \cdot x\in {\widehat {M}}}$ .

Beweisteil 3

Wir zeigen nun, dass die absolut $p$ -konvexe Hülle in jeder absolut $p$ -konvexen Obermenge ${\widetilde {M}}$ von $M$ enthalten ist.

Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden

Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden $n$ gezeigt werden, dass jedes Element der Form

\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}{\mbox{ mit }}x_{j}\in M{\mbox{ und }}\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1

in einer gegebenen absolut ${\textstyle p}$ -konvexen Menge ${\textstyle {\widetilde {M}}\supset M}$ enthalten ist.

Beweisteil 3.2 - Induktionsanfang

Für ${\textstyle n=2}$ folgt die Behauptung über die Definition einer absolut ${\textstyle p}$ -konvexen Menge ${\textstyle {\widetilde {M}}\supset M}$ .

Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung

Nun gelte die Voraussetzung für ${\textstyle n}$ , d.h.:

\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}\in {\widetilde {M}}{\mbox{ mit }}x_{j}\in M{\mbox{ und }}\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1.

Beweisteil 3.4 - Induktionsschritt

Für ${\textstyle n+1}$ ergibt sich die Behauptung wie folgt:

Sei ${\textstyle \displaystyle x:=\sum _{j=1}^{n+1}\alpha _{j}x_{j}}$ und ${\textstyle \displaystyle \sum _{j=1}^{n+1}|\alpha _{j}|^{p}\leq 1}$ mit ${\textstyle x_{j}\in M}$ für alle ${\textstyle j\in \{1,\dots ,n+1\}}$ . ${\textstyle x\in {\widetilde {M}}}$ ist nun zu beweisen.

Beweisteil 3.5 - Induktionsschritt

Ist ${\textstyle \alpha _{n+1}=1}$ , so ist nichts zu zeigen, da dann alle $|\alpha _{j}|=0$ sind für $j\in \{1,\ldots ,n\}$ .

Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden

Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden $\beta _{j}\geq 0$

\beta _{j}:={\frac {\alpha _{j}}{\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}}{\mbox{ mit }}\sum _{j=1}^{n}\left|\beta _{j}\right|^{p}\leq 1

Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung

Sei also ${\textstyle |\alpha _{n+1}|<1}$ . Die Ungleichung

\sum _{j=1}^{n}\underbrace {\left|{\frac {\alpha _{j}}{\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}}\right|^{p}} _{=|\beta _{j}|^{p}}={\frac {1}{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}\cdot \underbrace {\sum _{j=1}^{n}|\alpha _{j}|^{p}} _{\leq 1-|\alpha _{n+1}|^{p}}\leq 1

liefert nach Induktionsvoraussetzung ${\textstyle \displaystyle z:=\sum _{j=1}^{n}\beta _{j}\cdot x_{j}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\alpha _{j}}{\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}}\cdot x_{j}\in {\widetilde {M}}}$ .

Beweisteil 3.8 - Induktionsschritt

Da ${\textstyle {\widetilde {M}}}$ absolut ${\textstyle p}$ -konvex ist, folgt mit ${\textstyle \left({\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}\right)^{p}+|\alpha _{n+1}|^{p}=1}$

{\widetilde {M}}\ni \left({\sqrt[{p}]{1-|\alpha _{n+1}|^{p}}}\right)z+\alpha _{n+1}x_{n+1}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}x_{j}+\alpha _{n+1}x_{n+1}=\sum _{j=1}^{n+1}\alpha _{j}x_{j}.

Beweis 4

Aus den Beweisteilen ${\textstyle (1)}$ , ${\textstyle (2)}$ und ${\textstyle (3)}$ zusammen folgt die Behauptung. $\Box$

Lemma: p-konvexe Hülle

Sei ${\textstyle M}$ eine Teilmenge eines Vektorraums ${\textstyle V}$ über dem Körper ${\textstyle \mathbb {K} }$ und ${\textstyle 0<p\leq 1}$ , dann lässt sich die ${\textstyle p}$ -konvexe Hülle von ${\textstyle M}$ wie folgt schreiben: