Für kommutative pseudokonvexe Algebren
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
mit unital positivem
p
{\displaystyle p}
-Halbnormensystem
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
erhält man folgende Charakterisierung:
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
erfüllt das PC-Regularitätskriterium
⟺
{\displaystyle \Longleftrightarrow }
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
P
C
e
k
{\displaystyle {\mathcal {PC_{e}^{k}}}}
-regulär
Ein Element
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
besitzt genau
P
C
e
k
{\displaystyle {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
-regulär in
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
P
C
e
k
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}
, wenn es für alle
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und eine isotone Folge von Quasihalbnormen
(
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit der Stetigkeitskonstante der Addition
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
und positive Konstanten
D
(
α
,
k
)
{\textstyle D_{(\alpha ,k)}}
gibt, für die gilt:
(PC1)
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
D
(
α
,
k
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
(PC2)
‖
x
‖
(
α
,
k
)
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
α
,
k
+
1
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.
Die Stetigkeitskonstante der Addition
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
kann dabei für alle Quasihalbnormen
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
mit
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
gewählt werden.
Die Stetigkeitskonstante der Addition
K
α
{\displaystyle K_{\alpha }}
gilt für alle Quasihalbnormen
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
mit
k
∈
N
o
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}
. Die untere Schranke
K
(
α
,
k
)
≤
K
α
{\displaystyle K_{(\alpha ,k)}\leq K_{\alpha }}
der Stetigkeitskonstanten für die einzelnen Quasihalbnormen
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
können dabei durchaus unterschiedlich sein. Man verlangt hier lediglich, dass einzelnen Stetigkeitskonstanten
K
(
α
,
k
)
{\displaystyle K_{(\alpha ,k)}}
für die Sequenz nach oben durch
K
α
{\displaystyle K_{\alpha }}
beschränkt sind.
Überträgt man die Argumentation der Stetigkeitskonstanten der Addition
K
α
{\displaystyle K_{\alpha }}
auf ein Regularitätskriterium, dass über
p
{\displaystyle p}
-Halbnormen definiert ist, so ergibt sich daraus, dass die
p
{\displaystyle p}
-Homogenitätsexponenten
p
(
α
,
k
)
{\displaystyle p_{(\alpha ,k)}}
von
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}
eine untere Schranke
p
α
≤
p
(
α
,
k
)
{\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{(\alpha ,k)}}
besitzen, wobei gilt:
‖
λ
⋅
x
‖
(
α
,
k
)
=
|
λ
|
p
(
α
,
k
)
⋅
‖
x
‖
(
α
,
k
)
{\displaystyle \left\|\lambda \cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}=|\lambda |^{p_{(\alpha ,k)}}\cdot \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}}
Mit dem Korrespondenzsatz für p-Halbnormen und Quasihalbnormen wird die Topologie auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
über Stetigkeitssequenzen und Quasihalbnormen mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
erzeugt. Im Folgenden sind alle Gaugefunktionale homogen.
Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für
z
∈
T
G
P
(
A
)
=
A
∖
T
K
P
(
A
)
{\textstyle z\in {\mathcal {TGP}}(A)=A\setminus {\mathcal {TKP}}(A)}
, dass es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und Konstanten
D
k
(
α
)
>
0
{\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}
gibt, sodass für alle
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
gilt:
‖
x
‖
α
≤
D
k
(
α
)
⋅
‖
z
k
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}
(siehe topologisch große Potenzen )
Im Folgenden werden die Konstanten
D
k
n
(
α
)
>
0
{\textstyle D_{k}^{n}(\alpha )>0}
wie folgt bzgl. der Stetigkeitssequenzen auf der Polynomalgebra
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
indiziert.
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
ist der Index der Quasihalbnorm bzw. des
T
G
P
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}}
-Gaugefunktionals auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
,
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
ist der Koeffizientenindex der Polynome und bzgl. des
T
G
P
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}}
-Gaugefunktionals auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
der Index des Gaugefunktionals, das auf den
k
{\displaystyle k}
-ten Koeffizienten
q
k
∈
A
{\displaystyle q_{k}\in A}
des Polynoms
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
angewendet wird.
Mit dem PC-Regularitätskriterium erhält man: Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
e
k
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}^{k}}
,
z
∈
A
{\textstyle z\in A}
, dann ist
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
genau dann, wenn es für alle
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
{\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}
und eine Folge von Quasihalbnormen
(
‖
⋅
‖
(
α
,
k
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit der Stetigkeitskonstante der Addition
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
, positiven Konstanten
D
k
0
(
α
)
{\textstyle D_{k}^{0}(\alpha )}
gibt, für die gilt:
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≤
D
k
0
(
α
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\leq D_{k}^{0}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≤
‖
z
x
‖
(
0
,
k
+
1
)
(
α
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\leq \left\|zx\right\|_{(0,k+1)}^{(\alpha )}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.
Das erzeugende System von Gaugefunktionalen
(
‖
⋅
‖
α
)
α
∈
A
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\right)_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}
sind Quasihalbnormen und damit homogen und subadditiv mit Stetigkeitskonstante
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
und
D
k
0
(
α
)
≥
1
{\displaystyle D_{k}^{0}(\alpha )\geq 1}
:
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≤
D
k
0
(
α
)
⋅
‖
x
‖
β
{\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\leq D_{k}^{0}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≤
‖
z
x
‖
(
0
,
k
+
1
)
(
α
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\leq \left\|zx\right\|_{(0,k+1)}^{(\alpha )}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.
‖
x
+
y
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≤
K
(
α
,
0
)
⋅
(
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
+
‖
y
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
)
{\displaystyle \left\|x+y\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\leq K_{(\alpha ,0)}\cdot \left(\left\|x\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}+\left\|y\right\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\right)}
bzw.
‖
x
+
y
‖
β
≤
K
β
⋅
(
‖
x
‖
β
+
‖
y
‖
β
)
{\displaystyle \left\|x+y\right\|_{\beta }\leq K_{\beta }\cdot \left(\left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }\right)}
mit
K
(
α
,
0
)
,
K
β
≥
1
{\displaystyle K_{(\alpha ,0)},K_{\beta }\geq 1}
.
Man definiert auf der Algebra induktiv eine Stetigkeitssequenz auf
A
{\displaystyle A}
und auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
und man parallel zu
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
0
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,0)}}
auch
‖
⋅
‖
0
(
α
)
:=
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{0}^{(\alpha )}:=\|\cdot \|_{\beta }}
. Die erste Folge von Quasihalbnormen auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
mit einer Stetigkeitskonstanten
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
wird direkt über das
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Kriterium definiert mit
C
k
(
α
)
=
max
{
1
,
D
k
(
α
)
,
C
k
−
1
(
α
)
}
{\displaystyle C_{k}(\alpha )=\max\{1,D_{k}(\alpha ),C_{k-1}(\alpha )\}}
für
k
>
0
{\displaystyle k>0}
und
C
0
0
(
α
)
:=
max
{
1
,
D
0
(
α
)
}
{\displaystyle C_{0}^{0}(\alpha ):=\max\{1,D_{0}(\alpha )\}}
(siehe auch PC-Regularitätskriterium ).
‖
|
p
|
‖
(
α
,
0
)
:=
∑
k
=
0
∞
C
k
0
(
α
)
‖
p
k
‖
β
=
∑
k
=
0
∞
C
k
0
(
α
)
⏟
≥
D
k
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
0
(
α
)
≥
∑
k
=
0
∞
D
k
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
0
(
α
)
≥
∑
k
=
0
∞
‖
p
k
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
=
‖
|
p
|
‖
(
α
,
0
)
(
z
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,0)}&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{0}(\alpha )\|p_{k}\|_{\beta }=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\underbrace {C_{k}^{0}(\alpha )} _{\geq D_{k}(\alpha )}\cdot \|p_{k}\|_{0}^{(\alpha )}\\&\geq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D_{k}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{0}^{(\alpha )}\\&\geq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}=\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,0)}^{(z)}\\\end{array}}}
Erste Quasihalbnorm der PC-Stetigkeitssequenz
Bearbeiten
Gleichzeitig zu der Folge von Quasihalbnormen auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
wird auch eine Sequenz von Quasihalbnormen definiert, die man über das
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Regularitätskriterium erhält. Da die Folge in Abhängigkeit von einem konkreten
z
∈
G
P
C
(
A
)
{\displaystyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {PC}}(A)}
und einem beliebigen
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
abhängig sind, definiert man diese Gaugefunktionale
‖
|
p
|
‖
(
α
,
0
)
(
z
)
:=
∑
k
=
0
∞
‖
p
k
‖
k
(
α
)
mit
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,0)}^{(z)}&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{k}^{(\alpha )}\,\,\,{\mbox{ mit}}\\p(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\end{array}}}
Für die
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden Quasihalbnormen auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
gilt folgende Abschätzung für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
:
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
)
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
‖
p
k
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
⏟
≤
D
k
0
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
0
(
α
)
≤
∑
k
=
0
∞
C
k
0
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
0
(
α
)
=
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n)}^{(z)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\underbrace {\|p_{k}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}} _{\leq D_{k}^{0}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{0}^{(\alpha )}}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{0}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{0}^{(\alpha )}=\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n)}\\\end{array}}}
Für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
wurden daher für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
die Koeffizienten
C
k
0
(
α
)
≥
D
k
0
(
α
)
{\displaystyle C_{k}^{0}(\alpha )\geq D_{k}^{0}(\alpha )}
definieren.
Diese Abschätzung ist wesentlich, um
einerseits die Stetigkeit des Algebraisomorphismus
τ
:
A
→
A
′
⊂
B
{\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}
bzw.
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
nachzuweisen (siehe auch Elemente mit topologisch großen Potenzen ) und
andererseits dürfen die Gaugefunktionale
‖
|
⋅
|
‖
n
(
α
,
z
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{n}^{(\alpha ,z)}}
auch keine feinere Topologie erzeugen, als das Quasihalbnormensystem der Quasihalbnormen
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}}
mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
und
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
.
Induktive Definition des Stetigkeitssequenzen
Bearbeiten
Seien nun die Quasihalbnormen
‖
⋅
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{n}^{(\alpha )}}
,
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}}
und das
T
G
P
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}}
-Gaugefunktional
‖
|
⋅
|
‖
n
(
α
,
z
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{n}^{(\alpha ,z)}}
bereits gegeben, dann definiert man die nächsten Quasihalbnormen und das
T
G
P
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}}
-Gaugefunktional über folgende beiden Lemmata:
Anwendung des PC-Regularitätskriteriums
Bearbeiten
Zu der gegebenen Quasihalbnormen
‖
⋅
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{n}^{(\alpha )}}
kann man mit
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Regularitätskriterium ein
γ
∈
A
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {A}}}
, eine Folge von Gaugefunktionalen
(
‖
⋅
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
mit positiven Konstanten
D
k
n
+
1
(
α
)
{\textstyle D_{k}^{n+1}(\alpha )}
finden, für die gilt:
‖
x
‖
n
(
α
)
≤
‖
x
‖
(
n
+
1
,
k
)
(
α
)
≤
D
k
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
x
‖
γ
{\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\right\|_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\leq D_{k}^{n+1}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\gamma }}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
und
‖
x
‖
(
n
+
1
,
k
)
(
α
)
≤
‖
z
x
‖
(
n
+
1
,
k
+
1
)
(
α
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\leq \left\|zx\right\|_{(n+1,k+1)}^{(\alpha )}}
für alle
x
∈
A
{\textstyle x\in A}
und
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
.
Definition eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation
Bearbeiten
Man definiert nun schon einmal
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
:=
‖
x
‖
γ
^
{\displaystyle \|x\|_{n+1}^{(\alpha )}:=\left\|x\right\|_{\widehat {\gamma }}}
für alle
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
, wobei
γ
^
∈
A
{\displaystyle {\widehat {\gamma }}\in {\mathcal {A}}}
mit der Stetigkeit der Multiplikation und dem Topologisierungslemma für Algebren so gewählt wurde, dass für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
gilt:
‖
x
⋅
y
‖
γ
≤
‖
x
‖
γ
^
⋅
‖
y
‖
γ
^
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\gamma }\leq \|x\|_{\widehat {\gamma }}\cdot \|y\|_{\widehat {\gamma }}}
Damit erhält man eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation mit:
‖
x
⋅
y
‖
n
(
α
)
≤
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
y
‖
n
+
1
(
α
)
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{n}^{(\alpha )}\leq \|x\|_{n+1}^{(\alpha )}\cdot \|y\|_{n+1}^{(\alpha )}}
Anwendung - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation
Bearbeiten
Nun definiert man über das Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation zunächst die Koeffizienten für die Quasihalbnormen der Stetigkeitssequenz , damit die Cauchy-Multiplikation auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
stetig wird.
Bzgl. der topologischen Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
ist basiserzeugendes Quasihalbnormensystem
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
gegeben aus dem die Halbnorm
‖
⋅
‖
n
+
1
(
α
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{n+1}^{(\alpha )}}
mit dem
T
G
P
{\displaystyle {\mathcal {TGP}}}
-Regularitätskriterium gewählt wurde. Als
K
(
α
,
n
+
1
)
:=
max
{
K
γ
,
K
(
α
,
n
)
}
≥
1
{\textstyle K_{(\alpha ,n+1)}:=\max\{K_{\gamma },K_{(\alpha ,n)}\}\geq 1}
setzt man die Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm
‖
⋅
‖
n
+
1
(
α
)
:=
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{n+1}^{(\alpha )}:=\|\cdot \|_{\gamma }}
. Damit gilt u.a.
K
(
α
,
n
+
1
)
≥
K
(
α
,
n
)
{\textstyle K_{(\alpha ,n+1)}\geq K_{(\alpha ,n)}}
und
‖
x
+
y
‖
n
+
1
(
α
)
≤
K
(
α
,
n
+
1
)
⋅
(
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
+
‖
y
‖
n
+
1
(
α
)
)
.
{\displaystyle \|x+y\|_{n+1}^{(\alpha )}\leq K_{(\alpha ,n+1)}\cdot \left(\|x\|_{n+1}^{(\alpha )}+\|y\|_{n+1}^{(\alpha )}\right).}
Wahl der Folgen - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation
Bearbeiten
In dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation werden die beiden Folgen positiver Zahlen
(
a
k
)
k
∈
N
0
{\textstyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
und
(
d
k
)
k
∈
N
0
{\textstyle (d_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
genannt. Diese werden induktiv in Abhängigkeit von
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
und
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
wie folgt gewählt:
(
a
k
)
k
∈
N
0
:=
(
C
k
n
(
α
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}:=(C_{k}^{n}(\alpha ))_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(Koeffizienten der Quasihalbnorm
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}}
)
(
d
k
)
k
∈
N
0
:=
(
max
{
C
k
n
(
α
)
⋅
D
k
n
+
1
(
α
)
,
K
(
α
,
n
+
1
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle (d_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}:=(\max\{C_{k}^{n}(\alpha )\cdot D_{k}^{n+1}(\alpha ),K_{(\alpha ,n+1)})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
(positive Konstanten des
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Regularitätskriterium )
Eigenschaften der resultierende Folge aus dem Koeffizientenlemma
Bearbeiten
Das Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation liefert nun eine Folge
(
C
k
n
+
1
(
α
)
)
k
∈
N
0
:=
(
b
k
)
k
∈
N
0
{\textstyle \left(C_{k}^{n+1}(\alpha )\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}:=\left(b_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}
von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:
(KL1)
C
k
n
+
1
(
α
)
≥
C
k
n
(
α
)
⋅
D
k
n
+
1
(
α
)
{\textstyle C_{k}^{n+1}(\alpha )\geq C_{k}^{n}(\alpha )\cdot D_{k}^{n+1}(\alpha )}
für alle
k
∈
N
0
{\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}
(KL2)
K
(
α
,
n
)
i
+
j
⋅
C
i
+
j
n
(
α
)
≤
C
i
n
+
1
(
α
)
⋅
C
j
n
+
1
(
α
)
{\textstyle K_{(\alpha ,n)}^{i+j}\cdot C_{i+j}^{n}(\alpha )\leq C_{i}^{n+1}(\alpha )\cdot C_{j}^{n+1}(\alpha )}
für alle
i
,
j
∈
N
0
{\textstyle i,j\in \mathbb {N} _{0}}
.
Induktive Definition der Quasihalbnormen
Bearbeiten
Man definiert auf der Algebra nun induktiv das nächste Element der Stetigkeitssequenz auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
mit:
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
C
k
n
+
1
(
α
)
⏟
≥
C
k
n
(
α
)
⋅
D
k
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
n
+
1
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n+1)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\underbrace {C_{k}^{n+1}(\alpha )} _{\geq C_{k}^{n}(\alpha )\cdot D_{k}^{n+1}(\alpha )}\cdot \|p_{k}\|_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}}}
Dabei genügen die Koeffizienten der Ungleichung
C
k
n
+
1
(
α
)
≥
C
k
n
(
α
)
⋅
D
k
n
+
1
(
α
)
{\displaystyle C_{k}^{n+1}(\alpha )\geq C_{k}^{n}(\alpha )\cdot D_{k}^{n+1}(\alpha )}
auch dem TGP-Regularitätskriterium .
Indukutive Definition der PC-Quasihalbnorm bzgl. z
Bearbeiten
Gleichzeitig zu der Quasihalbnormen
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n+1)}}
auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
wird nun auch die
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Quasihalbnorm definiert, die man über das
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Regularitätskriterium erhält.
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
(
z
)
:=
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
(
n
+
1
,
k
)
(
α
)
mit
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)}&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\,\,\,{\mbox{ mit}}\\p(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\end{array}}}
Abschätzung von PC-Quasihalbnorm in Stetigkeitssequenzen
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Für die
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden Quasihalbnormen auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
gilt folgende Abschätzung:
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
(
n
+
1
,
k
)
(
α
)
⏟
≤
D
k
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
n
+
1
(
α
)
≤
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
D
k
n
+
1
(
α
)
⏟
≤
C
k
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
n
+
1
(
α
)
≤
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \underbrace {\|p_{k}\|_{(n+1,k)}^{(\alpha )}} _{\leq D_{k}^{n+1}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{n+1}^{(\alpha )}}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\underbrace {C_{k}^{n}(\alpha )\cdot D_{k}^{n+1}(\alpha )} _{\leq C_{k}^{n+1}(\alpha )}\cdot \|p_{k}\|_{n+1}^{(\alpha )}\leq \|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n+1)}\\\end{array}}}
Für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
kann man für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
die Koeffizienten
C
k
0
(
α
)
:=
D
k
0
(
α
)
{\displaystyle C_{k}^{0}(\alpha ):=D_{k}^{0}(\alpha )}
definieren.
Subadditivität mit Stetigkeitskonstante
Bearbeiten
Das definierte Funktional
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}}
ist subadditiv mit Stetigkeitskonstante
K
α
,
n
)
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha ,n)}\geq 1}
, denn
‖
|
p
+
q
|
‖
(
α
,
n
)
=
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
p
k
+
q
k
‖
n
(
α
)
≤
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
K
(
α
,
n
)
⋅
(
‖
p
k
‖
n
(
α
)
+
‖
q
k
‖
n
(
α
)
)
=
K
(
α
,
n
)
⋅
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
n
(
α
)
+
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
q
k
‖
n
(
α
)
=
K
(
α
,
n
)
⋅
(
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
)
+
‖
q
|
‖
(
α
,
n
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p+q|\!\|_{(\alpha ,n)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|p_{k}+q_{k}\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot K_{(\alpha ,n)}\cdot \left(\|p_{k}\|_{n}^{(\alpha )}+\|q_{k}\|_{n}^{(\alpha )}\right)\\&=&\displaystyle K_{(\alpha ,n)}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{n}^{(\alpha )}+C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|q_{k}\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&K_{(\alpha ,n)}\cdot \left(\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n)}+\|\!q|\!\|_{(\alpha ,n)}\right)\\\end{array}}}
Die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation in der Polynomalgebra kann man mit der PC-Stetigkeit des Cauchy-Produktes angewendet auf die Stetigkeitssequenz nachweisen.
q
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
q
k
⋅
t
k
bzw.
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}q(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}&{\mbox{ bzw. }}&p(t)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\end{array}}}
Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra
Bearbeiten
Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf
A
{\displaystyle A}
und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
:
‖
|
p
⋅
q
|
‖
(
α
,
n
)
≤
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
‖
∑
i
=
0
k
p
i
⋅
q
k
−
i
‖
n
(
α
)
≤
∑
k
=
0
∞
C
k
n
(
α
)
⋅
K
(
α
,
n
)
k
⋅
∑
i
=
0
k
‖
p
i
⋅
q
k
−
i
‖
n
(
α
)
≤
∑
k
=
0
∞
∑
i
=
0
k
C
k
n
(
α
)
⋅
K
(
α
,
n
)
k
⏟
=
C
i
k
(
β
)
⋅
C
k
−
i
k
(
β
)
⋅
‖
p
i
‖
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
q
k
−
i
‖
n
+
1
(
α
)
=
∑
k
=
0
∞
∑
i
=
0
k
C
i
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
p
k
‖
n
+
1
(
α
)
⋅
C
k
−
i
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
q
n
−
k
‖
n
+
1
(
α
)
=
‖
|
p
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
⋅
‖
|
q
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p\cdot q|\!\|_{(\alpha ,n)}&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left\|\sum _{i=0}^{k}p_{i}\cdot q_{k-i}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot K_{(\alpha ,n)}^{k}\cdot \sum _{i=0}^{k}\left\|p_{i}\cdot q_{k-i}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}\underbrace {C_{k}^{n}(\alpha )\cdot K_{(\alpha ,n)}^{k}} _{=C_{i}^{k}(\beta )\cdot C_{k-i}^{k}(\beta )}\cdot \left\|p_{i}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\cdot \left\|q_{k-i}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\\&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}C_{i}^{n+1}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\cdot C_{k-i}^{n+1}(\alpha )\cdot \left\|q_{n-k}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\\&=&\|\!|p|\!\|_{(\alpha ,n+1)}\cdot \|\!|q|\!\|_{(\alpha ,n+1)}\end{array}}}
Die Algebraerweiterung wird mit induzierten Quasihalbnormen auf Quotientenraum über die oben definierten Stetigkeitsequenzen topologisiert, die wie folgt definiert ist:
‖
q
I
‖
n
(
α
,
B
)
:=
‖
q
+
I
‖
n
(
α
,
B
)
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{n}^{(\alpha ,B)}:=\|q+I\|_{n}^{(\alpha ,B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{n}^{(\alpha )}}
Dabei bezeichnen man die Äquivalenzklassen von Polynomen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen unterscheiden, da die Addition im Vektorraum und die Multiplikation in
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {PC}}^{k}}
-Algebren auch eine kommuntative Cauchy-Multiplikation auf der Polynomalgebra induzieren.
Sei
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
beliebig gewählt, dann gilt für eine beliebige Quasihalbnorm
‖
⋅
‖
n
(
α
,
B
)
{\displaystyle \|\cdot \|_{n}^{(\alpha ,B)}}
auf dem Quotientenraum
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
die folgende Abschätzung
‖
τ
(
x
)
‖
n
(
α
,
B
)
=
‖
x
I
‖
n
(
α
,
B
)
=
‖
x
+
I
‖
n
(
α
,
B
)
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
n
(
α
)
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
n
(
α
)
=
C
0
n
(
α
)
⋅
‖
x
‖
n
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{n}^{(\alpha ,B)}&=&\|x_{I}\|_{n}^{(\alpha ,B)}=\|x+I\|_{n}^{(\alpha ,B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{n}^{(\alpha )}=C_{0}^{n}{(\alpha )}\cdot \|x\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}
Damit ist
τ
{\displaystyle \tau }
stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Betrachten nun das Bild
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle \tau (A)\subset B}
von
τ
{\displaystyle \tau }
in
B
{\displaystyle B}
.
Sei nun
A
′
=
τ
(
A
)
=
{
x
I
:
x
I
=
x
+
I
=
τ
(
x
)
}
{\displaystyle A'=\tau (A)=\{x_{I}\,:\,x_{I}=x+I=\tau (x)\}}
gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
mit
r
=
o
⋅
q
∈
I
{\displaystyle r=o\cdot q\in I}
mit
o
(
t
)
=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t)=z\cdot t-e_{A}}
. Dabei gilt:
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
=
o
(
t
)
⋅
q
(
t
)
=
−
q
0
+
∑
k
=
1
∞
(
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
)
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}=o(t)\cdot q(t)\\&=&-q_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(z\cdot q_{k-1}-q_{k})\cdot t^{k}\end{array}}}
Injektivität des Algebrahomomorphismus 1
Bearbeiten
Um eine Umkehrabbildung von
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
definieren zu können, muss man zeigen, dass
τ
:
A
→
A
′
⊂
B
{\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}
injektiv ist, bzw.
K
e
r
n
(
τ
)
=
{
0
A
}
{\displaystyle Kern(\tau )=\{0_{A}\}}
. Wir zeigen nun die Kontraposition von der Implikation für die Injektivität
x
∈
K
e
r
n
(
τ
)
⟹
x
=
0
A
{\displaystyle x\in Kern(\tau )\Longrightarrow x=0_{A}}
und zeigen
x
≠
0
A
⟹
x
∉
K
e
r
n
(
τ
)
bzw.
τ
(
x
)
≠
0
B
{\displaystyle x\not =0_{A}\Longrightarrow x\notin Kern(\tau ){\mbox{ bzw. }}\tau (x)\not =0_{B}}
Injektivität des Algebrahomomorphismus 2
Bearbeiten
Sei
x
≠
0
A
{\displaystyle x\not =0_{A}}
und mit der Hausdorff-Eigenschaft von
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
erhält man ein
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
mit
ε
:=
‖
x
‖
α
>
0
{\displaystyle \varepsilon :=\|x\|_{\alpha }>0}
und verwendet ferner folgende Abschätzungen für Quasinormen und das
P
C
{\displaystyle {\mathcal {PC}}}
-Regularitätskriterium:
‖
x
−
y
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≥
1
K
α
⋅
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
−
‖
y
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
{\displaystyle \|x-y\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\geq {\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|x\|_{(0,k)}^{(\alpha )}-\|y\|_{(0,k)}^{(\alpha )}}
‖
x
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≤
‖
z
⋅
x
‖
(
0
,
k
+
1
)
(
α
)
{\displaystyle \|x\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\leq \|z\cdot x\|_{(0,k+1)}^{(\alpha )}}
Injektivität des Algebrahomomorphismus 3
Bearbeiten
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
0
)
≥
‖
|
x
+
r
|
‖
0
(
α
,
z
)
=
=
D
0
0
(
α
)
⋅
‖
x
−
q
0
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
0
)
k
⋅
D
k
0
(
α
)
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
0
)
k
−
1
(
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
−
K
(
α
,
0
)
k
‖
q
k
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
0
)
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
(
0
,
k
−
1
)
(
α
)
−
K
(
α
,
0
)
k
⋅
‖
q
k
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
+
‖
q
0
‖
(
0
,
k
)
(
α
)
≥
1
K
(
α
,
0
)
‖
x
‖
0
(
α
)
≥
ε
K
(
α
,
0
)
>
0
{\displaystyle {\begin{array}{l}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,0)}\geq \|\!|x+r|\!\|_{0}^{(\alpha ,z)}=\\=D_{0}^{0}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,0)}^{k}\cdot D_{k}^{0}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\\\\\geq \|x-q_{0}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,0)}^{k-1}\left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,0)}^{k}\|q_{k}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\right)\\\\\geq \|x-q_{0}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,0)}^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{(0,k-1)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,0)}^{k}\cdot \|q_{k}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\\\\\geq \|x-q_{0}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}+\|q_{0}\|_{(0,k)}^{(\alpha )}\geq {\frac {1}{K_{(\alpha ,0)}}}\|x\|_{0}^{(\alpha )}\geq {\frac {\varepsilon }{K_{(\alpha ,0)}}}>0\end{array}}}
Über Infimumbildung über alle
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
bleibt die Ungleichung erhalten und es gilt:
‖
x
I
‖
0
(
α
,
B
)
:=
‖
x
+
I
‖
0
(
α
,
B
)
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
0
(
α
)
≥
1
K
(
α
,
0
)
‖
x
‖
α
>
0
{\displaystyle \|x_{_{I}}\|_{0}^{(\alpha ,B)}:=\|x+I\|_{0}^{(\alpha ,B)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{0}^{(\alpha )}\geq {\frac {1}{K_{(\alpha ,0)}}}\|x\|_{\alpha }>0}
Damit gilt auch
x
I
≠
0
B
=
0
A
+
I
{\displaystyle x_{_{I}}\not =0_{B}=0_{A}+I}
für
x
≠
0
A
{\displaystyle x\not =0_{A}}
. Damit ist der Algebrahomomophismus injektiv.
Mit der Injektivität von
τ
:
A
→
A
′
⊂
B
{\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}
existiert die Umkehrabbildung von
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
und man kann die Stetigkeit der Umkehrabbildung mit der Stetigkeitssequenzen analog zur Injektivität für beliebige
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
und
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
-
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung
Bearbeiten
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
n
+
1
)
≥
‖
|
x
+
r
|
‖
n
+
1
(
α
,
z
)
=
≥
D
0
n
+
1
(
α
)
⋅
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
n
)
k
⋅
D
k
n
(
α
)
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
(
n
+
1
,
k
)
(
α
)
=
‖
x
−
q
0
‖
n
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
n
)
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
n
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
n
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
n
)
k
−
1
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
−
K
(
α
,
n
)
k
‖
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
+
∑
k
=
1
∞
K
(
α
,
n
)
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
(
n
,
k
−
1
)
(
α
)
−
K
(
α
,
n
)
k
⋅
‖
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
≥
‖
x
−
q
0
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
+
‖
q
0
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
≥
1
K
(
α
,
n
)
‖
x
‖
n
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n+1)}\geq \|\!|x+r|\!\|_{n+1}^{(\alpha ,z)}=\\\geq D_{0}^{n+1}(\alpha )\cdot \|x-q_{0}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,n)}^{k}\cdot D_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{(n+1,k)}^{(\alpha )}\\\\=\|x-q_{0}\|_{n}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,n)}^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{n}^{(\alpha )}\\\\\geq \|x-q_{0}\|_{n}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,n)}^{k-1}\|z\cdot q_{k-1}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,n)}^{k}\|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\\\\geq \|x-q_{0}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }K_{(\alpha ,n)}^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,n)}^{k}\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\\\\\geq \|x-q_{0}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}+\|q_{0}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}\geq {\frac {1}{K_{(\alpha ,n)}}}\|x\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}
(1. Gleichungszeile)
‖
|
q
|
‖
(
α
,
n
)
≥
‖
|
q
|
‖
n
(
α
,
z
)
{\displaystyle \|\!|q|\!\|_{(\alpha ,n)}\geq \|\!|q|\!\|_{n}^{(\alpha ,z)}}
gilt für alle
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
(2. Gleichungszeile) Definition von
‖
|
q
|
‖
n
(
α
,
z
)
{\displaystyle \|\!|q|\!\|_{n}^{(\alpha ,z)}}
für
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
eingesetzt,
(3. Gleichungszeile)
D
n
k
(
α
)
≥
1
{\displaystyle D_{n}^{k}(\alpha )\geq 1}
für alle
k
∈
N
0
{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}
verwendet,
(4. Gleichungszeile)
{\displaystyle }
(2. Gleichungszeile)
{\displaystyle }
Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme
K
(
α
,
n
)
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
(
n
,
k
−
1
)
(
α
)
−
K
(
α
,
n
)
k
⋅
‖
q
k
‖
(
n
,
k
)
(
α
)
{\displaystyle K_{(\alpha ,n)}^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{(n,k-1)}^{(\alpha )}-K_{(\alpha ,n)}^{k}\cdot \|q_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}}
eine Telekopsumme .
Durch Infimumbildung über alle Polynome
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
.
‖
x
+
I
‖
(
α
,
n
)
=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
n
)
≥
1
K
(
α
,
n
)
⋅
‖
x
‖
n
(
α
)
≥
1
K
(
α
,
n
)
⋅
‖
τ
−
1
(
x
+
I
)
‖
n
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|x+I\|_{(\alpha ,n)}&=&\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\geq {\frac {1}{K_{(\alpha ,n)}}}\cdot \|x\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &{\frac {1}{K_{(\alpha ,n)}}}\cdot \|\tau ^{-1}(x+I)\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}
Die Stetigkeit
‖
τ
−
1
(
x
+
I
)
‖
n
(
α
)
≤
K
(
α
,
n
)
⏟
:=
C
1
>
0
⋅
‖
x
+
I
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|\tau ^{-1}(x+I)\|_{n}^{(\alpha )}\leq \underbrace {K_{(\alpha ,n)}} _{:=C_{1}>0}\cdot \|x+I\|_{(\alpha ,n)}}
erhält man mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen .
Für die Stetigkeit der Abbildung
τ
{\displaystyle \tau }
gibt es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
und alle
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
setzt das Nullpolynom
0
A
[
t
]
∈
I
{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
ein:
‖
x
+
I
‖
(
α
,
n
)
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
(
α
,
n
)
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
(
α
,
n
)
=
C
0
n
(
α
)
⏟
=
C
2
>
0
⋅
‖
x
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \|x+I\|_{(\alpha ,n)}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{(\alpha ,n)}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{(\alpha ,n)}=\underbrace {C_{0}^{n}(\alpha )} _{=C_{2}>0}\cdot \|x\|_{n}^{(\alpha )}}
Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von
A
{\displaystyle A}
in
A
′
⊂
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}
eine Hömöomorphismus mit
τ
−
1
(
x
+
I
)
=
x
{\displaystyle \tau ^{-1}(x+I)=x}
bzw.
τ
(
x
)
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x+I}
.
Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von p-Halbnormensystemen
Bearbeiten
In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von
τ
{\displaystyle \tau }
und
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
über Quasihalbnormen auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Quasihalbnormensysteme
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
auf
A
{\displaystyle A}
und
‖
|
⋅
|
‖
A
×
N
0
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}}
auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
und definieren eine weiteres Halbnormensystem
‖
|
⋅
|
‖
A
×
N
0
(
τ
3
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}^{(\tau _{3})}}
auf
A
{\displaystyle A}
mit
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
)
(
τ
3
)
:=
‖
|
⋅
|
‖
(
α
,
n
)
∘
τ
3
bzw.
‖
|
x
|
‖
(
α
,
n
)
(
τ
3
)
:=
‖
|
τ
3
(
x
)
|
‖
(
α
,
n
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}^{(\tau _{3})}:=\|\!|\cdot |\!\|_{(\alpha ,n)}\circ \tau _{3}{\mbox{ bzw. }}\|\!|x|\!\|_{(\alpha ,n)}^{(\tau _{3})}:=\|\!|\tau _{3}(x)|\!\|_{(\alpha ,n)}}
Dabei wird
τ
3
(
x
)
=
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle \tau _{3}(x)=p\in A[t]}
mit
p
(
t
)
=
x
⋅
t
0
{\displaystyle p(t)=x\cdot t^{0}}
.
Zeigen Sie, dass
p
{\displaystyle p}
-Halbnormensysteme
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
und
‖
|
⋅
|
‖
A
×
N
0
(
τ
3
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}^{(\tau _{3})}}
auf
A
{\displaystyle A}
äquivalente Quasihalbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme) ).