Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität

Einführung

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Wenn wir die  -Regularität eines Elementes   für eine pseudokonvexe topologische Algebra   sprechen, suchen wir nach einer pseudokonvexen Algebraerweiterungen   von   in der   invertierbar ist. Dabei besteht

  •   und
  •  

Systeme von  -Halbnormen mit   sind, die die Topologie auf   bzw.   erzeugen.

Zielsetzung

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Zielsetzung einer pseudokonvexe Algebraerweiterung   zu einer gegebenen topologischen Algebra   mit   ist es, die gegebene pseudokonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element   in der pseudokonvexen Algebraerweiterung   besitzt. Als topologieerzeugende  -Gaugefunktionale werden hier  -Halbnormen   und   verwendet. Dieses Ziel ist eine kleine Erweiterung einer äquivalenten Charakterisierung von Zelazko (1984)[1] für lokalkonvexe Räume[2].

Topologisch kleine Potenzen und PC-Singularität

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Für kommutative pseudokonvexe Algebren   mit unital positivem  -Halbnormensystem   erhält man folgende Charakterisierung:

  (topologisch kleine Potenzen)      -singulär

Charakterisierung der PC-Regularität

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Für kommutative pseudokonvexe Algebren   mit unital positivem  -Halbnormensystem   erhält man folgende Charakterisierung:

  erfüllt das PC-Regularitätskriterium      -regulär


PC-Regularitätskriterium

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Ein Element   besitzt genau  -regulär in  , wenn es für alle   ein   und eine isotone Folge von Quasihalbnormen   mit der Stetigkeitskonstante der Addition   und positive Konstanten   gibt, für die gilt:

  • (PC1)   für alle   und   und
  • (PC2)   für alle   und  .

Bemerkung

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Die Stetigkeitskonstante der Addition   kann dabei für alle Quasihalbnormen   mit   gewählt werden.

Stetigkeitskonstante der Addition

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Die Stetigkeitskonstante der Addition   gilt für alle Quasihalbnormen   mit  . Die untere Schranke   der Stetigkeitskonstanten für die einzelnen Quasihalbnormen   können dabei durchaus unterschiedlich sein. Man verlangt hier lediglich, dass einzelnen Stetigkeitskonstanten   für die Sequenz nach oben durch   beschränkt sind.

p-Homogenität der p-Normen

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Überträgt man die Argumentation der Stetigkeitskonstanten der Addition   auf ein Regularitätskriterium, dass über  -Halbnormen definiert ist, so ergibt sich daraus, dass die  -Homogenitätsexponenten   von   eine untere Schranke   besitzen, wobei gilt:

 

Veranschaulichung

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Algebraerweiterung   von   ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element   zu einem gegebenen   enthält.

 

Pseudokonvexe Algebraerweiterung

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Sei   die Klasse der pseudokonvex unitalen Algebren und  . Die Algebraerweiterung   bzw.  -Erweiterung von   benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus   mit:

  •  , wobei   ist das Einselement von   und   das Einselement von   ist.
  •   ist homöomorph zu  ; d.h.   und   sind stetig.

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

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Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

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  • Im allgemeinen identifiziert man   mit   und schreibt  . In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus   mit Elementen   in einem Quotientenraum   identifiziert werden.
  • Sei   eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von   auf   und   eine Nullumgebungsbasis von  , dann kann man die Homöomorphie zwischen   und   wie immer über die Topologie ausdrücken:
 

Stetigkeit über p-Halbnormen

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Betrachtet man die p-Halbnormen   und   für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

 

Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung

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Wir betrachten zunächst kommutative Algebren  .

  • Quasihalbnormensystem auf   definieren,
  • Hauptideal   definieren,
  • Algebraerweiterung als Quotientenraum   definieren.
  • Algebraische und topologische Eigenschafte auf   nachweisen.

Quasihalbnormensystem

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  • Ausgehend von   wird die Polynomalgebra   mit einer Quasihalbnorm   topologisiert.
  • Quasihalbnorm   macht   zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist.

Hauptideal und Quotientenraum

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Übergang zu dem Quotientenraum  , wobei das Polynom   das Hauptideal   definiert und   ein Repräsentant des Nullvektors   in   ist.

  • Die Konstruktion des Ideals   liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit   ist   das inverse Element zu   mit   mit   bzw.  . Die Kommutativität liefert dann, dass auch   gilt.

Algebraerweiterung

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Der Algebrahomomorphismus   bildet nun jedes Element   auf die Nebenklasse   ab. Dabei seien   kommutative unitale  -Algebren über dem Körper  .

Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra

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Für das gegebene   in der kommutativen pseudokonvexen topologische Algebren   definiert man ein Polynom   mit  , wobei   das Einselement der Multiplikation in   ist. Als Ideal definiert man   als abgeschlossenes Hauptideal in  . Als Untervektorraum   wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.

Topologisierung der Polynomalgebra

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Mit dem Korrespondenzsatz für p-Halbnormen und Quasihalbnormen wird die Topologie auf   über Stetigkeitssequenzen und Quasihalbnormen mit   erzeugt. Im Folgenden sind alle Gaugefunktionale homogen.

Topologische große Potenzen

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Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für  , dass es für alle   ein   und Konstanten   gibt, sodass für alle   gilt:

 

(siehe topologisch große Potenzen)

Notation der Konstanten

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Im Folgenden werden die Konstanten   wie folgt bzgl. der Stetigkeitssequenzen auf der Polynomalgebra   indiziert.

  •   ist der Index der Quasihalbnorm bzw. des  -Gaugefunktionals auf  ,
  •   ist der Koeffizientenindex der Polynome und bzgl. des  -Gaugefunktionals auf   der Index des Gaugefunktionals, das auf den  -ten Koeffizienten   des Polynoms   angewendet wird.

PC-Regularitätskriterium für n=0

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Mit dem PC-Regularitätskriterium erhält man: Sei  ,  , dann ist   genau dann, wenn es für alle   ein   und eine Folge von Quasihalbnormen   mit der Stetigkeitskonstante der Addition  , positiven Konstanten   gibt, für die gilt:

  •   für alle   und   und
  •   für alle   und  .

Quasihalbnormen - Korrespondenzsatz

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Das erzeugende System von Gaugefunktionalen   sind Quasihalbnormen und damit homogen und subadditiv mit Stetigkeitskonstante   und  :

  •   für alle   und   und
  •   für alle   und  .
  •   bzw.
  •   mit  .

Anfang der Stetigkeitssequenz

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Man definiert auf der Algebra induktiv eine Stetigkeitssequenz auf   und auf   und man parallel zu   auch  . Die erste Folge von Quasihalbnormen auf   mit einer Stetigkeitskonstanten   wird direkt über das  -Kriterium definiert mit   für   und   (siehe auch PC-Regularitätskriterium).

 

Erste Quasihalbnorm der PC-Stetigkeitssequenz

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Gleichzeitig zu der Folge von Quasihalbnormen auf   wird auch eine Sequenz von Quasihalbnormen definiert, die man über das  -Regularitätskriterium erhält. Da die Folge in Abhängigkeit von einem konkreten   und einem beliebigen   abhängig sind, definiert man diese Gaugefunktionale

 

Abschätzung für erste PC-Quasihalbnorm

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Für die  -Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden Quasihalbnormen auf   gilt folgende Abschätzung für  :

 

Für   wurden daher für alle   die Koeffizienten   definieren.

Bedeutung der Abschätzung

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Diese Abschätzung ist wesentlich, um

  • einerseits die Stetigkeit des Algebraisomorphismus   bzw.   nachzuweisen (siehe auch Elemente mit topologisch großen Potenzen) und
  • andererseits dürfen die Gaugefunktionale   auch keine feinere Topologie erzeugen, als das Quasihalbnormensystem der Quasihalbnormen   mit   und  .

Induktive Definition des Stetigkeitssequenzen

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Seien nun die Quasihalbnormen  ,   und das  -Gaugefunktional   bereits gegeben, dann definiert man die nächsten Quasihalbnormen und das  -Gaugefunktional über folgende beiden Lemmata:

Anwendung des PC-Regularitätskriteriums

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Zu der gegebenen Quasihalbnormen   kann man mit  -Regularitätskriterium ein  , eine Folge von Gaugefunktionalen   mit positiven Konstanten   finden, für die gilt:

  •   für alle   und   und
  •   für alle   und  .

Definition eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation

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Man definiert nun schon einmal   für alle  , wobei   mit der Stetigkeit der Multiplikation und dem Topologisierungslemma für Algebren so gewählt wurde, dass für alle   gilt:

 

Damit erhält man eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation mit:

 

Anwendung - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

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Nun definiert man über das Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation zunächst die Koeffizienten für die Quasihalbnormen der Stetigkeitssequenz, damit die Cauchy-Multiplikation auf   stetig wird. Bzgl. der topologischen Algebra   ist basiserzeugendes Quasihalbnormensystem   gegeben aus dem die Halbnorm   mit dem  -Regularitätskriterium gewählt wurde. Als   setzt man die Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm  . Damit gilt u.a.   und

 

Wahl der Folgen - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation

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In dem Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation werden die beiden Folgen positiver Zahlen   und   genannt. Diese werden induktiv in Abhängigkeit von   und   wie folgt gewählt:

  •   (Koeffizienten der Quasihalbnorm  )
  •   (positive Konstanten des  -Regularitätskriterium )

Eigenschaften der resultierende Folge aus dem Koeffizientenlemma

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Das Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation liefert nun eine Folge   von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt:

  • (KL1)   für alle  
  • (KL2)   für alle  .

Induktive Definition der Quasihalbnormen

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Man definiert auf der Algebra nun induktiv das nächste Element der Stetigkeitssequenz auf   mit:

 

Dabei genügen die Koeffizienten der Ungleichung   auch dem TGP-Regularitätskriterium.

Indukutive Definition der PC-Quasihalbnorm bzgl. z

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Gleichzeitig zu der Quasihalbnormen   auf   wird nun auch die  -Quasihalbnorm definiert, die man über das  -Regularitätskriterium erhält.

 

Abschätzung von PC-Quasihalbnorm in Stetigkeitssequenzen

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Für die  -Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden Quasihalbnormen auf   gilt folgende Abschätzung:

 

Für   kann man für alle   die Koeffizienten   definieren.

Subadditivität mit Stetigkeitskonstante

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Das definierte Funktional   ist subadditiv mit Stetigkeitskonstante  , denn

 

Stetigkeit der Cauchy-Multiplkation 1

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Die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation in der Polynomalgebra kann man mit der PC-Stetigkeit des Cauchy-Produktes angewendet auf die Stetigkeitssequenz nachweisen.

 

Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra

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Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf   und der Anwendung des Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf  :

 

Topologisierung der Algebraerweiterung

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Die Algebraerweiterung wird mit induzierten Quasihalbnormen auf Quotientenraum über die oben definierten Stetigkeitsequenzen topologisiert, die wie folgt definiert ist:

 

Dabei bezeichnen man die Äquivalenzklassen von Polynomen in Kurzform mit  , wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

 

Man muss hier keine Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen unterscheiden, da die Addition im Vektorraum und die Multiplikation in  -Algebren auch eine kommuntative Cauchy-Multiplikation auf der Polynomalgebra induzieren.

Stetigkeit Algebrahomomorphismus

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Sei   beliebig gewählt, dann gilt für eine beliebige Quasihalbnorm   auf dem Quotientenraum   die folgende Abschätzung

 

Damit ist   stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Struktur der Polynome aus dem Ideal

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Betrachten nun das Bild   von   in  . Sei nun   gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges   mit   mit  . Dabei gilt:

 

Injektivität des Algebrahomomorphismus 1

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Um eine Umkehrabbildung von   definieren zu können, muss man zeigen, dass   injektiv ist, bzw.  . Wir zeigen nun die Kontraposition von der Implikation für die Injektivität

 

und zeigen

 

Injektivität des Algebrahomomorphismus 2

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Sei   und mit der Hausdorff-Eigenschaft von   erhält man ein   mit   und verwendet ferner folgende Abschätzungen für Quasinormen und das  -Regularitätskriterium:

  •  
  •  

Injektivität des Algebrahomomorphismus 3

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Injektivität Algebrahomomorphismus 4

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Über Infimumbildung über alle   bleibt die Ungleichung erhalten und es gilt:

 

Damit gilt auch   für  . Damit ist der Algebrahomomophismus injektiv.

Existenz der Umkehrabbildung

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Mit der Injektivität von   existiert die Umkehrabbildung von   und man kann die Stetigkeit der Umkehrabbildung mit der Stetigkeitssequenzen analog zur Injektivität für beliebige   und  -

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung

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Begründungen für die Umformungen

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  • (1. Gleichungszeile)   gilt für alle  
  • (2. Gleichungszeile) Definition von   für   eingesetzt,
  • (3. Gleichungszeile)   für alle   verwendet,
  • (4. Gleichungszeile)
  • (2. Gleichungszeile)

Teleskopierende Summen

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Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme

 

eine Telekopsumme.

Infimumbildung

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Durch Infimumbildung über alle Polynome   bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von  .

 

Die Stetigkeit   erhält man mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen.

Umgekehrte Abschätzung

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Für die Stetigkeit der Abbildung   gibt es für alle   und alle   setzt das Nullpolynom   ein:

 

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von   in   eine Hömöomorphismus mit   bzw.  .

Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von p-Halbnormensystemen

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In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von   und   über Quasihalbnormen auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Quasihalbnormensysteme   auf   und   auf   und definieren eine weiteres Halbnormensystem   auf   mit

 

Dabei wird   mit  . Zeigen Sie, dass  -Halbnormensysteme   und   auf   äquivalente Quasihalbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)).

Quellennachweise

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  1. Zelazko Wieslaw, (1984), Concerning characterization of permanently sin- gular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333;
  2. Andreas Rohling, Niehaus Engelbert (1995) Verallgemeinerung des Satzes von Gleason-Kahane-Zelazko, K-reguläre Elemente, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Münster, Serie 3., Herausgeber: George Maltese, Heft 16, S. 79-81

Siehe auch

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