Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung
Zielsetzung
BearbeitenZielsetzung einer Algebraerweiterung zu einer gegebenen topologischen Algebra mit ist es, die topologisch Algebra so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element enthält. Das folgenden Diagramm veranschaulicht den Sachverhalt:
Veranschaulichung
BearbeitenAlgebraerweiterung von , die ein inverses Element zu einem gegebenen enthält.
Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung
BearbeitenUntersuchen Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede bzgl. Algebraerweiterungen in der Funktionalanalysis und den Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule.
Unlösbare Aufgaben in der Primarstufe
BearbeitenIn der Primarstufe können in dem Zahlbereich der natürlichen Zahlen Aufgaben formuliert werden, die aber in nicht lösbar sind. Daraus ergibt sich eine Zahlbereichserweiterung wie folgt:
- ( ) Aufgabe (bzw. ) in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf .
- ( ) Aufgabe (bzw. ) in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf .
- ( ) Zu diesem unlösbaren Aufgabentyp gehören auch die multiplikativen Inversen, z.B. .
Unlösbare Aufgaben in der Sekundarstufe
BearbeitenDie unlösbaren Aufgaben ergeben sich aus quadratischen Gleichungen
- ( ) Aufgabe in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf .
- ( ) Aufgabe in formuliert aber in nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf (siehe auch komplexe Zahlen).
Analogien und Unterschiede
BearbeitenWelche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen den Zahlbereichserweiterungen in der Schule und den Algebraerweiterungen und der Untersuchung von topologischen Invertierbarkeitskriterien?
Definition: Algebrahomomorphismus
BearbeitenSeien und zwei Algebren über dem Körper und eine Abbildung von nach . heißt Algebrahomomorphismus die verträglich mit den Verknüpfungen auf der Algebra ist, d.h.:
- (AH1) Für alle , gilt:
- (AH2) Für alle gilt:
- (AH3) Für alle Für alle gilt:
Wenn der Algebrahomomorphismus zusätzlich bijektiv ist, nennt man Algebraisomorphismus.
Bemerkung: Notation für die inneren Verknüpfungen in den Algebren
BearbeitenDer Index bei den inneren Verknüpfungen bezeichnet die Algebren, auf denen die inneren Verknüpfungen definiert sind. In der Regel werden die Bezeichnungen bei Algebraerweiterung durch Notation nicht unterschieden.
Definition: Algebraerweiterung
BearbeitenSei eine Klasse von unitalen Algebren und , dann heißt Algebraerweiterung, Oberalgebra oder -Erweiterung von , falls es einen Algebraisomorphismus gibt mit:
- , wobei ist das Einselement von und das Einselement von ist.
- ist homöomorph zu ; d.h. und sind stetig.
Bemerkung - unitale Algebren
BearbeitenEine topologische Algebra der Klasse heißt unital, wenn ein Einselement der Multiplikation besitzt. Der Begriff kommt von "unit" als "Einheit" bzw. "Einselement".
Bemerkung
Bearbeiten- Im allgemeinen identifiziert man mit und schreibt .
- Sei eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von auf und eine Nullumgebungsbasis von , dann kann man die Homöomorphie zwischen und wie folgt beschreiben:
Stetigkeit und Minkowskifunktionale
BearbeitenBetrachtet man die Minkowskifunktionale und für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):
Bemerkung Topologieerzeugung
BearbeitenFalls in einem topologieerzeugenden System von Minkowskifunktionalen nicht mit jedem auch in dem System liegt, treten in der Ungleichung jeweils von bzw. abhängige Konstanten auf.
Definition: Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen
BearbeitenSei eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen bzw. definiert sind. Die beiden Gaugefunktionalsystem heißen äquivalent, wenn für diese gilt:
und umgekehrt
Bemerkung: Implikation der Konvergenz
Bearbeiten- Die erste Bedingung in der obigen Definition liefert, dass ein Netz , das bzgl. konvergiert auch in der von erzeugten Topologie konvergiert.
- Die zweite Bedingung liefert umgekehrt, dass bzgl. konvergiert, wenn das Netz auch bzgl. konvergiert.
Definition: isometrische Erweiterung von Gaugefunktionalsystemen
BearbeitenSei eine -Algebraerweiterung von mit den topologieerzeugenden Systemen von Gaugefunktionalen auf bzw. auf . Die Algebraerweiterung nennt isometrisch, falls gilt:
und umgekehrt
Definition: K-regulär - K-singulär
BearbeitenSei eine Klasse topologischer Algebren mit Einselement und eine Algebra. Ein Element der Algebra heißt -regulär (Bezeichnung: ), falls es eine -Erweiterung von gibt, in der invertierbar ist. Falls dies nicht möglich ist, heißt -singulär oder permanent singulär in jeder -Erweiterung von .
Bemerkung: Polynomalgebra
BearbeitenBei der Konstruktion der Algebraerweiterung ist es für einige Algebrenklassen notwendig, die Erweiterung auf die Algebra der Polynome zu betrachten. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung konstruiert wird.
Bemerkung: regulär - K-regulär
BearbeitenJedes reguläre Element ist zugleich auch -regulär, da reguläre Elemente bereits in der Algebra selbst invertierbar sind, in natürlicher Weise eine Algebraerweiterung von sich darstellt, in der das inverse Element existiert. Daher gilt .
Definition: Absolutcharakter
BearbeitenDie -Singularität besitzt Absolutcharakter, falls aus -Singularität -Singularität folgt.
Augaben für Lernende
BearbeitenDie Aufgaben beziehen sich auf die topologieerzeugenden Gaugefunktionalsysteme und die Äquivalenz dieser Systeme. Diese Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme wird für die Einbettung der Algebraerweiterung von in benötigt, damit man die Stetigkeit der Einbettung und der Umkehrabbildung nachweisen kann.
Aufgabe 1: Bezug unter Unterschiede zum Satz von Hahn-Banach
BearbeitenBetrachten Sie den Satz von Hahn-Banach und die Erweiterung von linearen Funktionalen von einem Unterrraum auf den gesamten Vektorraum .
- Welche topologischen Gemeinsamkeiten und Unterschiede sehen Sie bei der Erweitung von linearen Funktionalen (Hahn-Banach) und der Algebraerweiterung?
- Wie kann man aus einem linearen Funktional ein Halbnorm auf erzeugen und mit der Erweiterung von auf eine Halbnorm auf ?
Aufgabe 2: Konvergenz in äquivalenten Gaugefunktionalsystemen
BearbeitenSei eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen bzw. definiert sind. Ferner sei ein Netz in gegeben.
- Notieren Sie dazu zunächst die Konvergenz bzgl. der topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen und formal.
- Zeigen Sie, dass in einer Algebra ein Netz genau der dann in konvergiert, wenn es auch bzgl. konvergiert.
Aufgabe 3: Algebraerweiterungen von Matrixalgebren
BearbeitenSei die nicht-kommunitive Algebra der 2x2-Matrizen über mit der euklidischen Norm:
Aufgabe 3a: Polynomalgebraerweiterungen von Matrixalgebren
BearbeitenErzeugen Sie eine Polynomalgebra mit Koeffizienten in und topologisieren Sie den Raum ebenfalls mit einer Norm.
Definition 3b: Matrxixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren
BearbeitenBetten Sie in den Raum der 3x3-Matrizen über ein.
Aufgabe 3c: Matrixalgebraerweiterungen von Matrixalgebren
BearbeitenIst über die mit definierte Abbildung eine Algebraerweiterung definiert worden? Überprüfen Sie die Eigenschaften!
- Zeigen Sie, dass bijektiv nach ist.
- Verwenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, um die Stetigkeit von und nachzuweisen.
- Können Sie ein Element in der ursprünglichen Algebra der -Matrizen angeben, das in nicht invertierbar ist, aber bei dem Sie in ein inverses Element aus nach der Einbettung angeben können? (Hinweis: Sind nicht-invertierbare Matrizen Nullteiler in ?)
Siehe auch
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