Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen


Einführung

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Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren, so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.

Addition

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Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional   ein   mit

 

Zu diesem   kann man wieder   finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

 

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Multiplikation

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Analog kann man Stetigkeitssequenzen bzgl. der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional   ein   mit

 

Zu diesem   kann man wieder   finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

 

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Addition und Multiplikation

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In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.

Unitale Algebren und Gaugefunktionale

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In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional   voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation   voraussetzen kann, dass   gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.

Definition:

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Sei  , dann gilt mit  :

 

Analog definiert man den Fall   und  .


Partielle Ordnung auf der Menge der p-Gaugefunktionale

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Sei   eine topologische Algebra mit einem System   von  -Gaugefunktionalen. Auf der Indexmenge   wird nun die folgende partielle Ordnung definiert:

 

Unital positive Gaugefunktionale

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In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) gibt es eine Nullumgebungsbasis   aus kreisförmigen Mengen  . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale. Um für die Gaugefunktional   ohne Einschränkung voraussetzen zu können, dass   für das Einselement der Multiplikation   gilt, müssen wir den Schnitt von kreisförmigen Nullumgebungen betrachten.

Definition: Unital positives Gaugefunktionalsystem

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Sei   eine topologische Algebra mit einem System   von  -Gaugefunktionalen.   heißt "unital positiv", wenn für das Einselement   der Multiplikation die folgende Eigenschaft gilt:

 

Lemma zu unitalen positiven Gaugefunktionalsystemen

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Sei   eine Hausdorff'sche topologische Algebra, dann gibt es ein unital positves Gaugefunktionalsystem  , das die Topologie   erzeugt.

Wenn eine topologische Algebra   ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente   mit   zwei Umgebungen   und   existieren mit  .

Schnitt von kreisförmigen Mengen

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Da   eine Hausdorff-Topologie auf   ist, gibt es zu   ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis   aus kreisförmigen Mengen ein   finden, für das   gilt. Für   ebenfalls  . Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen   wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen).

Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen

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Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis   über   aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle   gilt:

  •   und damit wäre die von   erzeugte Topologie feiner als die von   und
  • umgekehrt ist   eine Nullumgebung und dann gibt es für alle   ein   mit  , weil   eine Nullumgebungsbasis von   ist.

Unital Positivität

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Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale  . Da die   kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale. Ferner gilt für alle   die Bedingung   damit gilt sogar  . Damit folgt die Behauptung  

Definition: Stetigkeitssequenz der Addition

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Sei   ist eine topologische Algebra der Klasse  . Eine Folge   von Gaugefunktionalen mit

  •   für alle  
  •   für alle  ,   und   heißt Stetigkeitssequenz der Addition oder kurz  -Sequenz und   sind die Stetigkeitskonstanten der Addition. Die  -Sequenz nennt man "normalisiert", falls   für alle   gilt.

Bemerkung: Stetigkeitskonstanten der Addition

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Die Stetigkeitskonstanten   der Addition entstehen z.B. dann, wenn die Gaugefunktionale Quasihalbnormen sind (siehe auch Korrespondenzsatz p-Halbnormen).

Definition: Stetigkeitssequenz der Multiplikation

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Sei   ist eine topologische Algebra der Klasse  . Eine Folge   von Gaugefunktionalen mit

  •   für alle  
  •   für alle  ,   und   heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz  -Sequenz der Multiplikation und   sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation. Die  -Sequenz nennt man "normalisiert", falls   für alle   gilt.

Bemerkung: Stetigkeitssequenzen und Polynomalgebren

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Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen   das erste  -Funktional   definiert, so n   heißt  -Sequenz zu  . Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die  -Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra   als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in   anwenden.

Bemerkung: Stetigkeit und Stetigkeitsequenzen

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 -Sequenzen können wegen der Stetigkeit der Multiplikation zu jedem   und für jede topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem   mit   eine  -Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf der Algebra   stetig.

Bemerkung: Normalisierte Stetigkeitssequenzen

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Im Allgemeinen wird man nur normalisierte  -Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu   gewählte  -Sequenz kann durch eine normalisierte  -Sequenz ersetzen werden. Ist nämlich   und  , so ist auch   ein stetiges  -Funktional und damit ein Element von  . Die Stetigkeitskonstanten   werden erst später bei der Regularitätsdingung von Bedeutung sein.

Definition: Stetigkeitssequenz

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Sei   ist eine topologische Algebra der Klasse  . Eine Folge   von Gaugefunktionalen mit

  •   für alle  
  •   für alle  ,
  •   für alle  ,

  und   heißt Stetigkeitssequenz kurz  -Sequenz und   sind die Stetigkeitskonstanten der Addition und Multiplikation. Die  -Sequenz nennt man "normalisiert", falls   für alle   gilt.

Existenzsatz über Stetigkeitssequenzen

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In einer topologischen Algebra   existiert zu jedem   eine Stetigkeitsequenz

 

Beweis - Übungsaufgabe

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Nutzen Sie das Topologisierungslemma für topologische Algebren um die Aussage als Übungsaufgabe zu zeigen. Ergänzen Sie dazu die fehlenden Schritte in dem folgenden Beweisrumpf:

In der topologischen Algebra   sei   beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für  :

 

p-Homogenität - pseudokonve Algebren

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Für pseudokonvexe Algebren   sei   ein System von Quasihalbnormen. Falls   mit einem System von  -homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der  -Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen, das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen).

Stetigkeit der Addition

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Konstruktion von Gaugefunktionalfolgen

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Sei  . Wir definieren nun zu jedem   eine Folge von Gaugefunktionalen  . Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.

Festlegung des ersten Gaugefunktionals

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Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung unital positiv ist, gilt   für alle  . Für eine normalisierte  -Sequenz zu   definieren wir als ersten Gaugefunktional  . Damit gilt:

 .

Stetigkeit der Multiplkation

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Sei nun   bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in der topologischen Algebra   ein  , für das gilt:

 

Ferner sei ohne Einschränkung  . Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man   durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung   mit   und  .

Supremumsgaugefunktional

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Sei nun   bereits induktiv definiert. Wir betrachten nun die Teilmenge   mit   Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form

 

Anwendung auf das Einselement 1

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Unter Anwendung der absoluten Homogenität von   erhält man:

 

Ferner wurde   für die " "-Abschätzung verwendet.

Anwendung auf das Einselement 2

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Unter Anwendung der absoluten Homogenität von   erhält man:

 

Abschätzung Gaugefunktionale 1

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Unter Anwendung der absoluten Homogenität von   erhält man analog für beliebige  :

 

Abschätzung Gaugefunktionale 2

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Unter Anwendung der absoluten Homogenität von   erhält man analog für beliebige  :

 

Abschätzung bzgl. Multiplikation

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Für   erhält man:

 

Abschätzung Einselement

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Wegen   gilt damit auch  .

Definition:

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Zwei Systeme   und   auf einem topologischen Vektorraum   heißen äquivalent (Bezeichnung:  ), falls gilt:

 


Bemerkung

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Äquivalente Systeme erzeugen die gleiche Topologie. Wenn man ein gerichtetes System und ein festes   gegeben hat und als weitere Indexmenge   definiert, dann sind   und   äquivalente Systeme.


Definition:

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Sei   eine topologische Algebra und  ,   zwei Folgen von Gaugefunktionalen in  .Dann definiert man:

 


Sei   eine topologische Algebra und

 

sei eine Abbildung, dann gibt es für alle   eine normalisierte  -Sequenz   mit

 

Sei   und   sei bereits induktiv definiert, dann erhält man   wie folgt:

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es ein   mit

 

Da   gerichtet ist, gibt es ein Funktional   mit

 

Damit folgt die Behauptung durch Induktion über  .  

Siehe auch

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