Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren , so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.
Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
ein
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
mit
‖
x
+
y
‖
α
≤
‖
x
‖
β
+
‖
x
‖
β
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle \|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }+\|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}
Zu diesem
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
kann man wieder
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}
finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:
‖
x
+
y
‖
β
≤
‖
x
‖
γ
+
‖
x
‖
γ
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle \|x+y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }+\|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}
Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.
Analog kann man Stetigkeitssequenzen bzgl. der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
ein
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
mit
‖
x
⋅
y
‖
α
≤
‖
x
‖
β
⋅
‖
x
‖
β
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\cdot \|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}
Zu diesem
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
kann man wieder
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}
finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:
‖
x
⋅
y
‖
β
≤
‖
x
‖
γ
⋅
‖
x
‖
γ
für alle
x
,
y
∈
A
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A}
Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.
In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.
In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation
e
∈
A
{\displaystyle e\in A}
voraussetzen kann, dass
‖
e
‖
α
>
0
{\displaystyle \|e\|_{\alpha }>0}
gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.
Partielle Ordnung auf der Menge der p-Gaugefunktionale
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Definition: Unital positives Gaugefunktionalsystem
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Lemma zu unitalen positiven Gaugefunktionalsystemen
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Wenn eine topologische Algebra
(
A
,
T
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}})}
ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente
0
A
,
e
A
∈
A
{\displaystyle 0_{A},e_{A}\in A}
mit
0
A
≠
e
{\displaystyle 0_{A}\not =e}
zwei Umgebungen
U
0
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
und
U
1
∈
U
T
(
e
A
)
{\displaystyle U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(e_{A})}
existieren mit
U
0
∩
U
1
=
∅
{\displaystyle U_{0}\cap U_{1}=\emptyset }
.
Da
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
eine Hausdorff-Topologie auf
A
{\displaystyle A}
ist, gibt es zu
U
0
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis
{
U
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
aus kreisförmigen Mengen ein
U
β
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
finden, für das
U
β
⊆
U
0
{\displaystyle U_{\beta }\subseteq U_{0}}
gilt. Für
U
β
{\displaystyle U_{\beta }}
ebenfalls
U
β
∩
U
1
=
∅
{\displaystyle U_{\beta }\cap U_{1}=\emptyset }
. Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen
U
α
,
U
β
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen ).
Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen
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Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis
{
U
^
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
über
U
^
α
:=
U
α
∩
U
β
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
gilt:
U
^
α
⊆
U
α
{\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }}
und damit wäre die von
{
U
^
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
erzeugte Topologie feiner als die von
{
U
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
und
umgekehrt ist
U
^
α
:=
U
α
∩
U
β
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
eine Nullumgebung und dann gibt es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
γ
∈
A
{\displaystyle \gamma \in {\mathcal {A}}}
mit
U
γ
⊆
U
^
α
{\displaystyle U_{\gamma }\subseteq {\widehat {U}}_{\alpha }}
, weil
{
U
γ
:
γ
∈
A
}
{\displaystyle \{U_{\gamma }\,:\,\gamma \in {\mathcal {A}}\}}
eine Nullumgebungsbasis von
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
ist.
Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale
‖
⋅
‖
α
:=
P
U
^
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}}
. Da die
U
^
α
:=
U
α
∩
U
β
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle {\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale . Ferner gilt für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
die Bedingung
e
∉
U
^
α
{\displaystyle e\notin {\widehat {U}}_{\alpha }}
damit gilt sogar
‖
e
A
‖
α
:=
P
U
^
α
(
e
A
)
≥
1
>
0
{\displaystyle \|e_{A}\|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}(e_{A})\geq 1>0}
. Damit folgt die Behauptung
◻
{\displaystyle \Box }
Definition: Stetigkeitssequenz der Addition
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Definition: Stetigkeitssequenz der Multiplikation
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}
ist eine topologische Algebra der Klasse
K
{\textstyle {\mathcal {K}}}
. Eine Folge
(
‖
⋅
‖
n
)
n
∈
N
0
∈
(
‖
⋅
‖
A
)
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}
von Gaugefunktionalen mit
‖
⋅
‖
n
≤
‖
⋅
‖
n
+
1
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}
für alle
n
∈
N
0
{\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}
‖
x
⋅
y
‖
n
≤
S
n
⋅
‖
x
‖
n
+
1
⋅
‖
y
‖
n
+
1
{\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}
für alle
x
,
y
∈
A
{\textstyle x,y\in A}
,
n
∈
N
0
{\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}
und
S
n
>
0
{\textstyle S_{n}>0}
heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz
S
K
{\textstyle S_{\mathcal {K}}}
-Sequenz der Multiplikation und
S
n
{\textstyle S_{n}}
sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation. Die
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz nennt man "normalisiert", falls
S
n
=
1
{\textstyle S_{n}=1}
für alle
n
∈
N
0
{\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}
gilt.
Bemerkung: Stetigkeitssequenzen und Polynomalgebren
Bearbeiten
Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
das erste
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
-Funktional
‖
⋅
‖
0
:=
‖
⋅
‖
α
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{0}:=\|\cdot \|_{\alpha }}
definiert, so n
(
‖
⋅
‖
n
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
heißt
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz zu
‖
⋅
‖
α
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}
. Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra
A
[
t
]
¯
{\textstyle {\overline {A[t]}}}
als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in
A
{\displaystyle A}
anwenden.
Bemerkung: Stetigkeit und Stetigkeitsequenzen
Bearbeiten
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenzen können wegen der
Stetigkeit der Multiplikation zu jedem
‖
⋅
‖
α
∈
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
und für jede
topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem
‖
⋅
‖
α
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}
mit
α
∈
A
{\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
eine
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf
der Algebra
A
{\textstyle A}
stetig.
Bemerkung: Normalisierte Stetigkeitssequenzen
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Im Allgemeinen wird man nur normalisierte
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu
‖
⋅
‖
α
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}
gewählte
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz kann durch
eine normalisierte
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz ersetzen werden.
Ist nämlich
‖
⋅
‖
α
∈
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
und
λ
≥
1
{\textstyle \lambda \geq 1}
, so ist auch
λ
⋅
‖
⋅
‖
α
{\textstyle \lambda \cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}
ein stetiges
K
{\textstyle {\mathcal {K}}}
-Funktional und damit
ein Element von
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
.
Die Stetigkeitskonstanten
S
n
{\textstyle S^{n}}
werden erst später bei der
Regularitätsdingung von Bedeutung sein.
In der topologischen Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}
sei
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
:
‖
⋅
‖
0
(
α
)
:=
‖
⋅
‖
α
.
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}
Für pseudokonvexe Algebren
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
P
C
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}}
sei
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
ein System von Quasihalbnormen. Falls
A
{\displaystyle A}
mit einem System von
p
{\displaystyle p}
-homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der
p
{\displaystyle p}
-Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen , das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen ).
(
‖
⋅
‖
n
(
α
)
)
n
∈
N
0
∈
(
‖
⋅
‖
A
)
N
0
mit
‖
⋅
‖
0
(
α
)
:=
‖
⋅
‖
α
.
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}
Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
e
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}}
. Wir definieren nun zu jedem
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
eine Folge von Gaugefunktionalen
(
‖
⋅
‖
n
(
α
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
. Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.
Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung unital positiv ist, gilt
‖
e
A
‖
α
>
0
{\displaystyle \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }>0}
für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
. Für eine normalisierte
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz
zu
‖
⋅
‖
α
∈
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
definieren wir als ersten Gaugefunktional
‖
⋅
‖
0
(
α
)
:=
1
‖
e
A
‖
α
⋅
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }}}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}
. Damit gilt:
‖
e
A
‖
0
(
α
)
:=
1
‖
e
A
‖
α
⋅
‖
e
A
‖
α
=
1
{\displaystyle \left\|e_{A}\right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }}}\cdot \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }=1}
.
Sei nun
‖
x
‖
n
(
α
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}
bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in der topologischen Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
ein
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
, für das gilt:
∀
x
y
∈
A
:
‖
x
⋅
y
‖
n
(
α
)
≤
‖
x
‖
β
⋅
‖
y
‖
β
{\displaystyle \forall _{\displaystyle xy\in A}\,:\,\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}
Ferner sei ohne Einschränkung
‖
⋅
‖
n
(
α
)
≤
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{n}^{(\alpha )}\leq \|\cdot \|_{\beta }}
. Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man
U
β
{\displaystyle U_{\beta }}
durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung
U
n
(
α
)
∩
U
β
{\displaystyle U_{n}^{(\alpha )}\cap U_{\beta }}
mit
U
β
:=
B
1
β
(
0
A
)
{\displaystyle U_{\beta }:=B_{1}^{\beta }(0_{A})}
und
U
n
(
α
)
:=
{
x
∈
A
:
‖
x
‖
n
(
α
)
<
1
}
{\displaystyle U_{n}^{(\alpha )}:=\{x\in A\,:\,\|x\|_{n}^{(\alpha )}<1\}}
.
Sei nun
‖
x
‖
n
(
α
)
{\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}
bereits induktiv definiert.
Wir betrachten nun die Teilmenge
e
∈
T
n
⊂
A
{\textstyle e\in T_{n}\subset A}
mit
T
n
:=
{
s
∈
A
:
‖
s
‖
β
>
0
}
.
{\displaystyle T_{n}:=\{s\in A\,:\,\left\|s\right\|_{\beta }>0\}.}
Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
:=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
x
‖
n
(
α
)
für alle
x
∈
A
{\displaystyle \left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}:=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ für alle }}x\in A}
Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
‖
⋅
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}
erhält man:
‖
e
A
‖
n
+
1
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
e
A
‖
n
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
‖
n
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
1
‖
s
‖
β
⋅
‖
s
‖
n
(
α
)
⏟
≤
1
≤
‖
e
A
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|e_{A}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\underbrace {{\frac {1}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot \left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}} _{\leq 1}\leq \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\end{array}}}
Ferner wurde
‖
s
‖
n
(
α
)
≤
‖
s
‖
β
{\displaystyle \left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|s\right\|_{\beta }}
für die "
≤
{\displaystyle \leq }
"-Abschätzung verwendet.
Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
‖
⋅
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}
erhält man:
‖
e
A
‖
n
+
1
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
e
A
‖
n
(
α
)
≥
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
e
A
‖
e
A
‖
β
⋅
e
A
‖
n
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
e
A
‖
e
A
‖
β
‖
n
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
e
A
‖
n
(
α
)
‖
e
A
‖
β
=
‖
e
A
‖
n
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|e_{A}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot {\frac {\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}=\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}
Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
‖
⋅
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}
erhält man analog für beliebige
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
:
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
x
‖
n
(
α
)
≥
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
e
A
‖
e
A
‖
β
⋅
x
‖
n
(
α
)
weil
e
A
∈
T
n
=
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
x
‖
e
A
‖
β
‖
n
(
α
)
=
‖
x
‖
n
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ weil }}e_{A}\in T_{n}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {x}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}}
Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
‖
⋅
‖
n
(
α
)
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}}
erhält man analog für beliebige
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
:
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
=
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
x
‖
n
(
α
)
≤
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
‖
β
⋅
‖
x
‖
β
=
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
x
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }\\\end{array}}}
Für
y
∈
T
n
{\displaystyle y\in T_{n}}
erhält man:
‖
x
⋅
y
‖
n
(
α
)
≤
‖
y
‖
β
⋅
‖
x
⋅
y
‖
y
‖
β
‖
n
(
α
)
≤
‖
y
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
x
‖
=
‖
y
‖
β
⋅
1
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
e
A
‖
β
⋅
sup
s
∈
T
n
‖
s
‖
s
‖
β
⋅
x
‖
=
‖
y
‖
β
⋅
1
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
x
‖
n
+
1
(
α
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}&\leq &\|y\|_{\beta }\cdot \left\|x\cdot {\frac {y}{\|y\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\|y\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|\\&=&\|y\|_{\beta }\cdot {\frac {1}{\|e_{A}\|_{\beta }}}\cdot \|e_{A}\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|\\&=&\|y\|_{\beta }\cdot {\frac {1}{\|e_{A}\|_{\beta }}}\cdot \|x\|_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}}}
Wegen
‖
e
A
‖
n
(
α
)
≤
‖
e
A
‖
β
⋅
‖
e
A
‖
β
=
‖
e
A
‖
β
2
{\textstyle \left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|e_{A}\right\|_{\beta }={\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}^{2}}
gilt damit auch
‖
e
A
‖
β
≥
‖
e
A
‖
n
(
α
)
>
0
{\displaystyle \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\geq {\sqrt {\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}}}>0}
.
Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
T
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}
eine topologische Algebra und
⋅
~
:
A
×
N
0
⟶
A
mit
(
α
,
n
)
⟼
(
α
,
n
)
~
{\displaystyle {\tilde {\cdot }}:{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}\longrightarrow {\mathcal {A}}{\mbox{ mit }}(\alpha ,n)\longmapsto {\widetilde {(\alpha ,n)}}}
sei eine Abbildung, dann gibt es für alle
‖
⋅
‖
α
∈
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
eine normalisierte
M
K
{\textstyle M_{\mathcal {K}}}
-Sequenz
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
)
n
∈
N
0
{\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}
mit
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
~
)
n
∈
N
0
≤
(
‖
⋅
‖
(
α
,
n
+
1
)
)
n
∈
N
0
.
{\displaystyle \left(\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}.}
Sei
‖
⋅
‖
(
α
,
0
)
:=
‖
⋅
‖
α
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}
und
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}}
sei bereits induktiv definiert, dann
erhält man
‖
⋅
‖
(
α
,
n
+
1
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}}
wie folgt:
Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es ein
‖
⋅
‖
β
∈
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\beta }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
mit
∀
x
,
y
∈
A
:
‖
x
⋅
y
‖
(
α
,
n
)
≤
‖
x
‖
β
⋅
‖
y
‖
β
.
{\displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,n)}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }.}
Da
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
gerichtet ist, gibt es ein Funktional
‖
⋅
‖
(
α
,
n
+
1
)
∈
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
mit
‖
⋅
‖
(
α
,
n
)
~
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
n
+
1
)
und
‖
⋅
‖
β
≤
‖
⋅
‖
(
α
,
n
+
1
)
.
{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}{\mbox{ und }}\left\|\cdot \right\|_{\beta }\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}.}
Damit folgt die Behauptung durch Induktion über
n
{\textstyle n}
.
◻
{\displaystyle \Box }