Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren

Einführung

Das Topologisierungslemma für Algebren erlaubt die Beschreibung der Stetigkeit von den Verknüpfungen in einer topologischen Algebra über Gaugefunktionale. Diese Lernressource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Topologisierungslemma für Algebren

Sei ${\textstyle A}$ eine Algebra. ${\textstyle A}$ ist genau dann eine topologische Algebra ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$, die die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ durch ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit den Eigenschaften (A1)-(A5) erzeugt werden kann.

Charakterisierende Eigenschaften (A1)-(A5)

• (A1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 0}$
• (A2) ${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{A}}$
• (A3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$
• (A4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in A}:\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}$
• (A5) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$

Topologisierunglemma für Vektorräume

Sei ${\textstyle V}$ eine Vektorraum. ${\textstyle V}$ ist genau dann eine topologischer Vektorraum ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$, der die Hausdorfeigenschaft erfüllt, wenn die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ durch ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit den Eigenschaften (V1)-(V4) erzeugt werden kann.

Charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4)

• (V1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in V}:\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 0}$
• (V2) ${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{V}}$
• (V3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in V,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$
• (V4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in V}:\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}$

Bemerkung - Topologisierunglemma für topologische Vektorräume

Den topologischen Vektorräumen ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ fehlt die stetige innere Verknüfung der Multiplikation $\cdot :V\times V\to V$. Daher erhält man für topologische Vektorräume nur vier charakterisierende Eigenschaften (V1)-(V4). Der Beweis der Eigenschaften erfolgt analog zu den Beweis für das Topologisierungslemma für topologische Algebren.

Hausdorff-Eigenschaft

Wenn die topologische Algebra die Hausdorfeigenschaft nicht erfüllt, gilt (A2) nicht und man kann zwei Punkte $x_{1}\not =x_{2}$ ebenfalls nicht durch das Gaugefunktionalsystem trennen. Wenn nicht anders angegeben, sind die topologischen Algebren Hausdorff'sch.

Bemerkung 1: Beweisstruktur

Für den Beweis muss man zwei Richtungen zeigen,

• dass für eine topologische Algebra ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$ ein System von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit folgenden Eigenschaften (A1)-(A5) existiert und
• umgekehrt erzeugt ein System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von Gaugefunktionalen mit (A1)-(A5) eine Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ auf $A$, die ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$ zu einer topologischen Algebra macht.

Bemerkung 2: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Ohne Einschränkung verwenden wir ein Gaugefunktionalsystem, das bzgl. des Radius der $\varepsilon$-Kugeln vollständig erweitert ist. D.h. man erweitert das Gaugefunktionalsystem auch um äquivalente Gaugefunktional der Form $\|\cdot \|_{(\alpha ,\varepsilon )}:=\varepsilon \cdot \|\cdot \|_{\alpha }$. Das erspart die Verwendung von Konstanten in dem folgenden Beweis.

Stetigkeit in einem Punkt

In dem Beweis geht ein, dass man bei linearen bzw. bilinearen Abbildung die Stetigkeit nur in einem Punkt (hier Nullvektor nachweisen muss, um die Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich der (bi-)linearen Abbildung nachzuweisen (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen)

Beweisidee

Der folgende Beweis stellt für die Eigenschaften (A1)-(A5) die folgenden Beziehung zur Topologie und Mengen her.

• (A1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\geq 0}$ - Definition des Minkowski-Funktional für absorbierende Mengen
• (A2) ${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{A}}$ Hausdorff-Eigenschaft der Topologie
• (A3) ${\textstyle \left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$ Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren
• (A4) ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}$ Stetigkeit der Addition
• (A5) ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$ Stetigkeit der Multiplikation

Beweis

Topologische Vektorräume besitzen eine Nullumgebungsbasis ${\textstyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ aus kreisförmigen Mengen. Man betrachtet dann als System der die Minkowski-Funktionale ${\textstyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$ dieser kreisförmigen Nullumgebungen ${\textstyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$. Nur sind jeweils zwei Beweisrichtungen zu zeigen:

• Eine topologische Algebra $(A{\mathcal {T}})$ ist gegeben und die Eigenschaften (A1)-(A5) sind zu zeigen und umgekehrt
• bei gegeben topologieerzeugenden Gaugeunktionalen mit den Eigenschaften ${\textstyle (A1)-(A5)}$ für ${\mathcal {T}}$ wird die Algebra zu einer topologischen Algebra.

Beweis (A1) Topologie gegeben

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist gegeben und die Eigenschaften (A1) ist zu zeigen.

Beweis (A1.1) - Nicht-Negativität

Mit der kreisförmigen Nullumgebung ${\textstyle U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ definiert man das Minkowskifunktional:

${\textstyle \|x\|_{\alpha }:=\inf\{\lambda >0\,:\,x\in \lambda \cdot U_{\alpha }\}}$.

Beweis (A1.2) - Nicht-Negativität

Die Eigenschaft der Nichtnegativität folgt aus der Definition des Minkowski-Funktionals, da ein Infimum über positive Zahlen gebildet wird, mit der eine absorbierende (kreisförmige) Menge ${\textstyle U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ noch ein Element $x\in A$ "einfängt" (${\textstyle x\in \lambda \cdot U_{\alpha }}$. Ein Infimum von positiven Zahlen ist zumindest nicht negativ (d.h. ${\textstyle 0\leq \|x\|_{\alpha }\leq \lambda }$).

Beweis (A1) Gaugefunktionalsystem gegeben

Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gegeben, dass Eigenschaften $(A1)-(A5)$, dann gibt es eine Nullumgebungsbasis ${\textstyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ aus kreisförmigen Mengen.

Beweis (A1.3) Gaugefunktionalsystem gegeben

Man definiert die Nullumgebungsbasis ${\textstyle \{\varepsilon \cdot U_{\alpha }\}_{\alpha \in {{\mathcal {A}},\lambda >0}}}$ mit:

$U_{\alpha }:=B_{1}^{\alpha }(0_{A}):=\left\{x\in A\,:\,\left\|x\right\|_{\alpha }<1\right\}$

Die Menge $U_{(\alpha ,\varepsilon )}:=\varepsilon \cdot U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ ist eine Nullumgebung, weil ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die topologieerzeugend für ${\mathcal {T}}$ ist.

Bemerkung (A1.4) Gaugefunktionalsystem gegeben

Man kann sich hier auf die 1-Umgebungen beschränken, weil das Gaugefunktionalsystem bzgl. der $\varepsilon$-Radien ohne Einschränkung vervollständigt ist, d.h. es wurde ggf. um äquivalente Gaugefunktionale der Form $\|\cdot \|_{(\alpha ,\varepsilon )}:=\varepsilon \cdot \|\cdot \|_{\alpha }$ ggf. erweitert wurde.

Beweis (A1.5) Gaugefunktionalsystem gegeben - Nullumgebung kreiförmig

Ferner ist die Menge $U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ kreisförmig, weil mit $x\in U_{\alpha }$, $\lambda \in \mathbb {K}$ und $|\lambda |\leq 1$ mit (A3) gilt:

$\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }{\stackrel {(A3)}{=}}|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\alpha }<1$

Also gilt mit $\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }<1$ auch $\lambda \cdot x\in U_{\alpha }$ und $U_{\alpha }$ ist kreisförmig.

Beweis (A1.6) Gaugefunktionalsystem gegeben - Umgebungen von Vektoren

Für einen beliebigen Vektor $x_{o}\in A$ definiert man die Umgebungbasis ${\textstyle \{B_{\varepsilon }^{\alpha }(x_{o})\}_{\alpha \in {{\mathcal {A}},\varepsilon >0,x_{o}\in A}}}$ wie folgt mit:

$B_{\varepsilon }^{\alpha }(x_{o}):=\left\{x\in A\,:\,\left\|x-x_{o}\right\|_{\alpha }<\varepsilon \right\}$

Die Menge $B_{\varepsilon }^{\alpha }(x_{o}):=U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x)$ ist eine Umgebung von $x_{o}$, weil ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die topologieerzeugend für ${\mathcal {T}}$ ist.

Beweis (A1.7) Gaugefunktionalsystem gegeben

${\mathcal {T}}$ sei nun die kleinste Topologie, die von dem Mengensystem ${\textstyle \{B_{\varepsilon }^{\alpha }(x_{o})\}_{\alpha \in {\mathcal {A}},\varepsilon >0,x_{o}\in A}}$ erzeugt wird. Im weiteren Verlauf muss man nun nachweisen, dass die Multiplikation mit Skalaren, Addition und Multiplikation auf $(A,{\mathcal {T}})$ stetig sind, wenn das Gaugefunktionalsystem gegeben ist.

Beweis (A2) Topologie gegeben

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist gegeben und die Eigenschaft (A2) ist zu zeigen.

Beweis (A2.1) Hausdorff-Eigenschaft gegeben

Die topogische Algebra ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$ nach Definition Hausdorff'sch. Man betrachtet ${\textstyle x\in A}$ mit $x\not =0_{A}$. Es gibt dann ein Umgebung $U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ und $U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x)$ mit $U_{0}\cap U_{1}=\emptyset$.

Beweis (A2.2) Hausdorff-Eigenschaft gegeben

Da in einem topologischen Vektorraum (Algebra) eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen ${\textstyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ existiert, gibt es ein${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ mit $U_{\alpha }\subseteq U_{0}$. Da $U_{0}\cap U_{1}=\emptyset$ und $x\in U_{1}$ gilt, folgt $x\notin U_{0}$ und damit über die Definition des Minkowski-Funktionals

${\textstyle \|x\|_{\alpha }:=\inf\{\lambda >0\,:\,x\in \lambda \cdot U_{\alpha }\}\geq 1}$ und es gibt eine $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit ${\textstyle \|x\|_{\alpha }\not =0}$

Beweis (A2) Gaugefunktionalsystem gegeben

Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gegeben, dass Eigenschaften $(A1)-(A5)$ erfüllt, dann ist die Hausdorff-Eigenschaft für die erzeugte Topologie ${\mathcal {T}}$ zu zeigen.

Beweis (A2.3) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen

Seien nun $x_{1},x_{2}\in A$ mit $x_{1}\not =x_{2}$ beliebig gewählt. Nun verwendet man die topologieerzeugenden Gaugefunktionalen ${\textstyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ mit $\alpha \in {\mathcal {A}}$, um zwei Umgebungen $U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{1})$ und $U_{2}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(x_{2})$ zu erzeugen, für die $U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ gilt.

Beweis (A2.4) Hausdorff-Eigenschaft - Kontraposition

Die Topologie der Algebra sei nun durch ein Gaugefunktionalsystem mit den Eigenschaft (A1)-(A5) erzeugt. Man wendet nun Bedingung (A2) auf $x:=x_{1}-x_{2}$ an:

${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{A}}$

Man erhält mit der Kontrapostion von (A2) für $x=x_{1}-x_{2}$ ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit $\left\|x_{1}-x_{2}\right\|_{\alpha }>0$, denn:

${\textstyle x\not =0_{A}\Longrightarrow \displaystyle \left(\exists _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }>0\right)}$

Beweis (A2.5) Hausdorff-Eigenschaft nachweisen

Wir wenden nun die obige Kontraposition auf $x:=x_{1}-x_{2}\not =0$ an. Daher gibt es ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit

$0<\lambda :=\|x\|_{\alpha }=\|x_{1}-x_{2}\|_{\alpha }=|-1|\cdot \|x_{1}-x_{2}\|_{\alpha }=\|x_{2}-x_{1}\|_{\alpha }$

Mit der Bedingung (A4) gibt es zu diesem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ mit

$\displaystyle \forall _{\displaystyle x,y\in A}:\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }$

Beweis (A2.6) Hausdorff-Eigenschaft - Definition der Umgebungen

Setzen nun mit $r:={\frac {\lambda }{3}}$ die Umgebungen $U_{1}:=B_{r}^{\beta }(x_{1})$ und $U_{2}:=B_{r}^{\beta }(x_{2})$. Wegen $\|x_{1}-x_{1}\|_{\beta }=0\leq r$ und $\|x_{2}-x_{2}\|_{\beta }=0\leq r$ gilt insbesondere $x_{1}\in U_{1}$ und $x_{2}\in U_{2}$. Um die Hausdorff-Eigenschaft nachzuweisen, ist nun noch $U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ zu zeigen.

Beweis (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft - Annahme - Schnitt nicht leer

Man nimmt nun an, dass der Schnitt $U_{1}\cap U_{2}$ nicht die leere Menge ist und damit ein $x_{o}\in U_{1}\cap U_{2}$ existiert, für das gilt:

${\begin{array}{rcl}0&<&\lambda :=\|x\|_{\alpha }=\|x_{1}-x_{2}\|_{\alpha }=\|(x_{1}-x_{0})+(x_{0}-x_{2})\|_{\alpha }\\&\leq &\|x_{1}-x_{0}\|_{\beta }+\|x_{0}-x_{2}\|_{\beta }\leq {\frac {\lambda }{3}}+{\frac {\lambda }{3}}={\frac {2\cdot \lambda }{3}}\end{array}}$

Widerspruch, wegen $0<\lambda <{\frac {2}{3}}\cdot \lambda$. Also gilt $U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ und die Topologie der Algebra ist Hausdorff'sch.

Bemerkung (A2.7) Hausdorff-Eigenschaft

Die Bedingung (A2) liefert also unter Ausnutzung der Bedingung (A4) die Hausdorff-Eigenschaft der Algebra ${\textstyle A}$ . Ferner ist die topologische Algebra nach Voraussetzuung Hausdorff'sch. Verlangt man die Hausdorff-Eigenschaft nicht, entfällt beim Topologisierungslemma die Eigenschaft (A2).

Beweis (A3) Topologie gegeben

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist gegeben und die Eigenschaften (A3) ist zu zeigen.

Beweis (A3.1) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben

In einem topologischen Vektoraum $(A,{\mathcal {T}})$ (und natürlich auch in einer topologischen Algebra) existiert eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Betrachtet man die dazugehörigen Minkowski-Funktionale, so sind diese bei kreisförmigen Mengen homogen (also Gaugefunktionale). Denn es gilt für beliebige $\varepsilon >0$, $\lambda \in \mathbb {K} \setminus \{0\}$ und der Kreisförmigkeit von $U_{\alpha }$:

$x\in (\|x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }\,\Rightarrow \,{\frac {|\lambda |}{\lambda }}\cdot x\in (\|x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }$

Dies gilt wegen $\left|{\frac {|\lambda |}{\lambda }}\right|=1$

Beweis (A3.2) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben

Ferner gilt für $\lambda \cdot x$, $\lambda \not =0$ und $\lambda \cdot x\in (\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }$

$\,|\lambda |\cdot x={\frac {|\lambda |}{\lambda }}\cdot \lambda \cdot x\in (\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }$

Insgesamt erhält man für alle $x\in \left({\frac {\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }+\varepsilon }{|\lambda |}}\right)\cdot U_{\alpha }$ und über Infimumbildung bzgl. $\varepsilon >0$ erhält man: $\|x\|_{\alpha }\leq {\frac {\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }}{|\lambda |}}$ bzw. $|\lambda |\cdot \|x\|_{\alpha }\leq \|\lambda \cdot x\|_{\alpha }$.

Beweis (A3.3) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben

Die umgekehrte Ungleichung $|\lambda |\cdot \|x\|_{\alpha }\geq \|\lambda \cdot x\|_{\alpha }$ erhält man mit der Kreisförmigkeit von $U_{\alpha }$ und $\lambda \cdot x\in (\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }$:

$|\lambda |\cdot \underbrace {{\frac {\lambda }{|\lambda |}}\cdot x} _{\in (\|x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }}\in |\lambda |\cdot (\|x\|_{\alpha }+\varepsilon )\cdot U_{\alpha }$

Also erhält man über die Infimumbildung von $\varepsilon >0$ auch $\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }\leq |\lambda |\cdot \|x\|_{\alpha }$.

Beweis (A3.4) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gegeben

Beweisschritt (A3.2) und (A3.3) zusammen liefert die Gleichheit $|\lambda |\cdot \|x\|_{\alpha }=\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }$.

Beweis (A3) Gaugefunktionalsystem gegeben

Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gegeben, dass Eigenschaften $(A1)-(A5)$ erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren bzgl. ${\mathcal {T}}$ zu zeigen.

Beweis (A3.5) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen

Ist umgekehrt ein Nullfolge $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ein Netz $(x_{i})_{i\in I}$ gegeben, das in der Topologie $(A,{\mathcal {T}})$ gegen den Nullvektor $0_{A}$ konvergiert, so gilt:

$\displaystyle \forall _{\varepsilon >0,\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,i_{\alpha }\in I}\forall _{n\geq n_{\varepsilon },i\geq i_{\alpha }}\,:\,\,|\lambda _{n}|<\varepsilon \,\wedge x_{i}\in U_{\alpha }$

Damit erhält man durch Anwendung von Bedingung (A3):

$\displaystyle \forall _{\varepsilon >0,\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,i_{\alpha }\in I}\forall _{n\geq n_{\varepsilon },i\geq i_{\alpha }}\,:\,\,\|\lambda _{n}\cdot x_{i}\|_{\alpha }{\stackrel {(A3)}{=}}|\lambda _{n}|\cdot \underbrace {\|x_{i}\|_{\alpha }} _{\leq 1}<\varepsilon \cdot 1=\varepsilon$

Beweis (A3.6) Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren zeigen

Insgesamt konvergiert $(\lambda _{n}\cdot x_{i})_{(n,i)\in \mathbb {N} \times I}$ ebenfalls gegen den Nullvektor $0_{A}$, da für alle $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ eine kreisförmige Nullumgebung $U_{\alpha }\subseteq U$ existiert. Für diese kreisförmige Nullumgebung gibt es dann eine Indexschranke $i_{\alpha }\in I$, ab der alle $x_{i}\in U_{\alpha }\subseteq U$ liegen mit $i\geq i_{\alpha }$. Für eine kreisförmige Nullumgebungsbasis aus $U_{\alpha }:=B_{1}^{\alpha }(0_{A})$ und $|\lambda _{n}|<1$ liegt auch in $\lambda _{n}\cdot x_{i}\in U_{\alpha }\subset U$ (d.h. $\lambda _{n}\cdot x_{i}\in U$ mit $n>n_{\varepsilon }$. Die Indexschranke existiert wegen Konvergenz von $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ geben $0\in \mathbb {K}$. Insgesamt ist damit die Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren auf ${\textstyle A}$ gezeigt.

Beweis (A4) Topologie gegeben

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist gegeben und die Eigenschaften (A4) ist zu zeigen.

Beweis (A4.1) Stetigkeit der Addition

Die Stetigkeit der Addition liefert:

$$\forall _{\displaystyle U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}:U_{\beta }+U_{\beta }\subset U_{\alpha }$$

Insbesondere gilt ${\textstyle U_{\beta }=U_{\beta }+\{0_{A}\}\subset U_{\beta }+U_{\beta }\subset U_{\alpha }}$, weil $0_{A}\in U_{\beta }$ gilt. Also erhält man mit ${\textstyle U_{\beta }\subset U_{\alpha }}$ für die entsprechenden Minkowskifunktionale auch ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$. D.h. man muss eine absorbierende Teilmenge ${\textstyle U_{\beta }}$ im Vergleich zu ${\textstyle U_{\alpha }}$ ggf. stärker aufblasen, um das entsprechende $x\in A$ einzufangen.

Beweis (A4.2) Stetigkeit der Addition

Für ${\textstyle \left\|x\right\|_{\beta }=0}$ und ${\textstyle \left\|y\right\|_{\beta }=0}$ ist $x,y\in \lambda \cdot U_{\beta }$ für alle $\lambda >0$. Also sind insbesondere auch

$x+y\in \lambda \cdot U_{\beta }+\lambda \cdot U_{\beta }=\lambda \cdot (U_{\beta }+U_{\beta })\subset \lambda \cdot U_{\alpha }$

für alle $\lambda >0$. Damit erhält man die gesuchte (Un-)Gleichung direkt mit

${\textstyle \left\|x+y\right\|_{\alpha }=0=\underbrace {\left\|x\right\|_{\beta }} _{=0}+\underbrace {\left\|y\right\|_{\beta }} _{=0}}$ für alle $z\in A$.

Beweis (A4.3) Stetigkeit der Addition gegeben

Für ${\textstyle \left\|x\right\|_{\beta }\not =0}$ und ${\textstyle \left\|y\right\|_{\beta }=0}$ gilt, dass $y\in \lambda \cdot U_{\beta }$ für alle $\lambda >0$. Ferner gilt auch für alle $\varepsilon >0$ wegen Infimumsdefintion des Minkowski-Funktionals $x\in (\varepsilon +\|x\|_{\beta })\cdot U_{\beta }$.

Beweis (A4.4) Stetigkeit der Addition gegeben

Man erhält die gesuchte Ungleichung mit $y\in \lambda \cdot U_{\beta }$ für alle $\lambda >0$

${\begin{array}{rcl}x+y&\in &(\varepsilon +\|x\|_{\beta })\cdot U_{\beta }+(\underbrace {\varepsilon +\|x\|_{\beta })} _{\lambda :=}\cdot U_{\beta }\\&=&(\varepsilon +\|x\|_{\beta })\cdot (U_{\beta }+U_{\beta })\\&\subseteq &(\varepsilon +\|x\|_{\beta })\cdot U_{\alpha }\end{array}}$

für alle $\varepsilon >0$. Also gilt auch $\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }=\left\|x\right\|_{\beta }+\underbrace {\left\|y\right\|_{\beta }} _{=0}$.

Beweis (A4.5) Stetigkeit der Addition gegeben

Für ${\textstyle \left\|x\right\|_{\beta }=0}$ oder ${\textstyle \left\|y\right\|_{\beta }\not =0}$ erhält man die Aussage analog.

Beweis (A4.6) Stetigkeit der Addition

Seien nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{\beta }\not =0}$ und ${\textstyle \left\|y\right\|_{\beta }\not =0}$. Nach Definition der Minkowskifunktionale für die Nullumgebungen ${\textstyle U_{\alpha }}$ und ${\textstyle U_{\beta }}$, erhält man für jedes ${\textstyle \varepsilon >0}$:

${\begin{array}{rcl}{\frac {x}{\left\|x\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\in U_{\beta }\,\wedge \,{\frac {y}{\left\|y\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\in U_{\beta }&\Longrightarrow &{\frac {x}{\left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}},{\frac {y}{\left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}}\in U_{\beta }\\&\Longrightarrow &{\frac {x+y}{\left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}}\in U_{\beta }+U_{\beta }\subset U_{\alpha }\\&\Longrightarrow &\left\|{\frac {x+y}{\left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}}\right\|_{\alpha }\leq 1\Longrightarrow {\mbox{ Beh. (A4). }}\end{array}}$

Dabei wird die Kreisförmigkeit bzw. Homogenität (A3) der Minkowski-Funktionale aus den vorherigen Beweischritten verwendet.

Beweis (A4) Gaugefunktionalsystem gegeben

Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gegeben, dass Eigenschaften $(A1)-(A5)$ erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Addition bzgl. ${\mathcal {T}}$ zu zeigen.

Beweis (A4.7) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale

Wird umgekehrt die Topologie ${\mathcal {T}}$ durch ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ erzeugt und gilt die Bedingung (A4), dann gilt:

$$\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\exists {\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{\displaystyle x,y\in A}:\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta },$$

Beweis (A4.8) Addition - Topologisierung durch Gaugefunktionale

Dann ist die Addition auf ${\textstyle A}$ stetig, denn zu jeder Nullumgebung $U_{\alpha }$ aus der kreisförmigen Nullumgebungsbasis mit $0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}$, ${\textstyle x,y\in {\rm {B}}_{\varepsilon }^{\beta }(0)=:U_{\beta }}$ und ${\textstyle {\rm {B}}_{1}^{\alpha }(0)=:U_{\alpha }}$ gilt:

$$\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }\leq \varepsilon +\varepsilon <{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1$$

Insgesamt gilt $x+y\in U_{\alpha }$ und zu jeder kreisförmigen Nullumgebung $U_{\alpha }$ gibt es $U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ mit $U_{\beta }+U_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$.

Beweis (A5) Topologie gegeben

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist gegeben und die Eigenschaften (A5) ist zu zeigen.

Beweis (A5.1) Multiplikation - Topologie gegeben

Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man wie in ${\textstyle (A4)}$ erhält man

$$\forall _{\displaystyle U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}(0)}\exists _{\displaystyle U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}(0)}:U_{\beta }\cdot U_{\beta }=U_{\beta }^{^{2}}\subset U_{\alpha }$$

Beweis (A5.2) Multiplikation - Topologie gegeben

Sei ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt und die Behauptung ${\textstyle (A5)}$, denn:

$${\frac {x}{\left\|x\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\cdot {\frac {y}{\left\|y\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\in U_{\beta }\cdot U_{\beta }=U_{\beta }^{2}\subset U_{\alpha }$$

Beweis (A5.3) Multiplikation - Topologie gegeben

Aus ${\textstyle {\frac {x}{\left\|x\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\cdot {\frac {y}{\left\|y\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\in U_{\alpha }}$ folgt für alle ${\textstyle \varepsilon >0}$ unter Anwendung von Eigenschaft (A3), die mit obigen Beweisschritt für toplogische Algebren gilt auch:

$${\begin{array}{rcl}\left\|{\frac {x}{\left\|x\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\cdot {\frac {y}{\left\|y\right\|_{\beta }+\varepsilon }}\right\|_{\alpha }&\leq &1\Longrightarrow \\\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }&\leq &(\left\|x\right\|_{\beta }+\varepsilon )\cdot (\left\|y\right\|_{\beta }+\varepsilon )\end{array}}$$

Da ${\textstyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt war, gilt auch ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$.

Beweis (A5) Gaugefunktionalsystem gegeben

Ist umgekehrt auf einer Algebra ein topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gegeben, dass Eigenschaften $(A1)-(A5)$ erfüllt, dann ist die Stetigkeit der Multiplikation bzgl. ${\mathcal {T}}$ zu zeigen.

Beweis (A5.4) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale

Erfüllt das topologieerzeugendes Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Bedingung (A5), so gilt:

${\textstyle \displaystyle \forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\exists {\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{\displaystyle x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$

Beweis (A5.5) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale

Dann erhalten wird umgekehrt mit der gleichen Definition von ${\textstyle U_{\alpha }}$ und ${\textstyle U_{\beta }}$ als offene Einheitskugeln $U_{\alpha }:=B_{1}^{\alpha }(0_{A})$ und $U_{\beta }:=B_{\varepsilon }^{\beta }(0_{A})$ mit $0<\varepsilon <1$ offene Nullumgebungen. Wir zeigen nun, dass alle $x,y\in U_{\beta }$ das Produkt $x\cdot y\in U_{\alpha }$ liegt. Wegen $\varepsilon <1$ gilt insbesondere $U_{\beta }:=B_{\varepsilon }^{\beta }(0_{A})\subset B_{1}^{\beta }(0_{A})=:U_{\gamma }$ und damit ist $\|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\gamma }:=p_{U_{\gamma }}(x)$ (siehe Zusammenhang von Mengeninklusion und der $\leq$-Beziehung über absorbierende Mengen und Gaugefunktionale).

Beweis (A5.6) Nullumgebung - kreisförmige Nullumgebung

In der Rückrichtung von (A5) erhält man zu jeder Nullumgebung $U$ eine kreiförmige Nullumgebung $U_{\alpha }$ aus der Umgebungsbasis von kreisförmigen Mengen mit $U_{\alpha }\subset U$, die von einem Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ als Einheitskugel erzeugt wurde. Dies gilt, weil das Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ topologieerzeugend ist. Sei nun $x,y\in U_{\beta }$

$1>\varepsilon ^{2}=\varepsilon \cdot \varepsilon \geq \|x\|_{\beta }\cdot \|y\|_{\beta }{\stackrel {(A5)}{\geq }}\|x\cdot y\|_{\alpha }$

Man erhält also $\|x\cdot y\|_{\alpha }<1$ und damit $x\cdot y\in U_{\alpha }$.

Beweis (A5.7) Multiplikation - Topologisierung durch Gaugefunktionale

Die Stetigkeit der Multiplikation bei einer durch das System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ erzeugten Topologie erhält man dann für eine beliebige Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ eine kreisförmige Nullumgebung $U_{\alpha }\subset U$ und mit (A5) ein $U_{\beta }$ mit

$U_{\beta }\cdot U_{\beta }=U_{\beta }^{2}\subseteq U_{\alpha }\subseteq U$

Damit die Multiplikation auf $(A,{\mathcal {T}})$ stetig.

Beweisschritte (A1)-(A5)

Insgesamt wurde gezeigt, dass man bei topologischen Algebren $(A,{\mathcal {T}})$ die Stetigkeit der Verknüpfungen auf der Algebra auch mit dem topologieerzeugenden Gaugefunktionalsystem nachweisen kann bzw. für weiterführende Aussagen auf topologischen Algebren allein mit dem Gaugefunktionalsystem arbeiten kann. $\Box$

Basiserzeugendes Topologisierungslemma

Sei ${\textstyle A}$ eine Algebra. ${\textstyle A}$ ist genau dann eine Hausdorff'sche topologische Algebra ${\textstyle (A,{\mathcal {T}})}$, wenn die Topologie ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ durch ein basiserzeugendes $p$-Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit (B1)-(B5) erzeugt werden kann:

• (B1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A}\,\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 0}$
• (B2) ${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\,\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{A}}$
• (B3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A,\lambda \in \mathbb {K} }\,\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=|\lambda |^{p}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$
• (B4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},K>0}\forall _{x,y\in A}\,\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq K\cdot \left(\left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }\right)}$
• (B5) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},M>0}\forall _{\displaystyle x,y\in A}\,\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq M\cdot \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$

Bemerkung: Basiserzeugende Gaugefunktionalsystem

Ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem hat die gleiche Funktion wie die Verwendung von $\varepsilon$-Umgebungen in der Analysis. Über die $\varepsilon$-Umgebungen in $\mathbb {R}$ hat man eine Basis der Standardtopologie auf $\mathbb {R}$ gegeben, über die man Konvergenz, Stetigkeit und andere topologische Eigenschaften ausdrücken kann. Dabei wurden ein analoges Vorgehen wie bei Gaugefunktionalen verwendet.

$x\in B_{\varepsilon }^{|\cdot |}(x_{0})\Longleftrightarrow |x-x_{0}|<\varepsilon \Longleftrightarrow x\in \,\,]x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon [$

Beweisaufgabe für Studierende

Zeigen Sie die obigen Eigenschaften (B1)-(B2) unter Verwendung der Eigenschaft des Gaugefunktionalsystems, basiserzeugend zu sein. Für jede Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ gibt es dann ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\varepsilon >0$ mit

$U\subseteq B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A}):=\left\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }<\varepsilon \right\}$

Aufgaben für Studierende

Sei $A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ die Menge der stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ mit der folgenden Addition und Multiplikation auf dem Vektorraum:

• (Addition) $f,g\in A$ definiert man $f+g$ argumentweise $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$
• (Multiplikation) $f,g\in A$ definiert man $f\cdot g$ argumentweise $(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$

Ferner definiert man ein Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ mit ${\mathcal {A}}:=\mathbb {R}$ und $\|f\|_{\alpha }:=|f(\alpha )|$.

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ ein Halbnormensystem ist.

Aufgabe 2

• Geben Sie ein $f\in A\setminus \{0_{A}\}$ an, für das $\|f\|_{\alpha }=0$ gilt für $\alpha =2$ und $\alpha =-2$ an.
• Geben Sie ein $g\in A\setminus \{0_{A}\}$ an, für das $\|f\|_{\alpha }=0$ gilt für $\alpha \in \mathbb {Z}$ an.

Aufgabe 3

Sei $K:=\{f\in A\,:\,f{\mbox{ konstant }}\}$ die Menge der konstanten Funktionen in $A$, $K_{\varepsilon }^{\alpha }:=\{f\in K\,:\,\|f\|_{\alpha }<\varepsilon \wedge f{\mbox{ konstant }}\}$ und $N_{\alpha }:=\{f\in K\,:\,\|f\|_{\alpha }=0\}$. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

$B_{\varepsilon }^{\alpha }(f):=\{f\}+N_{\alpha }+K_{\varepsilon }^{\alpha }$.

Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass die Hausdorff-Eigenschaft (A2) in dieser topologischen Algebra gilt. Nehmen Sie an, dass $f,g\in A$ mit $f\not =g$ gilt und Sie damit ein $\alpha _{o}\in {\mathcal {A}}$ finden können, in dem $f(\alpha _{o})\not =g(\alpha _{o})$ gilt. Konstruktruieren mit den Gaugefunktionalen zwei Umgebungen $U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(f)$ und $U_{2}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(g)$ mit $U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$.

Aufgabe 5

Zeigen Sie, dass die Menge $N_{\alpha }:=\{f\in K\,:\,\|f\|_{\alpha }=0\}$ ein Ideal in topologischen Algebra $A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ist.

Siehe auch

• Minkowski-Funktionale
• Gaugefunktionale
• Stetigkeitssequenz
• Ideal (Algebra)
• Topologische Algebra
• Topologische Gruppe
• Konvergenz in Funktionenräumen

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