Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen

Einführung

Bearbeiten

In der Mathematik ist eine topologische Gruppe eine Gruppe, die eine mit der Gruppenstruktur „verträgliche“ Topologie hat. Die topologische Struktur erlaubt es zum Beispiel, Grenzwerte in dieser Gruppe zu betrachten, und von stetigen Homomorphismen zu sprechen.

Eine Gruppe   besteht aus einer Menge   und einer Verknüpfung  . In der Algebra abstrahiert man damit von konkreten Verknüpfungen, wie  , die bereits in der Grundschule einführt, auf algebraische Eigenschaften, die  ,   und auch Verkettung von Abbildungen auf der Menge der Drehungen gemeinsam besitzen.

Definition - Gruppe

Bearbeiten

Eine Gruppe ist ein Paar   bestehend aus einer Menge   mit folgende Eigenschaften[1]

 
  • (IV)   ist eine inneren Verknüpfung auf  
  • (AG) Für alle  ,  ,   gilt   (Assoziativgesetz).
  • (NE) Es gibt ein neutrales Element  , mit dem für alle   gilt:
 .
  • (IE) Zu jedem   existiert ein inverses Element   mit  .

Definition - Abelsche Gruppe

Bearbeiten

Sei   eine Gruppe. Wenn die innere Verknüpfung   zusätzlich das Kommuntativgesetz erfüllt, i.e.

  • (KG) für alle   gilt:  

heißt   abelsche oder kommutative Gruppe.

Aufgaben

Bearbeiten
  • Zeigen Sie, dass die Menge   Drehungen in der Ebene um den Nullpunkt mit der Verkettung   von Abbildungen als innere Verknüpfungen eine abelsche Gruppe ist mit
 
  • Zeigen Sie die Menge   aller Kongruenzabbildungen in der Ebene und der Verkettung   von Abbildungen als innere Verknüpfungen keine abelsche Gruppe (Hinweis: Betrachten Sie dazu z.B. zwei Geradenspiegelungen   und  , bei der sich die Spiegelgeraden   und   in einem Punkt schneiden)

Bemerkungen

Bearbeiten
  • Damit auch eine klammerlose Schreibweise wohldefiniert ist, setzt man  .
  • Eine Gruppe ist also ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat.

Aufgaben

Bearbeiten
  • Zeigen Sie, dass das neutrale Element in einer Gruppe eindeutig bestimmt ist.
  • Zeigen Sie, dass zu einem beliebigen Element   das inverse Element   eindeutig bestimmt ist (Hinweis: Nehmen Sie an, dass es zwei Inverse   gibt).

Bemerkung - Nachhaltigkeit

Bearbeiten

Bezüglich Nachhaltigkeit kann man für die algebraische Struktur festhalten, dass Prozesse im Allgemeinen nicht reversible sind und wenn die reversible (invertierbar) sind, so gibt es ggf. mehrere Optionen diese gemessenen Effekte in einem modellierten Zustandsraum wieder umzukehren. Gerade diese Entscheidungsalternative über Maßtheorie zu bewerten, ist ein Teilaspekt der Anwendung auf Nachhaltigkeit. Im Allgemeinen betrachten man in diesem Kurs Funktionenräume, wobei Funktionen   mit Maßen ausgewertet werden. Gruppenstruktur findet man in den Argumenten der Funktion also in  .

Definition - topologische Gruppe

Bearbeiten

Eine Gruppe   heißt topologische Gruppe, wenn sie mit einer Topologie   versehen ist, so dass gilt:

  • (TG1) Die Gruppenverknüpfung   ist stetig. Dabei wird   mit der Produkttopologie versehen.
  • (TG2) Die Inversenabbildung   ist stetig.

Beispiele - abelsche Gruppen

Bearbeiten
  • (Addition) Die reellen Zahlen   mit der Addition und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe.
  • (Multiplikation) Die reellen Zahlen   mit der Multiplikation und der gewöhnlichen Topologie bilden eine topologische Gruppe.
  • (Vektorraumaddition) Allgemeiner ist der  -dimensionale euklidische Raum   mit der Vektoraddition und der Standard-Topologie eine topologische Gruppe. Auch jeder Banachraum und Hilbertraum ist eine topologische Gruppe bezüglich der Addition.

Die obigen Beispiele sind alle abelsch.

Beispiele - topologische Algebren

Bearbeiten
  • (Banachalgebra) In jeder unitären Banach-Algebra bildet die Menge der invertierbaren Elemente mit der Multiplikation eine topologische Gruppe.
  • (Topologische Algebra) Sei   eine topologische Algebra so kann man auf der Menge der invertierbaren Elemente   die Stetigkeit der Multiplikation mit dem Topologisierungslemma für Algebren wie folgt ausdrücken:
 

Beispiele - nichtabelsche Gruppen

Bearbeiten
  • (Invertierbare Matrizen) Ein wichtiges Beispiel für eine nichtabelsche topologische Gruppe ist die Gruppe   aller invertierbaren reellen  -Matrizen. Die Topologie entsteht dabei, indem man diese Gruppe als Teilmenge des euklidischen Vektorraums   auffasst.
  • (Lie-Gruppe)   ist ebenso wie   eine Lie-Gruppe, das heißt eine topologische Gruppe, bei der die topologische Struktur die einer Mannigfaltigkeit ist.
  • (Topologische Gruppe - aber keine Lie-Gruppe) Ein Beispiel einer topologischen Gruppe, die keine Lie-Gruppe ist, bildet die additive Gruppe der rationalen Zahlen   (sie ist eine abzählbare Menge, die nicht mit der diskreten Topologie versehen ist).
  • (nichtabelsche Untergruppe) Ein nichtabelsches Beispiel ist die Untergruppe der Drehgruppe des  , die erzeugt wird von zwei Drehungen um irrationale Vielfache von   (der Kreiszahl Pi) um verschiedene Achsen.

Eigenschaften

Bearbeiten

Die algebraische und die topologische Struktur für eine topologische Gruppe   sind eng miteinander verknüpft. Dies wird durch folgende Eigenschaften deutlich.

Normalteiler

Bearbeiten

In einer beliebigen topologischen Gruppe ist die Zusammenhangskomponente   des Neutralelementes   eine abgeschlossener Normalteiler von  , d.h. Wenn   eine topologische Gruppe ist, dann ist   eine Untergruppe für alle   gilt:

 

Die Normalteilereigenschaft liefert also, dass die Linksnebenklasse und Rechtsnebenklasse zu   für beliebige   übereinstimmen.

Homöomorphismen

Bearbeiten

Ist   ein Element einer topologischen Gruppe  , dann sind die Linksmultiplikation und die Rechtsmultiplikation mit   Homöomorphismen von   nach  , ebenso die Inversenabbildung.

Uniforme Räume

Bearbeiten

Jede topologische Gruppe kann als uniformer Raum aufgefasst werden. Zwei elementare uniforme Strukturen, die sich aus der Gruppenstruktur ergeben, sind die linke und die rechte uniforme Struktur. Die linke uniforme Struktur macht die Linksmultiplikation gleichmäßig stetig, die rechte uniforme Struktur macht die Rechtsmultiplikation gleichmäßig stetig. Für nicht-abelsche Gruppen unterscheiden sich diese beiden uniformen Strukturen im Allgemeinen. Die uniformen Strukturen erlauben es insbesondere, Begriffe wie Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz zu definieren.

Vollständig regulär

Bearbeiten

Wie jede von einem uniformen Raum erzeugte Topologie ist die Topologie einer topologischen Gruppe vollständig regulär. Insbesondere gilt, dass eine topologische Gruppe, welche   erfüllt (d. h., die ein Kolmogoroff-Raum ist), sogar ein Hausdorff-Raum ist.

Gruppenhomomorphismus

Bearbeiten

Der natürlichste Begriff eines Homomorphismus zwischen topologischen Gruppen ist derjenige eines stetigen Gruppenhomomorphismus, welches analog zu linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) bei Gruppen die Verträglichkeit mit der algebraische Struktur liefert. Sind z.B.   und   zwei topologische Gruppen, dann besitzt ein Gruppenhomomorphismus   folgenden Eigenschaften.

 

Aufgaben - Gruppenhomomorphismus

Bearbeiten

Zeigen Sie, dass für einen Gruppenhomomorphismus   gilt, dass:

  •  , wobei   das neutrale Element von   ist und   das neutrale Element von   und
  •  

Aufgaben - stetigen Gruppenhomomorphismus

Bearbeiten

Zeigen Sie, dass für einen stetigen Gruppenhomomorphismus   und ein Netz   mit   gilt, dass:

 

wobei   wieder das neutrale Element von   ist und   das neutrale Element von  .

Bemerkung - Algebraerweiterungen

Bearbeiten

Bei einer Algebraerweiterung   von   verlangt man per Definition, dass ein Algebrahomomorphismus   das neutrale Element der Multiplikation   mit   auf das neutrale Element der Multiplikation   abgebildet wird (d.h.  ). In diesem Fall verlangt man das in der Definition, da mit   ein neutrales Element auf einer Teilmenge nicht notwendigerweise neutral auf einer Obermenge   sein muss.

Kategorie

Bearbeiten

Die topologischen Gruppen zusammen mit den stetigen Gruppenhomomorphismen bilden eine Kategorie.

Topologische Untergruppen

Bearbeiten

Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist mit der Teilraumtopologie wiederum eine topologische Gruppe. Für eine Untergruppe   von   bilden die Links- und Rechtsnebenklassen   zusammen mit der Quotiententopologie einen topologischen Raum.

Quotientenraum - Normalteiler

Bearbeiten

Falls   ein Normalteiler von   ist, so wird   eine topologische Gruppe. Zu beachten ist aber, dass, falls   in der Topologie von   nicht abgeschlossen ist, die resultierende Topologie auf   nicht hausdorffsch ist. Es ist deshalb natürlich, wenn man sich auf die Kategorie von hausdorffschen topologischen Gruppen einschränkt, nur abgeschlossene Normalteiler zu untersuchen.

Abschluss von Untergruppen

Bearbeiten

Falls   eine Untergruppe von   ist, so ist auch die abgeschlossene Hülle von   wiederum eine Untergruppe. Ebenso ist der Abschluss eines Normalteilers wieder normal.

Siehe auch

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten
  • Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. 2 Bände. Teubner, Leipzig 1957–1958.
  • Guido Mislin (Hrsg.): The Hilton symposium 1993. Topics in Topology and Group Theory (= CRM Proceedings & Lecture Notes. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1994, lSBN 0-8218-0273-9.
  • Terence Tao: Hilbert's fifth problem and related topics (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 153). American Mathematical Society, Providence RI 2014, lSBN 978-1-4704-1564-8 online.

Quellennachweise

Bearbeiten
  1. Siegfried Bosch: Algebra. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2006, lSBN 3-540-40388-4, S. 11.

Seiteninformation

Bearbeiten

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Bearbeiten

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

Wikipedia2Wikiversity

Bearbeiten

Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt: