Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität

Eigenschaften K-regulären Elemente

An diesem Modul betrachtet man Eigenschaften von ${\textstyle {\mathcal {K}}^{k}}$-regulären Elementen. Wie im weiteren Verlauf des Kurse zu topologischen Invertierbarkeitskriterien zu sehen ist, werden einzelne Folgerungen aus den anschließenden Sätzen sogar eine äquivalente Bedingung für ${\textstyle {\mathcal {K}}^{k}}$-Regularität darstellen. Für die folgenden Behauptungen ist die Kommutativität als Voraussetzung nicht notwendig.

Satz:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}}$ eine unitale, pseudokonvexe Algebra, dann gilt folgende Aussage:

Wenn ${\textstyle z\in A}$ ein ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$-reguläres Element ist, so existiert zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine Folge positiver Zahlen ${\textstyle (D_{k}(\alpha ))_{k\in \mathbb {N} }}$, so dass:

$$\left\|x_{o}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{\infty }D_{k}(\alpha )\cdot \left\|zx_{k-1}-x_{k}\right\|_{\beta }$$

für alle endlichen Folgen ${\textstyle (x_{o},x_{1},\dots )\in c_{oo}(A)}$ gilt.

Beweis

Sei ${\textstyle z\in A}$ und ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}(B)}$ mit ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$. ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ sei das System der topologieerzeugenden Gaugefunktionale auf ${\textstyle B}$. Ist ${\textstyle b}$ das Inverse zu ${\textstyle z}$ in ${\textstyle B}$, erhält man für alle ${\textstyle (x_{o},x_{1},\dots )\in c_{oo}(A)}$:

$$x_{o}=bzx_{o}=bzx_{o}+\sum _{k=1}^{\infty }b^{k+1}zx_{k}-b^{k}x_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }b^{k}(zx_{k-1}-x_{k})$$

Anwendung der Dreiecksungleichung

Da man in pseudokonvexen Räumen mit $p$-homogenen Gaugefunktionalen die Dreiecksungleichung auch in der Algebraerweiterung anwenden kann, folgt die Abschätzung:

$${\begin{array}{clrcl}\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}:&\left|\!\left\|x_{o}\right\|\!\right|_{\mu }&=&\left|\!\left\|\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b^{k}(zx_{k-1}-x_{k})\right\|\!\right|_{\mu }\\&&&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|\!\left\|b^{k}(zx_{k-1}-x_{k})\right\|\!\right|_{\mu }\\\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \nu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}:&\left|\!\left\|x_{o}\right\|\!\right|_{\mu }&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {\left|\!\left\|b^{k}\right\|\!\right|_{\nu }} _{:=C_{k}}\cdot \left|\!\left\|zx_{k-1}-x_{k}\right\|\!\right|_{\nu }\\\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \nu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}:&\left|\!\left\|x_{o}\right\|\!\right|_{\mu }&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }C_{k}\cdot \left|\!\left\|zx_{k-1}-x_{k}\right\|\!\right|_{\nu }.\end{array}}$$

Stetigkeit - Algebraisomorphismus

Die Folge der ${\textstyle (C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ergibt sich wieder aus Potenzen des Inversen von ${\textstyle z}$ und des zu ${\textstyle \mu }$ mit der Stetigkeit der Multiplikation gewählten Gaugefunktionals ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\nu }}$. Die Homöomorphie der Einbettung von ${\textstyle A}$ in ${\textstyle B}$ liefert zusätzlich:

$$\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{\alpha }>0}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x\right|\!\right|_{\mu }$$

Anwendung in Abschätzungen

$$\forall _{\displaystyle \nu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}},C_{\nu }>0}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\nu }\leq C_{\nu }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }.$$

Insgesamt erhält man für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle x\in A}$ die Ungleichungskette:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x_{o}\right\|\!\right|_{\mu }&\leq &\sum _{k=1}^{\infty }C_{\alpha }\cdot C_{k}\cdot \left|\!\left\|zx_{k-1}-x_{k}\right\|\!\right|_{\nu }&\leq &\sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {C_{\alpha }\cdot C_{k}\cdot C_{\nu }} _{=:D_{k}(\alpha )}\cdot \left\|zx_{k-1}-x_{k}\right\|_{\beta }.\end{array}}$

$\Box$

Für Teilklassen von ${\textstyle {\mathcal {PC}}_{e}}$ und endliche Folgen der Form

$(x,zx,z^{2}x,\dots ,z^{k}x,0,0,\dots )$

erhält man den folgenden Satz als Korollar.

Diese Behauptung wurde für lokalkonvexe Räume in Stud. Math. 37, Proposition 2, S.189 bewiesen worden.

Satz:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}}$ eine unitale, topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$, dann gilt:

Wenn ${\textstyle z\in A}$ ein ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-reguläres Element ist, dann gibt es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine Folge positiver Zahlen ${\textstyle (D_{k}(\alpha ))_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$, so dass für alle $x\in A$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt_

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$$

Beweis

Sei ${\textstyle z\in A}$ und ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}(B)}$, wobei ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ ist. ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ sei das System der topologieerzeugenden Gaugefunktionale auf ${\textstyle B}$. Ist ${\textstyle b}$ das Inverse zu ${\textstyle z}$ in ${\textstyle B}$, so erhält man für alle ${\textstyle x\in A}$ die Darstellung ${\textstyle x=b^{k}\cdot z^{k}\cdot x}$.

$${\begin{array}{clrcl}\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}:&\left|\!\left\|x\right\|\!\right\|_{\mu }&=&\left|\!\left\|b^{k}\cdot z^{k}\cdot x\right\|\!\right|_{\mu }\\\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \nu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}:&\left|\!\left\|x\right\|\!\right\|_{\mu }&\leq &\underbrace {\left|\!\left\|b^{k}\right\|\!\right\|_{\nu }} _{C_{k}:=}\cdot \left|\!\left\|z^{k}\cdot x\right\|\!\right|_{\nu }.\end{array}}$$

Die Folge der ${\textstyle (C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ergibt sich also aus Potenzen des Inversen von ${\textstyle z}$ und des zu ${\textstyle \mu }$ mit der Stetigkeit der Multiplikation gewählten Gaugefunktionals ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\nu }}$. Die Homöomorphie der Einbettung von ${\textstyle A}$ in ${\textstyle B}$ liefert zusätzlich:

$$\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\displaystyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{\alpha }>0}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }$$

$$\forall _{\displaystyle \nu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}};C_{\nu }>0}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\nu }\leq C_{\nu }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }.$$

Insgesamt erhält man für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle x\in A}$ die Ungleichungskette:

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }\leq C_{\alpha }\cdot C_{k}\cdot \left|\!\left\|z^{k}x\right\|\!\right|_{\nu }\leq \underbrace {C_{\alpha }\cdot C_{k}\cdot C_{\nu }} _{:=D_{k}(\alpha )}\cdot \left\|z^{k}x\right\|_{\beta }.$$

$\Box$

Als Kontraposition des obigen Satzes ergibt sich ebenfalls die Eigenschaft, dass Elemente mit topologisch keinen Potenzen permanent singulär sind. Die wird durch das folgende Korollar festghalten.

Korollar

Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind permanent singulär.

Beweis

Durch Negation der obigen Aussage erhält man für die Gaugefunktionale die Definition von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen.

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