Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen
Einleitung Bearbeiten
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Zielsetzung Bearbeiten
Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, die Konvergenz auf einem Funtionenraum zu betrachten, die mit einem System von Gaugefunktionalen topologisiert wurde.
Einleitung Bearbeiten
Die Konvergenz von Funktionennetze als Verallgemeinerung von Funktionenfolgen z.B. in normierten oder metrischen Räumen tritt in dieser Lernressource im Kontext von Potenzreihen mit Koeffizenten in auf und bei Abbildungen , die dann selbst als Potenzreihen dargestellt werden können.
Konvergenz von Potenzreihen Bearbeiten
Zunächst betrachtet man eine Potenzreihe in in Banachräumen von Funktionen, die dann als Folge der Partialsummen in aufgefasst werden. Ist das Argument einer Potenzreihe mit ein Element aus dem Körper , dann benötigt man mit dem reellwertiges Argument lediglich die innere und äußere Verknüpfung auf einem toplogischen Vektorraum . Wird das Argument einer Potenzreihe als Element von aufgefasst, dann entstehen in einer Potenzreihe als Summanden der Form . Dabei muss zusätzlich eine Multiplikation als innere Verknüpfung besitzen und eine vollständige Algebra bzw. des Gaugefunktionalsystems sein.
Konvergenz von Funktionsnetzen Bearbeiten
Potenzreihen in einer Banachalgebra mit Argumenten in sind Abbildungen . Allgemeiner kann man Funktionenfolgen mit , die in dem Funktionenraum als topologischem Vektorraum konvergieren. Potenzreihen als Folge von Partialsummen sind dabei Spezialfall von Folgenkonvergenz von Funktionen betrachten.
Aufgaben für Studierende Bearbeiten
Sei mit , der Norm und den Algebraverknüpfungen wie folgt definiert:
- mit und für alle .
- mit und für alle .
Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes definert:
- mit und für alle .
Aufgabe 1 - Polynome Bearbeiten
Erzeugen Sie eine Polynom dritten Grades und berechnen Sie mit und .
Aufgabe 2 - Potenzreihe Bearbeiten
Erzeugen Sie eine Potenzreihe mit , für alle und berechnen Sie !
Funktionenalgebren Bearbeiten
Mit dem Topologisierungslemma für Algebren erfüllt dann das Gaugefunktionalsystem die Eigenschaften (A1)-(A5):
- (A1)
- (A2)
- (A3)
- (A4)
- (A5)
Potenzreihen allgemein Bearbeiten
Eine Potenzreihe wird als Element der Vervollständigung der Polynomalgebra betrachtet, wobei mit dann für alle erfüllt sein muss.
Aufgabe 1 Bearbeiten
Sei mit , den Halbnormen und den oben genannten Algebraverknüpfungen definiert. Sein nun mit mit definiert. Berechnen Sie für alle und überprüfen Sie damit, ob erfüllt ist!
Aufgabe 2 Bearbeiten
Zeigen Sie (A1)-(A5) für und für für die oben definierte topologische Algebra (lokalkonvexe Algebra) .
Aufgabe 3 Bearbeiten
Sei der Parameterraum von einer Teilmenge von Funktionen aus mit der Integralnorm auf .
Betrachten Sie das Gradientenabstiegsverfahren und erläutern Sie, wie über die Parametrisierung der Funktionen in eine Funktionenfolge in entsteht. Erzeugen Sie Funktionenfolge mit Parameter mit . Zeigen Sie für Ihre für konvergentes Parameterfolge die Funktion in der Integralnorm gegen eine Funktion konvergiert. Geben Sie an und weisen Sie die Konvergenz in der Integralnorm nach!
Literatur/Quellennachweise Bearbeiten
- ↑ Friedl, S. (2023). Funktionenfolgen. In: Analysis 1. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-67359-1_16 - S. 190 ff
Siehe auch Bearbeiten
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