Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale

Einleitung

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In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man  -Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese  -Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen   Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert.

Konvergenz in den reellen Zahlen

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Die reellen Zahlen mit dem Betrag   ist ein normierter Raum und   eine Folge in   und  :

 

Konvergenz in normierten Räumen

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Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen     eine Folge in   und  :

 
audio15_def_konvergenz_norm.ogg

Epsilonumgebungen

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Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in   auch zur Definition der  -Umgebungen verwendet.

 

Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes   ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen,  -Halbnormen, ...)

Absorbierende Mengen

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Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte.

Einführung Gaugefunktionale

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Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie zu beschreiben (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Definition: p-homogen

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Sei   ein Vektorraum über  . Ein Funktional   heißt  -homogen, falls es ein   mit   gibt, für das gilt:

 

Ist  , so heißt   homogen.   heißt nicht-negativ, falls für alle   gilt  .


Definition: p-Gaugefunktional

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Sei   ein Vektorraum über  . Ein nicht-negatives,  -homogenes Funktional   heißt  -Gaugefunktional auf   und für   Gaugefunktional.

Beispiel: p-Gaugefunktional

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Sei   und  , dann ist   ein  -Gaugefunktional auf  .

Aufgabe: p-Gaugefunktional

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Gegeben ist der Vektorraum   und das  -Gaugefunktional  . Zeigen Sie, dass   aber  . Welche Mengeninklusion gilt allgemein für   und   mit   und  ?

Bemerkung

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Die  -Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das   bestimmt den Zusammenhang mit eine Quasihalbnorm.

Definition: p-Gaugefunktionalsystem

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Sei   ein Vektorraum über  ,   eine Indexmenge und für alle   sei   ein  -Gaugefunktional auf  . Dann wird mit   die Menge aller  -Gaugefunktionale mit Indizes aus   bezeichnet, d.h.

 

  heißt System von  -Gaugefunktionalen. Ist   nennt man   Gaugefunktionalsystem.

Definition: Äquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen

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Sei   ein Vektorraum über   und  ,   zwei  -Gaugefunktionalsysteme auf  . Die  -Gaugefunktionalsysteme   und   heißen äquivalent, wenn folgende beiden Bedingungen gelten:

  • (EQ1)  
  • (EQ2)  

Beispiel: p-Gaugefunktionalsystem

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Sei   und   die Menge der stetigen Funktion von   nach  . Die Menge der  -Gaugefunktional wird mit   wie folgt definiert:

 

mit

 

Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem

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Sei   ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen   auf  . Ferner sei   eine Menge von  -Gaugefunktionalen auf  . Das  -Gaugefunktionalsystem heißt basiserzeugend für  , wenn gilt:

  • (BE1)  
  • (BE2)  

Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem

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  • (BE1) bedeutet dabei, dass die  -Kugeln   selbst offene Mengen sind.
  • Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge   aus der Topologie   als Vereinigung von  -Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach Axiom (T3) auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von  -Kugeln   mit  ,   und   selbst wieder offen.

Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem

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Sei   ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen   auf  . Ferner sei   eine Menge von  -Gaugefunktionalen auf  . Das  -Gaugefunktionalsystem heißt subbasiserzeugend für  , wenn gilt mit  :

  • (SE1)  
  • (SE2)  

mit

 

Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend

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Bei einem topologieerzeugenden  -Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt  -Kugeln   durch die Bedingung

 

mit   verlangt.


Definition: unital positiv

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Sei   eine unitale topologische Algebra über   mit dem Einselement der Multiplikation  . Das  -Gaugefunktionalsystem   heißt unital positiv genau dann, wenn für alle   die Bedingung  .


Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem

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Man kann ein  -Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives  -Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar  , wenn   und   als Minkowski-Funktional der absorbiernden Nullumgebung   verwendet wird.


Bemerkung: p-Norm und Norm

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Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer  -Norm mit  , die im folgenden definiert wird.

Definition: Norm

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Sei   ein topologischer Vektorraum über dem Körper  . Ein Funktional   heißt Norm auf  , falls   folgende Bedingungen erfüllt:

  • (N1)  
  • (N2)  
  • (N3)  
  • (N4)  

Definition: Halbnorm

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Sei   ein topologischer Vektorraum über dem Körper  . Ein Funktional   heißt Halbnorm auf  , falls   folgende Bedingungen erfüllt:

  • (H1)  
  • (H2)  
  • (H3)  

Bemerkung: Halbnorm - Norm

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Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine   Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren   sich unterscheiden, d.h.   bzw.   gilt.

Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm

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Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante  , wenn für alle   gilt:

 

  nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm   durch eine äquivalente Halbnorm  ersetzen, für die   ist (siehe MLC-Regularität).

Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität

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Sei   eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem   und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante   und   gegeben mit:

 

dann gibt es eine äquivalente Halbnorm   mit

 

Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität

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Ist   erhält die Submultiplikativität direkt mit

 

Beweis: Definition der Halbnorm

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Gilt nun  , so definiert man für alle  :

 

und man erhält die Submultiplikativität über:

 

Beweis: Äquivalenz der Halbnormen

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Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit  , denn es gilt:

 

Bemerkung: Submultiplikativität

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Ist eine topologische Algebra ein normierter Raum, so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die  -Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen.

Definition: p-Norm

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Sei   ein Vektorraum über dem Körper   und  . Ein Funktional   heißt  -Norm auf  , falls   folgende Bedingungen erfüllt:

  • (PN1)  
  • (PN2)  
  • (PN3)  
  • (PN4)  

Bemerkung

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Für   kann man ein  -Norm auch zu einer Norm machen, indem man die Norm   wie folgt definert:

 

Beispiel

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Sei   mit   und betrachtet man die Mengen der  -summierbaren Reihen   in den reellen Zahlen.

 

  ist eine  -Norm auf dem  -Vektorraum  .

Definition: p-Normierbarkeit

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Sei   heißt  -normierbar oder lokal beschränkt mit der Konkavitätskonstante  , falls eine  -Norm

 ,

existiert, die die Topologie auf   erzeugt (formal  ).

Definition: p-Halbnorm

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Sei   ein topologischer Vektorraum über dem Körper   und  . Ein Funktional   heißt  -Halbnorm auf   mit   als Konkavitätskonstante., falls   folgende Bedingungen erfüllt:

  • (PH1)  
  • (PH2)  
  • (PH3)  

Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm

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Falls (PN2) in der Definition der  -Norm nicht gilt, heißt    -Halbnorm mit   als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne  -Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen (Hausdorfeigenschaft T2).

Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm

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Ein  -Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante  , wenn für alle   gilt:

 

  nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die - Halbnorm   durch eine äquivalente  -Halbnorm  ersetzen, für die   ist (siehe MPC-Regularität).

Definition: pseudokonvexer Vektorraum

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Sei   heißt pseudokonvex, falls die Topologie   durch ein System   von  -Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt.

 ,

Formal notiert man  .

Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm

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Eine  -Norm ist topologieerzeugend für die Topologie  , wenn die folgende Bedingung gilt:

 

Die  -Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet.

Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen

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Sei   ein Vektorraum und   ein  -Gaugefunktional auf  , dann ist die  -Kugel von   mit   um einen Punkt   (Bezeichnung:  ) wie folgt definiert:

 

Definition: Quasinorm

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Sei   ein topologischer Vektorraum über dem Körper  . Ein Funktional

 

heißt Quasinorm auf  , falls   folgende Bedingungen erfüllt:

  • (QN1)  
  • (QN2)  
  • (QN3)  
  • (QN4)  

Definition: Quasihalbnorm

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Ein Funktional   auf einem Vektorraum   über dem Körper   heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition  , falls   die folgende Bedingungen erfüllt:

  • (QH1)  
  • (QH2)  
  • (QH3)  

Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm

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Analog zu Halbnormen und Normen bzw.  -Normen und  -Halbnormen wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm   mit Stetigkeitskonstante   der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt.

Bemerkung: Stetigkeitskonstante

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Die Stetigkeitskonstante hängt mit der Konkavitätskonstante einer  -Norm bzw.  -Halbnorm zusammen. Dies zeigt das Korrespondenzlemma für  -Halbnormen

Konvergenz über Netze

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Sei   eine topologischer Raum,   und   ein Netz in   mit einer Indexmenge  , die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über Netze wird wie folgt definiert:

 

Definition: Algebrenklassen

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Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse   abhängt.

Notation 1: Algebrenklassen

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Sei   eine Klasse topologischer Algebren und   ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet:

  •   Klasse der unitalen Algebren in  ;
  •   Klasse der kommutativen Algebren in  , "kommutativ" bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren.
  •   Klasse der topologischen Algebren über   in  ;

Notation 2: Algebrenklassen

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  •   Klasse aller topologischen Algebren;
  •   Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert);
  •   Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt;
  •   Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren;

Notation 3: Algebrenklassen

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  •   Klasse der  -normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren;
  •   Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von  -Halbnormen erzeugt;
  •   Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren.

Bemerkung: Pseudokonvexe Räume

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Für pseudokonvexe Algebren kann das  -System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem Korrespondenzsatz für  -Halbnormen wird der Zusammenhang von  -Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle  -Halbnormen   die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition Gaugefunktional)   besitzen, d.h. für   gilt

 

Aufgabe 1: Norm

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Zeichnen Sie die  -Kugel in   mit   und

 

Zeichnen Sie den Rand der  -Kugeln   bzgl. der Norm   mit

  •     und  
  •     und  

Aufgabe 2: p-Norm

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Zeichnen Sie die  -Kugel in   mit   und

 

Zeichnen Sie den Rand der  -Kugeln   bzgl. der Norm   mit

  •     und  
  •     und  

Siehe auch

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