Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen

Einführung

Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren, so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.

Addition

Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ein $\|\cdot \|_{\beta }$ mit

$\|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }+\|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A$

Zu diesem $\|\cdot \|_{\beta }$ kann man wieder $\|\cdot \|_{\gamma }$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

$\|x+y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }+\|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A$

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Multiplikation

Analog kann man Stetigkeitssequenzen bzgl. der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ein $\|\cdot \|_{\beta }$ mit

$\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\cdot \|x\|_{\beta }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A$

Zu diesem $\|\cdot \|_{\beta }$ kann man wieder $\|\cdot \|_{\gamma }$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

$\|x\cdot y\|_{\beta }\leq \|x\|_{\gamma }\cdot \|x\|_{\gamma }\,{\mbox{ für alle }}x,y\in A$

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Addition und Multiplikation

In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.

Unitale Algebren und Gaugefunktionale

In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation $e\in A$ voraussetzen kann, dass $\|e\|_{\alpha }>0$ gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.

Definition:

Sei ${\textstyle \left(A,\|\cdot \|_{I}\right)\in {\mathcal {T}}}$, dann gilt mit ${\textstyle \alpha ,\beta \in I}$:

$$\|\cdot \|_{\alpha }\leq \|\cdot \|_{\beta }:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle x\in A}:\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }$$

Analog definiert man den Fall ${\textstyle \geq ,<,>}$ und ${\textstyle =}$.

Partielle Ordnung auf der Menge der p-Gaugefunktionale

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit einem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von $p$-Gaugefunktionalen. Auf der Indexmenge ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ wird nun die folgende partielle Ordnung definiert:

$$\alpha \leq \beta :\Longleftrightarrow \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq \left\|\cdot \right\|_{\beta }:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle x\in A}\,:\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }$$

Unital positive Gaugefunktionale

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) gibt es eine Nullumgebungsbasis $\{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ aus kreisförmigen Mengen $U_{\alpha }$. Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale. Um für die Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ohne Einschränkung voraussetzen zu können, dass $\|e\|_{\alpha }>0$ für das Einselement der Multiplikation $e\in A$ gilt, müssen wir den Schnitt von kreisförmigen Nullumgebungen betrachten.

Definition: Unital positives Gaugefunktionalsystem

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra mit einem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von $p$-Gaugefunktionalen. ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ heißt "unital positiv", wenn für das Einselement $e_{A}\in A$ der Multiplikation die folgende Eigenschaft gilt:

$\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\,:\,\|e_{A}\|_{\alpha }>0$

Lemma zu unitalen positiven Gaugefunktionalsystemen

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine Hausdorff'sche topologische Algebra, dann gibt es ein unital positves Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$, das die Topologie ${\mathcal {T}}$ erzeugt.

Beweis

Wenn eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente $0_{A},e_{A}\in A$ mit $0_{A}\not =e$ zwei Umgebungen $U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ und $U_{1}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(e_{A})$ existieren mit $U_{0}\cap U_{1}=\emptyset$.

Schnitt von kreisförmigen Mengen

Da ${\mathcal {T}}$ eine Hausdorff-Topologie auf $A$ ist, gibt es zu $U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis $\{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ aus kreisförmigen Mengen ein $U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ finden, für das $U_{\beta }\subseteq U_{0}$ gilt. Für $U_{\beta }$ ebenfalls $U_{\beta }\cap U_{1}=\emptyset$. Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen $U_{\alpha },U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen).

Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen

Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis $\{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ über ${\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gilt:

• ${\widehat {U}}_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$ und damit wäre die von $\{{\widehat {U}}_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ erzeugte Topologie feiner als die von $\{U_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}$ und
• umgekehrt ist ${\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ eine Nullumgebung und dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\gamma \in {\mathcal {A}}$ mit $U_{\gamma }\subseteq {\widehat {U}}_{\alpha }$, weil $\{U_{\gamma }\,:\,\gamma \in {\mathcal {A}}\}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\mathcal {T}}$ ist.

Unital Positivität

Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale $\|\cdot \|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}$. Da die ${\widehat {U}}_{\alpha }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale. Ferner gilt für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ die Bedingung $e\notin {\widehat {U}}_{\alpha }$ damit gilt sogar $\|e_{A}\|_{\alpha }:=P_{{\widehat {U}}_{\alpha }}(e_{A})\geq 1>0$. Damit folgt die Behauptung $\Box$

Definition: Stetigkeitssequenz der Addition

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left(\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}\right)}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$, ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz der Addition oder kurz ${\textstyle S_{\mathcal {K}}}$-Sequenz und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Addition. Die ${\textstyle S_{\mathcal {K}}}$-Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Bemerkung: Stetigkeitskonstanten der Addition

Die Stetigkeitskonstanten $S_{n}$ der Addition entstehen z.B. dann, wenn die Gaugefunktionale Quasihalbnormen sind (siehe auch Korrespondenzsatz p-Halbnormen).

Definition: Stetigkeitssequenz der Multiplikation

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$, ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz ${\textstyle S_{\mathcal {K}}}$-Sequenz der Multiplikation und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation. Die ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Bemerkung: Stetigkeitssequenzen und Polynomalgebren

Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen $\alpha \in {\mathcal {A}}$ das erste ${\mathcal {K}}$-Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{0}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$ definiert, so n ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ heißt ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra ${\textstyle {\overline {A[t]}}}$ als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in $A$ anwenden.

Bemerkung: Stetigkeit und Stetigkeitsequenzen

${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenzen können wegen der Stetigkeit der Multiplikation zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und für jede topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ mit ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf der Algebra ${\textstyle A}$ stetig.

Bemerkung: Normalisierte Stetigkeitssequenzen

Im Allgemeinen wird man nur normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ gewählte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz kann durch eine normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz ersetzen werden. Ist nämlich ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \lambda \geq 1}$, so ist auch ${\textstyle \lambda \cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ ein stetiges ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktional und damit ein Element von ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$. Die Stetigkeitskonstanten ${\textstyle S^{n}}$ werden erst später bei der Regularitätsdingung von Bedeutung sein.

Definition: Stetigkeitssequenz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ ist eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}}$ von Gaugefunktionalen mit

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$
• ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left\|x\right\|_{n+1}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$,
• ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{n}\leq S_{n}\cdot \left(\left\|x\right\|_{n+1}+\left\|y\right\|_{n+1}\right)}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$,

${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle S_{n}>0}$ heißt Stetigkeitssequenz kurz ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz und ${\textstyle S_{n}}$ sind die Stetigkeitskonstanten der Addition und Multiplikation. Die ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Sequenz nennt man "normalisiert", falls ${\textstyle S_{n}=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt.

Existenzsatz über Stetigkeitssequenzen

In einer topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ existiert zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine Stetigkeitsequenz

${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}$

Beweis - Übungsaufgabe

Nutzen Sie das Topologisierungslemma für topologische Algebren um die Aussage als Übungsaufgabe zu zeigen. Ergänzen Sie dazu die fehlenden Schritte in dem folgenden Beweisrumpf:

Beweis

In der topologischen Algebra ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ sei $\alpha \in {\mathcal {A}}$ beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für $n=0$:

$$\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.$$

p-Homogenität - pseudokonve Algebren

Für pseudokonvexe Algebren ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}}$ sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ ein System von Quasihalbnormen. Falls $A$ mit einem System von $p$-homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der $p$-Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen, das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen).

Stetigkeit der Addition

${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in \left(\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)^{\mathbb {N} _{0}}\,\,\,{\mbox{ mit }}\,\,\,\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }.}$

Konstruktion von Gaugefunktionalfolgen

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}}$. Wir definieren nun zu jedem $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$. Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.

Festlegung des ersten Gaugefunktionals

Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung unital positiv ist, gilt $\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }>0$ für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$. Für eine normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz zu ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ definieren wir als ersten Gaugefunktional $\left\|\cdot \right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }}}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }$. Damit gilt:

$\left\|e_{A}\right\|_{0}^{(\alpha )}:={\frac {1}{\left\|e_{A}\right\|_{\alpha }}}\cdot \left\|e_{A}\right\|_{\alpha }=1$.

Stetigkeit der Multiplkation

Sei nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in der topologischen Algebra $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$, für das gilt:

$\forall _{\displaystyle xy\in A}\,:\,\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }$

Ferner sei ohne Einschränkung $\|\cdot \|_{n}^{(\alpha )}\leq \|\cdot \|_{\beta }$. Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man $U_{\beta }$ durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung $U_{n}^{(\alpha )}\cap U_{\beta }$ mit $U_{\beta }:=B_{1}^{\beta }(0_{A})$ und $U_{n}^{(\alpha )}:=\{x\in A\,:\,\|x\|_{n}^{(\alpha )}<1\}$.

Supremumsgaugefunktional

Sei nun ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ bereits induktiv definiert. Wir betrachten nun die Teilmenge ${\textstyle e\in T_{n}\subset A}$ mit $T_{n}:=\{s\in A\,:\,\left\|s\right\|_{\beta }>0\}.$ Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form

$$\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}:=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ für alle }}x\in A$$

Anwendung auf das Einselement 1

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man:

$${\begin{array}{rcl}\left\|e_{A}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\underbrace {{\frac {1}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot \left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}} _{\leq 1}\leq \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\end{array}}$$

Ferner wurde $\left\|s\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|s\right\|_{\beta }$ für die "$\leq$"-Abschätzung verwendet.

Anwendung auf das Einselement 2

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man:

$${\begin{array}{rcl}\left\|e_{A}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\cdot e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot {\frac {\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}=\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}$$

Abschätzung Gaugefunktionale 1

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man analog für beliebige $x\in A$:

$${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {e_{A}}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ weil }}e_{A}\in T_{n}\\&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|{\frac {x}{\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}\end{array}}$$

Abschätzung Gaugefunktionale 2

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von $\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}$ erhält man analog für beliebige $x\in A$:

$${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}&=&\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }=\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\beta }\\\end{array}}$$

Abschätzung bzgl. Multiplikation

Für $y\in T_{n}$ erhält man:

$${\begin{array}{rcl}\left\|x\cdot y\right\|_{n}^{(\alpha )}&\leq &\|y\|_{\beta }\cdot \left\|x\cdot {\frac {y}{\|y\|_{\beta }}}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\leq &\|y\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|\\&=&\|y\|_{\beta }\cdot {\frac {1}{\|e_{A}\|_{\beta }}}\cdot \|e_{A}\|_{\beta }\cdot \displaystyle \sup _{s\in T_{n}}\left\|{\frac {s}{\left\|s\right\|_{\beta }}}\cdot x\right\|\\&=&\|y\|_{\beta }\cdot {\frac {1}{\|e_{A}\|_{\beta }}}\cdot \|x\|_{n+1}^{(\alpha )}\end{array}}$$

Abschätzung Einselement

Wegen ${\textstyle \left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|e_{A}\right\|_{\beta }\cdot \left\|e_{A}\right\|_{\beta }={\left\|e_{A}\right\|_{\beta }}^{2}}$ gilt damit auch $\left\|e_{A}\right\|_{\beta }\geq {\sqrt {\left\|e_{A}\right\|_{n}^{(\alpha )}}}>0$.

Definition:

Zwei Systeme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {I}}}$ auf einem topologischen Vektorraum ${\textstyle V}$ heißen äquivalent (Bezeichnung: ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{I}\equiv \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {I}}}$), falls gilt:

$${\begin{array}{ll}\forall _{\displaystyle \alpha \in I}\exists _{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {I}},C_{\alpha }>0}:&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ und}}\\\forall _{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {I}}}\exists _{\displaystyle \alpha \in I,C_{\widetilde {\alpha }}>0}:&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{\widetilde {\alpha }}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\\\end{array}}$$

Bemerkung

Äquivalente Systeme erzeugen die gleiche Topologie. Wenn man ein gerichtetes System und ein festes ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gegeben hat und als weitere Indexmenge ${\textstyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\beta \in {\mathcal {A}}:\beta \geq \alpha \}}$ definiert, dann sind ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ äquivalente Systeme.

Definition:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}$ eine topologische Algebra und ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ zwei Folgen von Gaugefunktionalen in ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$.Dann definiert man:

$$\left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}:\Longleftrightarrow \forall _{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}:\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\beta )}$$

Lemma:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}}$ eine topologische Algebra und

$${\tilde {\cdot }}:{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}\longrightarrow {\mathcal {A}}{\mbox{ mit }}(\alpha ,n)\longmapsto {\widetilde {(\alpha ,n)}}$$

sei eine Abbildung, dann gibt es für alle ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ eine normalisierte ${\textstyle M_{\mathcal {K}}}$-Sequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit

$$\left(\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}\leq \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}.$$

Beweis

Sei ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}}$ sei bereits induktiv definiert, dann erhält man ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}}$ wie folgt:

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es ein ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\beta }\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit

$$\forall _{\displaystyle x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,n)}\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }.$$

Da ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ gerichtet ist, gibt es ein Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ mit

$$\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {(\alpha ,n)}}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}{\mbox{ und }}\left\|\cdot \right\|_{\beta }\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n+1)}.$$

Damit folgt die Behauptung durch Induktion über ${\textstyle n}$. $\Box$

Siehe auch

• Normen, Metriken, Topologie
• Topologisierungslemma für topologische Algebren

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