Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen
Definition: kreisförmige Mengen Bearbeiten
Sei ein Vektorraum über , dann heißt kreisförmig, falls für alle und für alle auch gilt.
Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis Bearbeiten
In einem topologischen -Vektorraum gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Beweis Bearbeiten
Sei beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein und ein Nullumgebung mit
mit . Die Menge ist dabei kreiförmig.
Beweis durch Widerspruch Bearbeiten
Wir zeigen nun, dass ebenfalls eine Nullumgebung in ist. Annahme ist, dass keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei .
Beweis 1: Existenz eines Netzes Bearbeiten
Wenn keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz , das gegen den Nullvektor konvergiert und bei dem für alle die Komponenten des Netzes außerhalb der Nullumgebung liegen, d.h. gilt.
Beweis 2: Konvergenz gegen Nullvektor Bearbeiten
Wenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, gibt es auch für das gegebene eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Mit " " ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.
Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze Bearbeiten
Wenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, konvergiert auch wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor .
Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze Bearbeiten
Definieren nun ein Netz mit für alle , das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Auch hier ist mit " " die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.
Beweis 5: Widerspruch Bearbeiten
Wähle in der Indexmenge so, dass und . Für alle gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und :
- .
Beweis 4: Kreisförmige Nullumgebung Bearbeiten
Damit ist auch eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung enthält eine kreisförmige Nullumgebung mit . Die Menge ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis Bearbeiten
Mit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen Bearbeiten
In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.
Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen Bearbeiten
Seien kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum , dann ist auch eine kreisförmige Nullumgebung.
Beweis Bearbeiten
Aus kreisförmig folgt, dass für alle mit , und auch und .
Schnitt von offenen Mengen Bearbeiten
In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also (siehe Normen, Metriken, Topologie). Nullumgebung sind, gilt auch . Damit ist eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt .
Schnitt kreisförmig Bearbeiten
Wir zeigen nun noch, dass kreisförmig ist. Sei dazu und mit beliebig gewählt. Damit gilt und . Die Kreisförmigkeit von und liefert dann und und damit auch .
Aufgabe Bearbeiten
- Zeigen Sie für die Definition der , dass die Menge kreisförmig ist.
- Überprüfen Sie, ob die Summe von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
- Überprüfen Sie, ob die Vereinigung von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder kreisförmig ist.
Siehe auch Bearbeiten
- Netze (Mathematik)
- absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale
- Stetigkeitssequenzen und kreisförmige Mengen
- absolut pseudokonvex
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