Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen

Definition: kreisförmige Mengen

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Sei   ein Vektorraum über  , dann heißt   kreisförmig, falls für alle   und für alle   auch   gilt.

Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis

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In einem topologischen  -Vektorraum   gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.


Sei   beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein   und ein Nullumgebung   mit

 

mit  . Die Menge   ist dabei kreiförmig.

Beweis durch Widerspruch

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Wir zeigen nun, dass   ebenfalls eine Nullumgebung in   ist. Annahme ist, dass   keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei  .

Beweis 1: Existenz eines Netzes

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Wenn   keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz  , das gegen den Nullvektor   konvergiert und bei dem für alle   die Komponenten des Netzes   außerhalb der Nullumgebung   liegen, d.h.   gilt.

Beweis 2: Konvergenz gegen Nullvektor

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Wenn ein Netz   gegen den Nullvektor   konvergiert, gibt es auch für das gegebene   eine Indexschranke  , für das alle   sind, falls   gilt. Mit " " ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge   gemeint.

Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze

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Wenn ein Netz   gegen den Nullvektor   konvergiert, konvergiert auch   wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor  .

Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze

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Definieren nun ein Netz   mit   für alle  , das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor   konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke  , für das alle   sind, falls   gilt. Auch hier ist mit " " die partielle Ordnung auf der Indexmenge   gemeint.

Beweis 5: Widerspruch

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Wähle in der Indexmenge   so, dass   und  . Für alle   gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und  :

  •  
  •  .

Beweis 4: Kreisförmige Nullumgebung

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Damit ist auch   eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung   enthält eine kreisförmige Nullumgebung   mit  . Die Menge   ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.  


Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis

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Mit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.

Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen

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In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis   aus kreisförmigen Mengen  . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.

Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen

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Seien   kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum  , dann ist auch   eine kreisförmige Nullumgebung.

Aus   kreisförmig folgt, dass für alle   mit  ,   und   auch   und  .

Schnitt von offenen Mengen

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In einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum)   ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also   (siehe Normen, Metriken, Topologie).   Nullumgebung sind, gilt auch  . Damit ist   eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt  .

Schnitt kreisförmig

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Wir zeigen nun noch, dass   kreisförmig ist. Sei dazu   und   mit   beliebig gewählt. Damit gilt   und  . Die Kreisförmigkeit von   und   liefert dann   und   und damit auch  .  

  • Zeigen Sie für die Definition der  , dass die Menge   kreisförmig ist.
  • Überprüfen Sie, ob die Summe   von zwei kreisförmigen Nullumgebungen   wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
  • Überprüfen Sie, ob die Vereinigung   von zwei kreisförmigen Nullumgebungen   wieder kreisförmig ist.

Siehe auch

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