Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen
Definition: kreisförmige Mengen
BearbeitenSei ein Vektorraum über , dann heißt kreisförmig, falls für alle und für alle auch gilt.
Lemma: Kreisförmige Nullumgebungsbasis
BearbeitenIn einem topologischen -Vektorraum gibt es ein Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Beweis
BearbeitenSei beliebig gewählt. Mit der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren gibt es ein und ein Nullumgebung mit
mit . Die Menge ist dabei kreiförmig.
Beweis durch Widerspruch
BearbeitenWir zeigen nun, dass ebenfalls eine Nullumgebung in ist. Annahme ist, dass keine Nullumgebung ist. Ohne Einschränkung sei .
Beweis 1: Existenz eines Netzes
BearbeitenWenn keine Nullumgebung ist, existiert ein Netz , das gegen den Nullvektor konvergiert und bei dem für alle die Komponenten des Netzes außerhalb der Nullumgebung liegen, d.h. gilt.
Beweis 2: Konvergenz gegen Nullvektor
BearbeitenWenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, gibt es auch für das gegebene eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Mit " " ist die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.
Beweis 3: Skalare Multiplikation für konvergente Netze
BearbeitenWenn ein Netz gegen den Nullvektor konvergiert, konvergiert auch wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in einem topologischen Vektorraum gegen den Nullvektor .
Beweis 4: Skalare Multiplikation für konvergente Netze
BearbeitenDefinieren nun ein Netz mit für alle , das nach Beweisschritt 3 ebenfalls gegen den Nullvektor konvergiert. Dann gibt es wieder eine Indexschranke , für das alle sind, falls gilt. Auch hier ist mit " " die partielle Ordnung auf der Indexmenge gemeint.
Beweis 5: Widerspruch
BearbeitenWähle in der Indexmenge so, dass und . Für alle gilt dann mit Beweisschritt 1, 4 und :
- .
Beweis 4: Kreisförmige Nullumgebung
BearbeitenDamit ist auch eine kreisförmige Nullumgebung und jede Umgebung enthält eine kreisförmige Nullumgebung mit . Die Menge ist Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Bemerkung: Kreisförmige Nullumgebungsbasis
BearbeitenMit dieser Aussage existiert in jedem topologischen Vektorraum eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen
BearbeitenIn topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) wird gezeigt, dass es eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale.
Lemma: Schnitt kreisförmiger Nullumgebungen
BearbeitenSeien kreisförmige Nullumgebungen in einem topologischen Vektoraum , dann ist auch eine kreisförmige Nullumgebung.
Beweis
BearbeitenAus kreisförmig folgt, dass für alle mit , und auch und .
Schnitt von offenen Mengen
BearbeitenIn einem topologischen Raum (also insbesondere auch in einem topologischen Vektorraum) ist der Schnitt von zwei offenen Mengen wieder offen, also (siehe Normen, Metriken, Topologie). Nullumgebung sind, gilt auch . Damit ist eine offen Menge, die den Nullvektor enthält und es gilt .
Schnitt kreisförmig
BearbeitenWir zeigen nun noch, dass kreisförmig ist. Sei dazu und mit beliebig gewählt. Damit gilt und . Die Kreisförmigkeit von und liefert dann und und damit auch .
Aufgabe
Bearbeiten- Zeigen Sie für die Definition der , dass die Menge kreisförmig ist.
- Überprüfen Sie, ob die Summe von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder eine kreisförmige Nullumgebung ist.
- Überprüfen Sie, ob die Vereinigung von zwei kreisförmigen Nullumgebungen wieder kreisförmig ist.
Siehe auch
Bearbeiten- Netze (Mathematik)
- absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale
- Stetigkeitssequenzen und kreisförmige Mengen
- absolut pseudokonvex
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