Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität

Einführung

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Wenn wir die  -Regularität eines Elementes   für eine multiplikativ pseudokonvexe topologische Algebra   sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ pseudokonvexen Algebraerweiterungen   von   in der   invertierbar ist. Dabei besteht

  •   und
  •  

aus einem System von submultiplikativen p-Halbnormen, die die Topologie auf   bzw.   erzeugen.

Geschichte

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Der Beweis der Charakterisierung  -Regularität in kommutativen lokalkonvexen Algebren basiert vollständig auf der Beweisidee von Zelazko von 1971[1] permanent sigulären Elemente von kommutativen  -Algebren zu charakterisieren. Die Beweisidee unter Verwendung  -Normen ist zwar eine Verallgemeinerung des Begriffs einer submultiplikativen Norm, allerdings verändert sich dabei das Vorgehen für die Charakterisierung bei einem Übergang zu Quotientenalgebren im Vergleich zu multiplikativ pseudokonvexen Räumen nicht und man kann den Beweis von Zelazko aus dem Jahr 1971 auch analog auf  -Regularität übertragen.

MLC-Regularität als Spezialfall der MPC-Regularität

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Der Nachweis der Charakterisierung der  -Regularität ist ein Spezialfall der  -Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die  -Normen mit   homogen sind und damit die Eigenschaften einer Halbnorm erfüllen. Der hier vorgestellt Beweis erzeugt die Algebraerweiterung direkt ohne direkte Verwendung der Charakterisierung der  -Regularität für Quotientenräume   (siehe MLC-Regularität).

Zielsetzung

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Zielsetzung einer multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung   zu einer gegebenen topologischen Algebra   mit   ist es, die gegebene multiplikativ lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element   in der multiplikativ lokalkonvexen Algebraerweiterung   besitzt. Als topologieerzeugende  -Gaugefunktionale werden hier Halbnormensystem   und   verwendet.

Charakterisierung der MPC-Regularität

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Für kommutative multiplikativ pseudokonvexe Algebren   mit unital positivem System von submultiplikativen  -Halbnormen erhält man folgende Charakterisierung:

  •    -singulär     (multiplikativer topologischer Nullteiler)
  •    -regulär   für alle   und ein   mit   für alle  

Dabei sind   submultiplikative  -Halbnormen.

Quotientenalgebren

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Die entscheidende Idee von Zelazko[1] (1971) für den Beweis war die Algebraerweiterung von   in eine Produktraum von Quotientenalgebren  , wobei ein Ideal   über submultiplikativen Halbnormen erzeugt wird. Diese Grundidee ist identisch für eine submultiplikatives  -Halbnormensystem für die Charakterisierung der  -Regularität.

Algebraerweiterung von MPC-Quotientenalgebren

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Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen  -Halbnormen bzw. Quasihalbnormen.

Submultiplikativität

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Dabei ist die Submultiplikativität der  -Halbnorm wesentlich für die Idealeigenschaft, denn mit

 

Analog erhält man   über die Submultiplikativität.

Dreiecksungleichung

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Ebenfalls ist die Dreiecksungleichung der  -Halbnorm wesentlich für die Idealeigenschaft, denn mit

 

p-Homogenität

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Anolog liefert die  -Homogenität der  -Halbnorm die letzte noch fehlendeIdealeigenschaft, denn mit

 

Quotientalgebra

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Mit dem Ideal   definiert man die Quotientenalgebra   mit der submultiplikativen  -Norm:

 

Aufgabe für Studierende

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  • Zeigen Sie, dass   für alle   gilt!
  • Zeigen Sie, dass das   eine  -Norm auf   ist, indem Sie die 3 Eigenschaften einer  -Norm entweder direkt nachweisen oder die Eigenschaft aus ersten Teilaufgabe verwenden.

Charakterisierung der MPC-Singularität

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Für kommutative multiplikativ pseudokonvexe Algebren   mit einem unital positiven Halbnormensystem erhält man folgende Charakterisierung:

  •   permanent singulär   es gibt ein   mit   also   zumindest in einer Quotientenalgebra   ein topologischer Nullteiler ist.
  •   permanent singulär  

Charakterisierung der MPC-Regularität

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Für kommutative multiplikativ pseudokonvexe Algebren   mit einem unital positiven Halbnormensystem erhält man folgende Charakterisierung:

  • Ein Element   ist  -regulär, wenn für alle   die Äquivalenzklasse   kein topologischer Nullteiler ist.
  •    -regulär  

Submultiplikative p-Halbnorm bzw. Quasihalbnorm

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Bei den oben genannten Charakterisierungen ist   eine submultiplikative  -Norm bzw. eine submulitplikative Quasinorm.

Veranschaulichung

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Algebraerweiterung   von   ist hier eine mulitplikative lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element   zu einem gegebenen   enthält.

 


Multiplikative pseudokonvexe Algebraerweiterung

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Sei   die Klasse der multiplikativ pseudokonvex unitalen Algebren und  . Die Algebraerweiterung   bzw.  -Erweiterung von   benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus   mit:

  •  , wobei   ist das Einselement von   und   das Einselement von   ist.
  •   ist homöomorph zu  ; d.h.   und   sind stetig.

Veranschaulichung der Einbettung in die Algebraerweiterung

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Die Abbildung zeigt, wie die Algebra   in die Algebraerweiterung über   eingebettet wird.

Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung

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  • Im allgemeinen identifiziert man   mit   und schreibt  . In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus   mit Elementen   in einem Quotientenraum   identifiziert werden.
  • Sei   eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von   auf   und   eine Nullumgebungsbasis von  , dann kann man die Homöomorphie zwischen   und   wie immer über die Topologie ausdrücken:
 

Stetigkeit über p-Halbnormen

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Betrachtet man die Halbnormen   und   für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

 

Analogie zu Vorgehen bei der Charakterisierung P-regulärer Elemente

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Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren   und nutzen das Vorgehen bei der Charakterisierung  -Regularität für die  -Erweiterung von  . Für   erhalten wir damit auch die Charakterisierung der  -Regularität.

Algebraerweiterung

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Der Algebrahomomorphismus   bildet nun jedes Element   auf die Nebenklasse   ab. Dabei seien   kommutative unitale  -Algebren über dem Körper  .

Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra

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Für das gegebene   in der kommutativen normierten topologische Algebren   definiert man ein Polynom   mit  , wobei   das Einselement der Multiplikation in   ist. Als Ideal definiert man   als abgeschlossenes Hauptideal in  . Als Untervektorraum   wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.

Topologisierung der Polynomalgebra

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Die Topologie auf   wird über die folgende submultiplikative  -Halbnormen mit   erzeugt:

 

Aufgabe für Lernende

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Betrachten Sie eine kommutative Algebra   über dem Körper  .

  • Zeigen Sie, dass mit der Abbildung   und   eine Algebraerweiterung von   nach   definiert wurde!
  • Zeigen Sie, dass mit der Abbildung   und   mit   eine Algebraerweiterung von   nach   definiert wurde!
  • Begründen Sie, dass das algebraische Vorgehen zu für die Invertierbarkeit mit   als neutrales Element der Multiplikation in   sich nicht vom dem Vorgehen in bei der  -Regularität bzw.  -Regularität von kommuntativen Algebren unterscheidet.
  • Zeigen Sie, dass   und auch   Hausdorffräume sind!

Topologisierung der Algebraerweiterung

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Die Algebraerweiterung wird mit submultiplikative Quotientenhalbnorm mit   versehen, die wie folgt definiert ist:

 

Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit  , wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

 

Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.

Stetigkeit Algebrahomomorphismus

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Sei   beliebig gewählt, dann gilt mit der Norm   auf dem Quotientenraum   die folgende Abschätzung

 

Damit ist   stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Struktur der Polynome aus dem Ideal

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Betrachten nun das Bild   von   in  . Sei nun   gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges   mit   mit  . Dabei gilt:

 

Halbnormabschätzung

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Bei der Verwendung der Abschätzung   kann man   so wählen, dass   gilt. Ist das nicht der Fall ersetzt man   durch eine andere multiplikative Halbnorm   mit:

 

und es gilt:

 

Mit diesem Vorgehen kann man u.a. unital positive Halbnormensysteme auf   generieren in den sowohl   und damit auch   erfüllt ist.

Halbnormindexabbildung

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Man kann also mit dieser Halbnormabschätzung   ein   zuordnen, dass die folgende Bedingung erfüllt:

 

Damit definiert man einer Abbildung   eine Abbildung, die im Folgenden für die Definition eines submultiplikativen Halbnormensystems auf   verwendet wird mit

 .

Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung

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Unter Verwendung der Abschätzung   erhält man mit  

 

Teleskopierende Summen

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Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme

 

eine Telekopsumme.

Infimumbildung

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Durch Infimumbildung über alle Polynome   bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von  .  

Umgekehrte Abschätzung

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Für die Stetigkeit der Abbildung   gibt es für alle   ein   und setzt das Nullpolynom   ein:

 

Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von   in   eine Hömöomorphismus mit   bzw.  .

Stetigkeit - Homöomorphismus

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Betrachtet man die submultiplikativen Halbnormen   und   auf   für Nullumgebungen, so kann man nun die Konstanten analog zum Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wie folgt mit   angeben:

 

Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen

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In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von   und   über Gaugefunktionale auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Gaugefunktionalsysteme   auf   und   auf   und definieren eine weiteres Halbnormensystem   auf   mit

 

Dabei wird   mit  . Zeigen Sie, dass Gaugefunktionalsysteme   und   auf   äquivalente Halbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)).

Pseudokonvexe Polynomalgebra

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Wir betrachten nun zu einer gegebenen (multiplikativ pseudokonvexen)  -Algebra   die Menge der Polynome mit Koeffizienten in  .

 

und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra  

 

Grad von Polynomen

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Auch bei den unächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit   notieren und mit   würde   den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen   ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen   die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

Schreibweise für die Polynomalgebra

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Daher werden wie bei der P-Regularität die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen   definiert, die ab einer Indexschranke   nur noch aus dem Nullvektor   in   besteht.

 

Topologisierung der Polynomalgebra

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Die   wird nun mit einer Folge   bzgl. einer positiven Konstanten in   und einer submultiplikativen Halbnorm   topologisiert.

 

Cauchy-Produkt - Stetigkeit

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Betrachtet man zwei Polynome   in dem normierten Raum  .

 

Dann liefert die Definition über   die folgende Halbnorm für das Produkt  :

 

Aufgabe für die Lernende

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Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung   eine Norm ist und für alle   gilt

 

Begründen Sie ferner, dass die Multiplikation auf   stetig ist, wobei man mit der Abbildung   jedem   ein   zuordnet, mit   und die Bedingung erfüllt ist, dass:

 

Topologisierung der Algebraerweiterung

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Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:

 

Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit  , wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:

 

Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.

Hausdorff-Eigenschaft

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Zeigen Sie, dass die Polynomalgebra   und   Hausdorffräume sind!


Quellennachweis

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  1. 1,0 1,1 Zelazko Wieslaw, On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190

Siehe auch

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