Wenn wir die
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
multiplikativ pseudokonvexe topologische Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
multiplikativ pseudokonvexen Algebraerweiterungen
(
B
,
‖
⋅
‖
A
~
)
{\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
‖
⋅
‖
A
:=
{
‖
⋅
‖
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
‖
⋅
‖
A
~
:=
{
‖
⋅
‖
α
~
:
α
~
∈
A
~
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,:\,{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\}}
aus einem System von submultiplikativen p-Halbnormen , die die Topologie auf
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Der Beweis der Charakterisierung
M
L
C
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}}
in kommutativen lokalkonvexen Algebren basiert vollständig auf der Beweisidee von Zelazko von 1971[ 1]
M
L
C
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}}
p
{\displaystyle p}
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
Bearbeiten
Der Nachweis der Charakterisierung der
M
L
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}^{k}}
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
p
{\displaystyle p}
p
=
1
{\displaystyle p=1}
B
k
{\displaystyle {\mathcal {B}}^{k}}
A
β
{\displaystyle A_{\beta }}
MLC-Regularität ).
Die entscheidende Idee von Zelazko[ 1]
A
{\displaystyle A}
∏
α
∈
A
A
/
N
α
{\displaystyle \prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}A/N_{\alpha }}
Ideal
N
α
⊂
A
{\displaystyle N_{\alpha }\subset A}
p
{\displaystyle p}
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
Algebraerweiterung von MPC-Quotientenalgebren
Bearbeiten
Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen
p
{\displaystyle p}
Quasihalbnormen .
Dabei ist die Submultiplikativität der
p
{\displaystyle p}
N
α
:=
{
u
∈
A
:
‖
u
‖
α
=
0
}
⇒
∀
u
∈
N
α
,
x
∈
A
:
‖
u
⋅
x
‖
α
≤
‖
u
‖
α
⏟
=
0
⋅
‖
x
‖
α
=
0
⇒
u
⋅
x
∈
N
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}N_{\alpha }&:=&\{u\in A\,\colon \,\|u\|_{\alpha }=0\}\\&\Rightarrow &\forall _{u\in N_{\alpha },\,\,x\in A}:\,\,\|u\cdot x\|_{\alpha }\leq \underbrace {\|u\|_{\alpha }} _{=0}\cdot \|x\|_{\alpha }=0\\&\Rightarrow &u\cdot x\in N_{\alpha }\end{array}}}
Analog erhält man
x
⋅
u
∈
N
α
{\displaystyle x\cdot u\in N_{\alpha }}
Ebenfalls ist die Dreiecksungleichung der
p
{\displaystyle p}
u
1
,
u
2
∈
N
α
⇒
‖
u
1
+
u
2
‖
α
≤
‖
u
1
‖
α
⏟
=
0
+
‖
u
2
‖
α
⏟
=
0
=
0
⇒
u
1
+
u
2
∈
N
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}u_{1},u_{2}\in N_{\alpha }&\Rightarrow &\|u_{1}+u_{2}\|_{\alpha }\leq \underbrace {\|u_{1}\|_{\alpha }} _{=0}+\underbrace {\|u_{2}\|_{\alpha }} _{=0}=0\\&\Rightarrow &u_{1}+u_{2}\in N_{\alpha }\end{array}}}
Anolog liefert die
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
λ
∈
K
,
u
∈
N
α
⇒
‖
λ
⋅
u
‖
α
=
‖
λ
‖
p
⋅
‖
u
‖
α
⏟
=
0
=
0
⇒
λ
⋅
u
∈
N
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lambda \in \mathbb {K} ,\,u\in N_{\alpha }&\Rightarrow &\|\lambda \cdot u\|_{\alpha }=\|\lambda \|^{p}\cdot \underbrace {\|u\|_{\alpha }} _{=0}=0\\&\Rightarrow &\lambda \cdot u\in N_{\alpha }\end{array}}}
Mit dem Ideal
N
α
{\displaystyle N_{\alpha }}
A
α
:=
A
/
N
α
{\displaystyle A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }}
p
{\displaystyle p}
‖
|
[
x
]
α
|
‖
α
:=
‖
|
x
+
N
α
|
‖
α
:=
inf
u
∈
N
α
‖
x
+
u
‖
α
{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|x+N_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}
Zeigen Sie, dass
‖
|
[
x
]
α
|
‖
α
=
‖
x
‖
α
{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }=\|x\|_{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
Zeigen Sie, dass das
‖
|
⋅
|
‖
α
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }}
p
{\displaystyle p}
A
α
:=
A
/
N
α
{\displaystyle A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }}
p
{\displaystyle p}
Multiplikative pseudokonvexe Algebraerweiterung
Bearbeiten
Sei
M
P
C
e
{\textstyle {\mathcal {MPC}}_{e}}
multiplikativ pseudokonvex unitalen Algebren und
A
∈
M
P
C
e
{\textstyle A\in {\mathcal {MPC}}_{e}}
Algebraerweiterung
B
∈
M
L
C
e
{\textstyle B\in {\mathcal {MLC}}_{e}}
M
P
C
{\textstyle {\mathcal {MPC}}}
A
{\textstyle A}
Definition es einen Algebraisomorphismus
τ
:
A
⟶
A
′
⊂
B
{\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}
τ
(
e
A
)
=
e
B
{\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}
e
A
{\textstyle e_{_{A}}}
A
{\textstyle A}
e
B
∈
A
′
{\textstyle e_{_{B}}\in A'}
B
{\textstyle B}
A
{\textstyle A}
A
′
{\textstyle A'}
τ
{\textstyle \tau }
τ
−
1
:
A
′
⟶
A
{\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}
Veranschaulichung der Einbettung in die Algebraerweiterung
Bearbeiten
Die Abbildung zeigt, wie die Algebra
A
{\displaystyle A}
τ
:
A
⟶
A
′
⊂
B
{\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}
Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung
Bearbeiten
Im allgemeinen identifiziert man
A
{\textstyle A}
A
′
{\textstyle A'}
A
⊂
B
{\textstyle A\subset B}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
τ
(
x
)
=
x
+
I
∈
B
{\displaystyle \tau (x)=x+I\in B}
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
Sei
U
A
′
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}
Relativtopologie von
B
{\textstyle B}
A
′
{\textstyle A'}
U
A
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}
A
{\textstyle A}
A
{\textstyle A}
A
′
{\textstyle A'}
∀
V
∈
U
A
(
0
)
∃
U
∈
U
A
′
(
0
)
:
U
⊂
V
(
τ
(
U
)
⊂
V
)
∀
U
∈
U
A
′
(
0
)
∃
V
∈
U
A
(
0
)
:
V
⊂
U
(
τ
−
1
(
V
)
⊂
U
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}
Betrachtet man die Halbnormen
‖
⋅
‖
A
~
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ):
∀
α
∈
A
∃
α
~
∈
A
~
,
C
1
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
α
≤
C
1
⋅
‖
τ
(
x
)
‖
α
~
bzw.
‖
⋅
‖
α
≤
C
1
⋅
‖
⋅
‖
α
~
∘
τ
∀
α
~
∈
A
∃
α
∈
A
,
C
2
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
τ
(
x
)
‖
α
~
≤
C
2
⋅
‖
x
‖
α
bzw.
‖
⋅
‖
α
~
∘
τ
≤
C
2
⋅
‖
⋅
‖
α
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \\\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }.\end{array}}}
Bearbeiten
Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
Charakterisierung
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
für die
M
P
C
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
p
=
1
{\displaystyle p=1}
M
L
C
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}}
Der Algebrahomomorphismus
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
x
+
I
∈
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle x+I\in B:=A[t]/I}
A
,
B
∈
M
P
C
e
k
(
K
)
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )}
M
P
C
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra
Bearbeiten
Für das gegebene
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
e
A
{\displaystyle e_{A}}
A
{\displaystyle A}
Ideal definiert man
I
:=
o
⋅
A
[
t
]
¯
{\displaystyle I:={\overline {o\cdot A[t]}}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
I
{\displaystyle I}
Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.
Die Topologie auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
p
{\displaystyle p}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
‖
|
p
|
‖
α
=
∑
k
=
0
∞
D
α
k
⋅
‖
p
k
‖
α
mit
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D_{\alpha }^{k}\cdot \|p_{k}\|_{\alpha }\,\,\,{\mbox{ mit}}\\\\p(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\end{array}}}
Betrachten Sie eine kommutative Algebra
A
∈
M
P
C
e
k
(
K
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
Zeigen Sie, dass mit der Abbildung
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
τ
(
x
)
=
x
I
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x_{_{I}}=x+I}
Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Zeigen Sie, dass mit der Abbildung
τ
A
[
t
]
:
A
→
A
[
t
]
{\displaystyle \tau _{_{A[t]}}:A\to A[t]}
τ
A
[
t
]
(
x
)
=
p
x
{\displaystyle \tau _{_{A[t]}}(x)=p_{x}}
p
x
(
t
)
:=
x
⋅
t
0
{\displaystyle p_{x}(t):=x\cdot t^{0}}
Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
Begründen Sie, dass das algebraische Vorgehen zu für die Invertierbarkeit mit
e
B
:=
e
A
+
I
{\displaystyle e_{_{B}}:=e_{_{A}}+I}
neutrales Element der Multiplikation in
B
{\displaystyle B}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
Zeigen Sie, dass
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
Die Algebraerweiterung wird mit submultiplikative Quotientenhalbnorm mit
α
≤
β
{\displaystyle \alpha \leq \beta }
‖
q
I
‖
β
:=
‖
q
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
β
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{\beta }:=\|q+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{\beta }}
Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.
Sei
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
‖
⋅
‖
B
{\displaystyle \|\cdot \|_{B}}
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
‖
τ
(
x
)
‖
β
=
‖
x
I
‖
β
=
‖
x
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
β
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
β
=
D
β
0
⋅
‖
x
‖
β
=
‖
x
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{\beta }&=&\|x_{I}\|_{\beta }=\|x+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{\beta }=D_{\beta }^{0}\cdot \|x\|_{\beta }=\|x\|_{\beta }\end{array}}}
Damit ist
τ
{\displaystyle \tau }
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Betrachten nun das Bild
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle \tau (A)\subset B}
τ
{\displaystyle \tau }
B
{\displaystyle B}
A
′
=
τ
(
A
)
=
{
x
I
:
x
I
=
x
+
I
=
τ
(
x
)
}
{\displaystyle A'=\tau (A)=\{x_{I}\,:\,x_{I}=x+I=\tau (x)\}}
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
r
=
o
⋅
q
∈
I
{\displaystyle r=o\cdot q\in I}
o
(
t
)
=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t)=z\cdot t-e_{A}}
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
=
o
(
t
)
⋅
q
(
t
)
=
−
q
0
+
∑
k
=
1
∞
(
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
)
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}=o(t)\cdot q(t)\\&=&-q_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(z\cdot q_{k-1}-q_{k})\cdot t^{k}\end{array}}}
Bei der Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
β
≤
D
β
⋅
‖
z
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }}
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
β
≥
α
{\displaystyle \beta \geq \alpha }
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}
‖
x
‖
γ
:=
max
{
‖
x
‖
α
,
‖
x
‖
β
}
{\displaystyle \|x\|_{\gamma }:=\max\{\|x\|_{\alpha },\|x\|_{\beta }\}}
und es gilt:
‖
x
‖
γ
≤
D
γ
⋅
‖
z
⋅
x
‖
γ
und
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
γ
.
{\displaystyle \|x\|_{\gamma }\leq D_{\gamma }\cdot \|z\cdot x\|_{\gamma }{\mbox{ und }}\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\gamma }.}
Mit diesem Vorgehen kann man u.a. unital positive Halbnormensysteme auf
A
{\displaystyle A}
‖
e
A
‖
γ
>
0
{\displaystyle \|e_{A}\|_{\gamma }>0}
‖
z
‖
γ
>
0
{\displaystyle \|z\|_{\gamma }>0}
Man kann also mit dieser Halbnormabschätzung
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
Γ
(
α
)
:=
γ
∈
A
{\displaystyle \Gamma (\alpha ):=\gamma \in {\mathcal {A}}}
‖
x
‖
γ
≤
D
γ
⋅
‖
z
⋅
x
‖
γ
und
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
γ
.
{\displaystyle \|x\|_{\gamma }\leq D_{\gamma }\cdot \|z\cdot x\|_{\gamma }{\mbox{ und }}\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\gamma }.}
Damit definiert man einer Abbildung
Γ
:
A
→
A
{\displaystyle \Gamma :{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
A
~
:=
Γ
(
A
)
:=
{
Γ
(
α
)
:
α
∈
A
}
{\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\Gamma ({\mathcal {A}}):=\{\Gamma (\alpha )\,\colon \,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung
Bearbeiten
Unter Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
β
≤
D
β
⋅
‖
z
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }}
β
≥
α
{\displaystyle \beta \geq \alpha }
‖
|
x
+
r
|
‖
β
=
D
β
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
β
≥
D
β
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
⋅
(
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
β
−
‖
q
k
‖
β
)
≥
D
β
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
β
−
D
β
k
⋅
‖
q
k
‖
β
≥
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
β
−
D
β
k
⋅
‖
q
k
‖
β
≥
‖
x
−
q
0
‖
β
+
‖
q
0
‖
β
≥
‖
x
‖
β
≥
‖
x
‖
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }&=&D_{\beta }^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{\beta }\\\\&\geq &D_{\beta }^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{\beta }-\|q_{k}\|_{\beta }\right)\\\\&\geq &D_{\beta }^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{\beta }-D_{\beta }^{k}\cdot \|q_{k}\|_{\beta }\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{\beta }-D_{\beta }^{k}\cdot \|q_{k}\|_{\beta }\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{\beta }+\|q_{0}\|_{\beta }\geq \|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }\end{array}}}
Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme
D
β
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
β
−
D
β
k
⋅
‖
q
k
‖
β
{\displaystyle D_{\beta }^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{\beta }-D_{\beta }^{k}\cdot \|q_{k}\|_{\beta }}
eine Telekopsumme .
Durch Infimumbildung über alle Polynome
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
‖
x
+
I
‖
β
=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
β
≥
‖
x
‖
α
=
‖
τ
−
1
(
x
+
I
)
‖
α
{\displaystyle \|x+I\|_{\beta }=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }=\|\tau ^{-1}(x+I)\|_{\alpha }}
Für die Stetigkeit der Abbildung
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
β
∈
A
~
⊆
A
{\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}\subseteq {\mathcal {A}}}
0
A
[
t
]
∈
I
{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
‖
x
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
β
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
β
=
D
β
0
⋅
‖
x
‖
β
≥
‖
x
‖
α
{\displaystyle \|x+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{\beta }=D_{\beta }^{0}\cdot \|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }}
Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von
A
{\displaystyle A}
A
′
⊂
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}
τ
−
1
(
x
+
I
)
=
x
{\displaystyle \tau ^{-1}(x+I)=x}
τ
(
x
)
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x+I}
Betrachtet man die submultiplikativen Halbnormen
‖
⋅
‖
A
~
(
τ
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{(\tau )}}
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle A}
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wie folgt mit
A
~
:=
Γ
(
A
)
{\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\Gamma ({\mathcal {A}})}
∀
α
∈
A
∃
β
∈
A
~
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
α
≤
‖
τ
(
x
)
‖
β
=
‖
x
‖
β
(
τ
)
mit
β
:=
Γ
(
α
)
∀
β
∈
A
~
∃
α
∈
A
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
β
(
τ
)
≤
‖
x
‖
β
mit
α
:=
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|\tau (x)\right\|_{\beta }=\left\|x\right\|_{\beta }^{(\tau )}{\mbox{ mit }}\beta :=\Gamma (\alpha )\\\forall _{\beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\beta }^{(\tau )}\leq \left\|x\right\|_{\beta }{\mbox{ mit }}\alpha :=\beta \\\end{array}}}
Bearbeiten
In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von
τ
{\displaystyle \tau }
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
Gaugefunktionale auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Gaugefunktionalsysteme
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
A
{\displaystyle A}
‖
|
⋅
|
‖
A
~
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
‖
|
⋅
|
‖
A
~
(
τ
3
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{(\tau _{3})}}
A
{\displaystyle A}
‖
|
⋅
|
‖
α
~
(
τ
3
)
:=
‖
|
⋅
|
‖
α
~
∘
τ
3
bzw.
‖
|
x
|
‖
α
~
(
τ
3
)
:=
‖
|
τ
3
(
x
)
|
‖
α
~
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\alpha }}^{(\tau _{3})}:=\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau _{3}{\mbox{ bzw. }}\|\!|x|\!\|_{\widetilde {\alpha }}^{(\tau _{3})}:=\|\!|\tau _{3}(x)|\!\|_{\widetilde {\alpha }}}
Dabei wird
τ
3
(
x
)
=
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle \tau _{3}(x)=p\in A[t]}
p
(
t
)
=
x
⋅
t
0
{\displaystyle p(t)=x\cdot t^{0}}
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
‖
|
⋅
|
‖
A
~
(
τ
3
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{(\tau _{3})}}
A
{\displaystyle A}
äquivalente Halbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme) ).
Wir betrachten nun zu einer gegebenen (multiplikativ pseudokonvexen )
M
P
C
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
B
(
K
)
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \{0,1,...,n\}}
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
N
o
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \mathbb {N} _{o}}
Auch bei den unächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
p
n
≠
0
A
{\displaystyle p_{n}\not =0_{A}}
n
{\displaystyle n}
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.
Daher werden wie bei der P-Regularität die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle c_{oo}(A)}
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Die
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
(
D
β
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (D_{\beta }^{k})_{k\in \mathbb {N} }}
D
β
∈
R
+
{\displaystyle D_{\beta }\in \mathbb {R} ^{+}}
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
‖
|
p
|
‖
β
:=
∑
k
=
0
∞
D
β
k
⋅
‖
p
k
‖
β
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle \|\!|p|\!\|_{\beta }:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \|p_{k}\|_{\beta }{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Betrachtet man zwei Polynome
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
p
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
und
q
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
q
k
⋅
t
k
{\displaystyle p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}}
Dann liefert die Definition über
D
β
>
0
{\displaystyle D_{\beta }>0}
p
⋅
q
{\displaystyle p\cdot q}
‖
|
p
⋅
q
|
‖
β
=
∑
n
=
0
∞
D
β
n
⋅
‖
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
q
n
−
k
‖
β
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{\beta }=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\beta }^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\beta }}
Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung
‖
|
⋅
|
‖
D
:→
R
+
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}:\to \mathbb {R} ^{+}}
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
‖
|
p
⋅
q
|
‖
β
≤
‖
|
p
|
‖
β
⋅
‖
|
q
|
‖
β
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{\beta }\leq \|\!|p|\!\|_{\beta }\cdot \|\!|q|\!\|_{\beta }}
Begründen Sie ferner, dass die Multiplikation auf
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
A
~
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
Γ
:
A
→
A
{\displaystyle \Gamma :{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
Γ
(
α
)
=
β
∈
A
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=\beta \in {\mathcal {A}}}
A
~
:=
{
β
∈
A
:
∃
α
∈
A
:
β
=
Γ
(
α
)
}
{\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\beta \in {\mathcal {A}}\,\colon \,\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\,\,\beta =\Gamma (\alpha )\}}
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
β
,
‖
x
‖
α
≤
D
β
⋅
‖
z
⋅
x
‖
β
und
β
=
Γ
(
α
)
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta },\,\,\,\|x\|_{\alpha }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,{\mbox{ und }}\,\,\beta =\Gamma (\alpha )}
Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:
‖
q
I
‖
β
:=
‖
q
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
β
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{\beta }:=\|q+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{\beta }}
Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.
Zeigen Sie, dass die Polynomalgebra
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
A
~
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
(
B
,
‖
⋅
‖
A
~
)
{\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
↑ a b Zelazko Wieslaw, On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190
![{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|x+N_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea206fadac8ce8ae9c68174ffe29586f525210a)
![{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }=\|x\|_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a7786463dbd80c3b393ee977f9fa61ac4e4e53)
![{\displaystyle [z]_{\alpha }\in {\mathcal {TNT}}(A_{\alpha })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c979b76a5537ee8c76c2707c8e63ecbd29d0948a)
![{\displaystyle [z]_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014d3240791fa5f2f40fdd69b8df42628b99a4e6)
![{\displaystyle B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc806fa49af6a80a0b8ba7a4eb54a8d503dd8ab)
![{\displaystyle x+I\in B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed41466c30f79c712ed7afbc89f46eeac9089174)
![{\displaystyle o\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c9c353b0712820bde88d340156c6b728117d2)
![{\displaystyle I:={\overline {o\cdot A[t]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afa070b6145582f7c06f69b2e0616e42b8945d6)
![{\displaystyle A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13daf73f25e64310e7e5d67c5aa8dd4f97cb884f)
![{\displaystyle \tau _{_{A[t]}}:A\to A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560e8e559adc8ccd532cca4c7b06359d9fa34cab)
![{\displaystyle \tau _{_{A[t]}}(x)=p_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d184c2d22dc7f76c2694c6e78c7d0760b77b6e7)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{\beta }&=&\|x_{I}\|_{\beta }=\|x+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{\beta }=D_{\beta }^{0}\cdot \|x\|_{\beta }=\|x\|_{\beta }\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1e9d3cbfd3d6eda14580102bb18805e69799ea)
![{\displaystyle q\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d24715a3c26d1fa7abd1b832d7df621423b120)
![{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd47917438e866da00ed13565bd6b943ed260bf)
![{\displaystyle \|x+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{\beta }=D_{\beta }^{0}\cdot \|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f9f8136884bfdeaa57310c3cce3dfc7929f442)
![{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fb696240153ac092adf7e0bc8cebe25afcbd44)
![{\displaystyle \tau _{3}(x)=p\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dd153dc14f02525a5145ad2acb65c5dc7299f6)
![{\displaystyle p,q\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1a2e0a3e71f7b320f81e4090bb53df3fd3ce9d)
![{\displaystyle p\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c749fafdbe6240e74f3f5a2a0b3ad5d59f2ab895)
![{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bac2275e900239334953d4c6b7e4f9f5491c6cd)
![{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d882f375c370777f7c0b1f1ceb403a98e11965bd)
