Wenn wir die
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
-Regularität eines Elementes
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
für eine multiplikativ pseudokonvexe topologische Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
sprechen, suchen wir nach einer multiplikativ pseudokonvexen Algebraerweiterungen
(
B
,
‖
⋅
‖
A
~
)
{\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
von
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
in der
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
invertierbar ist. Dabei besteht
‖
⋅
‖
A
:=
{
‖
⋅
‖
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
und
‖
⋅
‖
A
~
:=
{
‖
⋅
‖
α
~
:
α
~
∈
A
~
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,:\,{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\}}
aus einem System von submultiplikativen p-Halbnormen , die die Topologie auf
A
{\displaystyle A}
bzw.
B
{\displaystyle B}
erzeugen.
Der Beweis der Charakterisierung
M
L
C
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}}
-Regularität in kommutativen lokalkonvexen Algebren basiert vollständig auf der Beweisidee von Zelazko von 1971[ 1] permanent sigulären Elemente von kommutativen
M
L
C
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}}
-Algebren zu charakterisieren. Die Beweisidee unter Verwendung
p
{\displaystyle p}
-Normen ist zwar eine Verallgemeinerung des Begriffs einer submultiplikativen Norm, allerdings verändert sich dabei das Vorgehen für die Charakterisierung bei einem Übergang zu Quotientenalgebren im Vergleich zu multiplikativ pseudokonvexen Räumen nicht und man kann den Beweis von Zelazko aus dem Jahr 1971 auch analog auf
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
-Regularität übertragen.
MLC-Regularität als Spezialfall der MPC-Regularität
Bearbeiten
Der Nachweis der Charakterisierung der
M
L
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}^{k}}
-Regularität ist ein Spezialfall der
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
-Regularität für multplikative pseudokonvexe Räume, wobei die
p
{\displaystyle p}
-Normen mit
p
=
1
{\displaystyle p=1}
homogen sind und damit die Eigenschaften einer Halbnorm erfüllen. Der hier vorgestellt Beweis erzeugt die Algebraerweiterung direkt ohne direkte Verwendung der Charakterisierung der
B
k
{\displaystyle {\mathcal {B}}^{k}}
-Regularität für Quotientenräume
A
β
{\displaystyle A_{\beta }}
(siehe MLC-Regularität ).
Die entscheidende Idee von Zelazko[ 1] (1971) für den Beweis war die Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
in eine Produktraum von Quotientenalgebren
∏
α
∈
A
A
/
N
α
{\displaystyle \prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}A/N_{\alpha }}
, wobei ein Ideal
N
α
⊂
A
{\displaystyle N_{\alpha }\subset A}
über submultiplikativen Halbnormen erzeugt wird. Diese Grundidee ist identisch für eine submultiplikatives
p
{\displaystyle p}
-Halbnormensystem für die Charakterisierung der
M
P
C
k
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}
-Regularität.
Algebraerweiterung von MPC-Quotientenalgebren
Bearbeiten
Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen
p
{\displaystyle p}
-Halbnormen bzw. Quasihalbnormen .
Dabei ist die Submultiplikativität der
p
{\displaystyle p}
-Halbnorm wesentlich für die Idealeigenschaft, denn mit
N
α
:=
{
u
∈
A
:
‖
u
‖
α
=
0
}
⇒
∀
u
∈
N
α
,
x
∈
A
:
‖
u
⋅
x
‖
α
≤
‖
u
‖
α
⏟
=
0
⋅
‖
x
‖
α
=
0
⇒
u
⋅
x
∈
N
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}N_{\alpha }&:=&\{u\in A\,\colon \,\|u\|_{\alpha }=0\}\\&\Rightarrow &\forall _{u\in N_{\alpha },\,\,x\in A}:\,\,\|u\cdot x\|_{\alpha }\leq \underbrace {\|u\|_{\alpha }} _{=0}\cdot \|x\|_{\alpha }=0\\&\Rightarrow &u\cdot x\in N_{\alpha }\end{array}}}
Analog erhält man
x
⋅
u
∈
N
α
{\displaystyle x\cdot u\in N_{\alpha }}
über die Submultiplikativität.
Ebenfalls ist die Dreiecksungleichung der
p
{\displaystyle p}
-Halbnorm wesentlich für die Idealeigenschaft, denn mit
u
1
,
u
2
∈
N
α
⇒
‖
u
1
+
u
2
‖
α
≤
‖
u
1
‖
α
⏟
=
0
+
‖
u
2
‖
α
⏟
=
0
=
0
⇒
u
1
+
u
2
∈
N
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}u_{1},u_{2}\in N_{\alpha }&\Rightarrow &\|u_{1}+u_{2}\|_{\alpha }\leq \underbrace {\|u_{1}\|_{\alpha }} _{=0}+\underbrace {\|u_{2}\|_{\alpha }} _{=0}=0\\&\Rightarrow &u_{1}+u_{2}\in N_{\alpha }\end{array}}}
Anolog liefert die
p
{\displaystyle p}
-Homogenität der
p
{\displaystyle p}
-Halbnorm die letzte noch fehlendeIdealeigenschaft, denn mit
λ
∈
K
,
u
∈
N
α
⇒
‖
λ
⋅
u
‖
α
=
‖
λ
‖
p
⋅
‖
u
‖
α
⏟
=
0
=
0
⇒
λ
⋅
u
∈
N
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\lambda \in \mathbb {K} ,\,u\in N_{\alpha }&\Rightarrow &\|\lambda \cdot u\|_{\alpha }=\|\lambda \|^{p}\cdot \underbrace {\|u\|_{\alpha }} _{=0}=0\\&\Rightarrow &\lambda \cdot u\in N_{\alpha }\end{array}}}
Mit dem Ideal
N
α
{\displaystyle N_{\alpha }}
definiert man die Quotientenalgebra
A
α
:=
A
/
N
α
{\displaystyle A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }}
mit der submultiplikativen
p
{\displaystyle p}
-Norm:
‖
|
[
x
]
α
|
‖
α
:=
‖
|
x
+
N
α
|
‖
α
:=
inf
u
∈
N
α
‖
x
+
u
‖
α
{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\|\!|x+N_{\alpha }|\!\|_{\alpha }:=\displaystyle \inf _{u\in N_{\alpha }}\|x+u\|_{\alpha }}
Zeigen Sie, dass
‖
|
[
x
]
α
|
‖
α
=
‖
x
‖
α
{\displaystyle \|\!|\,[x]_{\alpha }|\!\|_{\alpha }=\|x\|_{\alpha }}
für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
gilt!
Zeigen Sie, dass das
‖
|
⋅
|
‖
α
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\alpha }}
eine
p
{\displaystyle p}
-Norm auf
A
α
:=
A
/
N
α
{\displaystyle A_{\alpha }:=A/N_{\alpha }}
ist, indem Sie die 3 Eigenschaften einer
p
{\displaystyle p}
-Norm entweder direkt nachweisen oder die Eigenschaft aus ersten Teilaufgabe verwenden.
Multiplikative pseudokonvexe Algebraerweiterung
Bearbeiten
Sei
M
P
C
e
{\textstyle {\mathcal {MPC}}_{e}}
die Klasse der multiplikativ pseudokonvex unitalen Algebren und
A
∈
M
P
C
e
{\textstyle A\in {\mathcal {MPC}}_{e}}
. Die Algebraerweiterung
B
∈
M
L
C
e
{\textstyle B\in {\mathcal {MLC}}_{e}}
bzw.
M
P
C
{\textstyle {\mathcal {MPC}}}
-Erweiterung von
A
{\textstyle A}
benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus
τ
:
A
⟶
A
′
⊂
B
{\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}
mit:
τ
(
e
A
)
=
e
B
{\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}
, wobei
e
A
{\textstyle e_{_{A}}}
ist das Einselement von
A
{\textstyle A}
und
e
B
∈
A
′
{\textstyle e_{_{B}}\in A'}
das Einselement von
B
{\textstyle B}
ist.
A
{\textstyle A}
ist homöomorph zu
A
′
{\textstyle A'}
; d.h.
τ
{\textstyle \tau }
und
τ
−
1
:
A
′
⟶
A
{\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}
sind stetig.
Veranschaulichung der Einbettung in die Algebraerweiterung
Bearbeiten
Die Abbildung zeigt, wie die Algebra
A
{\displaystyle A}
in die Algebraerweiterung über
τ
:
A
⟶
A
′
⊂
B
{\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}
eingebettet wird.
Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung
Bearbeiten
Im allgemeinen identifiziert man
A
{\textstyle A}
mit
A
′
{\textstyle A'}
und schreibt
A
⊂
B
{\textstyle A\subset B}
. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
mit Elementen
τ
(
x
)
=
x
+
I
∈
B
{\displaystyle \tau (x)=x+I\in B}
in einem Quotientenraum
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
identifiziert werden.
Sei
U
A
′
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}
eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von
B
{\textstyle B}
auf
A
′
{\textstyle A'}
und
U
A
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}
eine Nullumgebungsbasis von
A
{\textstyle A}
, dann kann man die Homöomorphie zwischen
A
{\textstyle A}
und
A
′
{\textstyle A'}
wie immer über die Topologie ausdrücken:
∀
V
∈
U
A
(
0
)
∃
U
∈
U
A
′
(
0
)
:
U
⊂
V
(
τ
(
U
)
⊂
V
)
∀
U
∈
U
A
′
(
0
)
∃
V
∈
U
A
(
0
)
:
V
⊂
U
(
τ
−
1
(
V
)
⊂
U
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}
Betrachtet man die Halbnormen
‖
⋅
‖
A
~
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}
und
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ):
∀
α
∈
A
∃
α
~
∈
A
~
,
C
1
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
α
≤
C
1
⋅
‖
τ
(
x
)
‖
α
~
bzw.
‖
⋅
‖
α
≤
C
1
⋅
‖
⋅
‖
α
~
∘
τ
∀
α
~
∈
A
∃
α
∈
A
,
C
2
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
τ
(
x
)
‖
α
~
≤
C
2
⋅
‖
x
‖
α
bzw.
‖
⋅
‖
α
~
∘
τ
≤
C
2
⋅
‖
⋅
‖
α
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \\\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }.\end{array}}}
Analogie zu Vorgehen bei der Charakterisierung P-regulärer Elemente
Bearbeiten
Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
und nutzen das Vorgehen bei der Charakterisierung
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
-Regularität für die
M
P
C
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}}
-Erweiterung von
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
. Für
p
=
1
{\displaystyle p=1}
erhalten wir damit auch die Charakterisierung der
M
L
C
{\displaystyle {\mathcal {MLC}}}
-Regularität.
Der Algebrahomomorphismus
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
bildet nun jedes Element
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
auf die Nebenklasse
x
+
I
∈
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle x+I\in B:=A[t]/I}
ab. Dabei seien
A
,
B
∈
M
P
C
e
k
(
K
)
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )}
kommutative unitale
M
P
C
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}}
-Algebren über dem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
.
Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra
Bearbeiten
Für das gegebene
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
in der kommutativen normierten topologische Algebren
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}
definiert man ein Polynom
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
mit
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
, wobei
e
A
{\displaystyle e_{A}}
das Einselement der Multiplikation in
A
{\displaystyle A}
ist. Als Ideal definiert man
I
:=
o
⋅
A
[
t
]
¯
{\displaystyle I:={\overline {o\cdot A[t]}}}
als abgeschlossenes Hauptideal in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
. Als Untervektorraum
I
{\displaystyle I}
wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.
Die Topologie auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
wird über die folgende submultiplikative
p
{\displaystyle p}
-Halbnormen mit
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
erzeugt:
‖
|
p
|
‖
α
=
∑
k
=
0
∞
D
α
k
⋅
‖
p
k
‖
α
mit
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|p|\!\|_{\alpha }&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D_{\alpha }^{k}\cdot \|p_{k}\|_{\alpha }\,\,\,{\mbox{ mit}}\\\\p(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\end{array}}}
Betrachten Sie eine kommutative Algebra
A
∈
M
P
C
e
k
(
K
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )}
über dem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
.
Zeigen Sie, dass mit der Abbildung
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
und
τ
(
x
)
=
x
I
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x_{_{I}}=x+I}
eine Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
nach
B
{\displaystyle B}
definiert wurde!
Zeigen Sie, dass mit der Abbildung
τ
A
[
t
]
:
A
→
A
[
t
]
{\displaystyle \tau _{_{A[t]}}:A\to A[t]}
und
τ
A
[
t
]
(
x
)
=
p
x
{\displaystyle \tau _{_{A[t]}}(x)=p_{x}}
mit
p
x
(
t
)
:=
x
⋅
t
0
{\displaystyle p_{x}(t):=x\cdot t^{0}}
eine Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
nach
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
definiert wurde!
Begründen Sie, dass das algebraische Vorgehen zu für die Invertierbarkeit mit
e
B
:=
e
A
+
I
{\displaystyle e_{_{B}}:=e_{_{A}}+I}
als neutrales Element der Multiplikation in
B
{\displaystyle B}
sich nicht vom dem Vorgehen in bei der
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
-Regularität bzw.
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
-Regularität von kommuntativen Algebren unterscheidet.
Zeigen Sie, dass
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
und auch
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
Hausdorffräume sind!
Die Algebraerweiterung wird mit submultiplikative Quotientenhalbnorm mit
α
≤
β
{\displaystyle \alpha \leq \beta }
versehen, die wie folgt definiert ist:
‖
q
I
‖
β
:=
‖
q
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
β
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{\beta }:=\|q+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{\beta }}
Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.
Sei
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
beliebig gewählt, dann gilt mit der Norm
‖
⋅
‖
B
{\displaystyle \|\cdot \|_{B}}
auf dem Quotientenraum
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
die folgende Abschätzung
‖
τ
(
x
)
‖
β
=
‖
x
I
‖
β
=
‖
x
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
β
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
β
=
D
β
0
⋅
‖
x
‖
β
=
‖
x
‖
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{\beta }&=&\|x_{I}\|_{\beta }=\|x+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{\beta }=D_{\beta }^{0}\cdot \|x\|_{\beta }=\|x\|_{\beta }\end{array}}}
Damit ist
τ
{\displaystyle \tau }
stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Betrachten nun das Bild
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle \tau (A)\subset B}
von
τ
{\displaystyle \tau }
in
B
{\displaystyle B}
.
Sei nun
A
′
=
τ
(
A
)
=
{
x
I
:
x
I
=
x
+
I
=
τ
(
x
)
}
{\displaystyle A'=\tau (A)=\{x_{I}\,:\,x_{I}=x+I=\tau (x)\}}
gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
mit
r
=
o
⋅
q
∈
I
{\displaystyle r=o\cdot q\in I}
mit
o
(
t
)
=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t)=z\cdot t-e_{A}}
. Dabei gilt:
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
=
o
(
t
)
⋅
q
(
t
)
=
−
q
0
+
∑
k
=
1
∞
(
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
)
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}=o(t)\cdot q(t)\\&=&-q_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(z\cdot q_{k-1}-q_{k})\cdot t^{k}\end{array}}}
Bei der Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
β
≤
D
β
⋅
‖
z
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }}
kann man
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
so wählen, dass
β
≥
α
{\displaystyle \beta \geq \alpha }
gilt. Ist das nicht der Fall ersetzt man
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
durch eine andere multiplikative Halbnorm
‖
⋅
‖
γ
{\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}
mit:
‖
x
‖
γ
:=
max
{
‖
x
‖
α
,
‖
x
‖
β
}
{\displaystyle \|x\|_{\gamma }:=\max\{\|x\|_{\alpha },\|x\|_{\beta }\}}
und es gilt:
‖
x
‖
γ
≤
D
γ
⋅
‖
z
⋅
x
‖
γ
und
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
γ
.
{\displaystyle \|x\|_{\gamma }\leq D_{\gamma }\cdot \|z\cdot x\|_{\gamma }{\mbox{ und }}\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\gamma }.}
Mit diesem Vorgehen kann man u.a. unital positive Halbnormensysteme auf
A
{\displaystyle A}
generieren in den sowohl
‖
e
A
‖
γ
>
0
{\displaystyle \|e_{A}\|_{\gamma }>0}
und damit auch
‖
z
‖
γ
>
0
{\displaystyle \|z\|_{\gamma }>0}
erfüllt ist.
Man kann also mit dieser Halbnormabschätzung
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
Γ
(
α
)
:=
γ
∈
A
{\displaystyle \Gamma (\alpha ):=\gamma \in {\mathcal {A}}}
zuordnen, dass die folgende Bedingung erfüllt:
‖
x
‖
γ
≤
D
γ
⋅
‖
z
⋅
x
‖
γ
und
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
γ
.
{\displaystyle \|x\|_{\gamma }\leq D_{\gamma }\cdot \|z\cdot x\|_{\gamma }{\mbox{ und }}\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\gamma }.}
Damit definiert man einer Abbildung
Γ
:
A
→
A
{\displaystyle \Gamma :{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
eine Abbildung, die im Folgenden für die Definition eines submultiplikativen Halbnormensystems auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
verwendet wird mit
A
~
:=
Γ
(
A
)
:=
{
Γ
(
α
)
:
α
∈
A
}
{\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\Gamma ({\mathcal {A}}):=\{\Gamma (\alpha )\,\colon \,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}
.
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung
Bearbeiten
Unter Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
β
≤
D
β
⋅
‖
z
⋅
x
‖
β
{\displaystyle \|x\|_{\beta }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }}
erhält man mit
β
≥
α
{\displaystyle \beta \geq \alpha }
‖
|
x
+
r
|
‖
β
=
D
β
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
β
≥
D
β
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
⋅
(
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
β
−
‖
q
k
‖
β
)
≥
D
β
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
β
−
D
β
k
⋅
‖
q
k
‖
β
≥
‖
x
−
q
0
‖
β
+
∑
k
=
1
∞
D
β
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
β
−
D
β
k
⋅
‖
q
k
‖
β
≥
‖
x
−
q
0
‖
β
+
‖
q
0
‖
β
≥
‖
x
‖
β
≥
‖
x
‖
α
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }&=&D_{\beta }^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{\beta }\\\\&\geq &D_{\beta }^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{\beta }-\|q_{k}\|_{\beta }\right)\\\\&\geq &D_{\beta }^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{\beta }-D_{\beta }^{k}\cdot \|q_{k}\|_{\beta }\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{\beta }+\sum _{k=1}^{\infty }D_{\beta }^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{\beta }-D_{\beta }^{k}\cdot \|q_{k}\|_{\beta }\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{\beta }+\|q_{0}\|_{\beta }\geq \|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }\end{array}}}
Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme
D
β
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
β
−
D
β
k
⋅
‖
q
k
‖
β
{\displaystyle D_{\beta }^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{\beta }-D_{\beta }^{k}\cdot \|q_{k}\|_{\beta }}
eine Telekopsumme .
Durch Infimumbildung über alle Polynome
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
.
‖
x
+
I
‖
β
=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
β
≥
‖
x
‖
α
=
‖
τ
−
1
(
x
+
I
)
‖
α
{\displaystyle \|x+I\|_{\beta }=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }=\|\tau ^{-1}(x+I)\|_{\alpha }}
Für die Stetigkeit der Abbildung
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
gibt es für alle
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
β
∈
A
~
⊆
A
{\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}\subseteq {\mathcal {A}}}
und setzt das Nullpolynom
0
A
[
t
]
∈
I
{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
ein:
‖
x
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
β
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
β
=
D
β
0
⋅
‖
x
‖
β
≥
‖
x
‖
α
{\displaystyle \|x+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{\beta }\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{\beta }=D_{\beta }^{0}\cdot \|x\|_{\beta }\geq \|x\|_{\alpha }}
Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von
A
{\displaystyle A}
in
A
′
⊂
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}
eine Hömöomorphismus mit
τ
−
1
(
x
+
I
)
=
x
{\displaystyle \tau ^{-1}(x+I)=x}
bzw.
τ
(
x
)
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x+I}
.
Betrachtet man die submultiplikativen Halbnormen
‖
⋅
‖
A
~
(
τ
)
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{(\tau )}}
und
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}
auf
A
{\displaystyle A}
für Nullumgebungen, so kann man nun die Konstanten analog zum Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen wie folgt mit
A
~
:=
Γ
(
A
)
{\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\Gamma ({\mathcal {A}})}
angeben:
∀
α
∈
A
∃
β
∈
A
~
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
α
≤
‖
τ
(
x
)
‖
β
=
‖
x
‖
β
(
τ
)
mit
β
:=
Γ
(
α
)
∀
β
∈
A
~
∃
α
∈
A
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
β
(
τ
)
≤
‖
x
‖
β
mit
α
:=
β
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|\tau (x)\right\|_{\beta }=\left\|x\right\|_{\beta }^{(\tau )}{\mbox{ mit }}\beta :=\Gamma (\alpha )\\\forall _{\beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\beta }^{(\tau )}\leq \left\|x\right\|_{\beta }{\mbox{ mit }}\alpha :=\beta \\\end{array}}}
Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von Gaugefunktionalsystemen
Bearbeiten
In den obigen beiden Abschätzungen wird die Stetigkeit von lineare Abbildung bzw. von Algebrahomomorphismen verwendet, um die Stetigkeit von
τ
{\displaystyle \tau }
und
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
über Gaugefunktionale auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Gaugefunktionalsysteme
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
auf
A
{\displaystyle A}
und
‖
|
⋅
|
‖
A
~
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}
auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
und definieren eine weiteres Halbnormensystem
‖
|
⋅
|
‖
A
~
(
τ
3
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{(\tau _{3})}}
auf
A
{\displaystyle A}
mit
‖
|
⋅
|
‖
α
~
(
τ
3
)
:=
‖
|
⋅
|
‖
α
~
∘
τ
3
bzw.
‖
|
x
|
‖
α
~
(
τ
3
)
:=
‖
|
τ
3
(
x
)
|
‖
α
~
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\alpha }}^{(\tau _{3})}:=\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau _{3}{\mbox{ bzw. }}\|\!|x|\!\|_{\widetilde {\alpha }}^{(\tau _{3})}:=\|\!|\tau _{3}(x)|\!\|_{\widetilde {\alpha }}}
Dabei wird
τ
3
(
x
)
=
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle \tau _{3}(x)=p\in A[t]}
mit
p
(
t
)
=
x
⋅
t
0
{\displaystyle p(t)=x\cdot t^{0}}
.
Zeigen Sie, dass Gaugefunktionalsysteme
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
und
‖
|
⋅
|
‖
A
~
(
τ
3
)
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{(\tau _{3})}}
auf
A
{\displaystyle A}
äquivalente Halbnormensysteme sind (siehe Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme) ).
Wir betrachten nun zu einer gegebenen (multiplikativ pseudokonvexen )
M
P
C
{\displaystyle {\mathcal {MPC}}}
-Algebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
B
(
K
)
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}
die Menge der Polynome mit Koeffizienten in
A
{\displaystyle A}
.
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \{0,1,...,n\}}
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
N
o
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \mathbb {N} _{o}}
Auch bei den unächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
notieren und mit
p
n
≠
0
A
{\displaystyle p_{n}\not =0_{A}}
würde
n
{\displaystyle n}
den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.
Daher werden wie bei der P-Regularität die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle c_{oo}(A)}
definiert, die ab einer Indexschranke
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
nur noch aus dem Nullvektor
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
in
A
{\displaystyle A}
besteht.
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Die
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
wird nun mit einer Folge
(
D
β
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (D_{\beta }^{k})_{k\in \mathbb {N} }}
bzgl. einer positiven Konstanten in
D
β
∈
R
+
{\displaystyle D_{\beta }\in \mathbb {R} ^{+}}
und einer submultiplikativen Halbnorm
‖
⋅
‖
β
{\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}
topologisiert.
‖
|
p
|
‖
β
:=
∑
k
=
0
∞
D
β
k
⋅
‖
p
k
‖
β
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle \|\!|p|\!\|_{\beta }:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }D_{\beta }^{k}\cdot \|p_{k}\|_{\beta }{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Betrachtet man zwei Polynome
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
in dem normierten Raum
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
.
p
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
und
q
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
q
k
⋅
t
k
{\displaystyle p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}}
Dann liefert die Definition über
D
β
>
0
{\displaystyle D_{\beta }>0}
die folgende Halbnorm für das Produkt
p
⋅
q
{\displaystyle p\cdot q}
:
‖
|
p
⋅
q
|
‖
β
=
∑
n
=
0
∞
D
β
n
⋅
‖
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
q
n
−
k
‖
β
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{\beta }=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{\beta }^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{\beta }}
Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung
‖
|
⋅
|
‖
D
:→
R
+
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}:\to \mathbb {R} ^{+}}
eine Norm ist und für alle
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
gilt
‖
|
p
⋅
q
|
‖
β
≤
‖
|
p
|
‖
β
⋅
‖
|
q
|
‖
β
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{\beta }\leq \|\!|p|\!\|_{\beta }\cdot \|\!|q|\!\|_{\beta }}
Begründen Sie ferner, dass die Multiplikation auf
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
A
~
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
stetig ist, wobei man mit der Abbildung
Γ
:
A
→
A
{\displaystyle \Gamma :{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}
jedem
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
ein
Γ
(
α
)
=
β
∈
A
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=\beta \in {\mathcal {A}}}
zuordnet, mit
A
~
:=
{
β
∈
A
:
∃
α
∈
A
:
β
=
Γ
(
α
)
}
{\displaystyle {\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\beta \in {\mathcal {A}}\,\colon \,\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\,\,\beta =\Gamma (\alpha )\}}
und die Bedingung erfüllt ist, dass:
‖
x
‖
α
≤
‖
x
‖
β
,
‖
x
‖
α
≤
D
β
⋅
‖
z
⋅
x
‖
β
und
β
=
Γ
(
α
)
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta },\,\,\,\|x\|_{\alpha }\leq D_{\beta }\cdot \|z\cdot x\|_{\beta }\,\,{\mbox{ und }}\,\,\beta =\Gamma (\alpha )}
Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:
‖
q
I
‖
β
:=
‖
q
+
I
‖
β
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
β
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{\beta }:=\|q+I\|_{\beta }:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{\beta }}
Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.
Zeigen Sie, dass die Polynomalgebra
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
A
~
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
und
(
B
,
‖
⋅
‖
A
~
)
{\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
Hausdorffräume sind!
↑ 1,0 1,1 Zelazko Wieslaw, On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 (1971), S. 181-190