Wenn wir die
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
(
A
,
T
A
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}
(
B
,
T
B
)
{\displaystyle (B,{\mathcal {T}}_{B})}
(
A
,
T
A
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
(
A
,
T
A
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}
(
B
,
T
B
)
{\displaystyle (B,{\mathcal {T}}_{B})}
(
B
0
,
T
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},{\mathcal {T}}_{B_{0}})}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
(
B
0
,
T
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},{\mathcal {T}}_{B_{0}})}
vollständig , vervollständigt man ggf. die Algebraerweiterung
B
0
{\displaystyle B_{0}}
B
{\displaystyle B}
z
∈
B
0
⊆
B
{\displaystyle z\in B_{0}\subseteq B}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
B
0
{\displaystyle B_{0}}
b
{\displaystyle b}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
B
⊇
B
0
{\displaystyle B\supseteq B_{0}}
Zunächst einmal betrachtet man normierte Algebraerweiterungen
(
B
0
,
‖
⋅
‖
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},\|\cdot \|_{B_{0}})}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}
b
=
z
−
1
∈
B
0
{\displaystyle b=z^{-1}\in B_{0}}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
z
−
1
∈
B
0
{\displaystyle z^{-1}\in B_{0}}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
vervollständigt man
(
B
0
,
‖
⋅
‖
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},\|\cdot \|_{B_{0}})}
(
B
,
‖
⋅
‖
B
)
{\displaystyle (B,\|\cdot \|_{B})}
b
=
z
−
1
∈
B
0
⊆
B
{\displaystyle b=z^{-1}\in B_{0}\subseteq B}
Vollständigkeit )
Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung
Bearbeiten
In dem folgenden Folien wird Verwendung der Vollständigkeit in der Funktionalanalysis in Bezug zur Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule kurz behandelt.
Jede irrationale Zahl
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
1
,
4142
…
=
2
=
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle 1,4142\ldots ={\sqrt {2}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}}
mit
a
1
=
1
,
a
2
=
14
10
,
a
3
=
141
100
,
a
4
=
1414
1000
,
a
4
=
14142
10000
,
…
{\displaystyle a_{1}=1,\,a_{2}={\frac {14}{10}},\,a_{3}={\frac {141}{100}},\,a_{4}={\frac {1414}{1000}},\,a_{4}={\frac {14142}{10000}},\ldots }
In den rationalen Zahlen ist der Betrag
|
⋅
|
Q
{\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {Q} }}
(
Q
,
|
⋅
|
Q
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,|\cdot |_{\mathbb {Q} })}
K
:=
Q
{\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {Q} }
d
(
x
,
y
)
:=
|
x
−
y
|
Q
{\displaystyle d(x,y):=|x-y|_{\mathbb {Q} }}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Wenn
b
=
z
−
1
=
1
5
{\displaystyle b=z^{-1}={\frac {1}{5}}}
5
{\displaystyle 5}
B
0
:=
Q
{\displaystyle B_{0}:=\mathbb {Q} }
Algebraerweiterung von
(
R
,
|
⋅
|
R
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |_{\mathbb {R} })}
|
⋅
|
R
{\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }}
B
=
R
⊃
Q
=
B
0
{\displaystyle \mathbb {B} =\mathbb {R} \supset \mathbb {Q} =B_{0}}
Veranschaulichung - Algebraisomorphismus
Bearbeiten
Im allgemeinen identifiziert man
A
{\textstyle A}
A
′
{\textstyle A'}
A
⊂
B
{\textstyle A\subset B}
Sei
U
A
′
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}
B
{\textstyle B}
A
′
{\textstyle A'}
U
A
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}
A
{\textstyle A}
A
{\textstyle A}
A
′
{\textstyle A'}
∀
V
∈
U
A
(
0
)
∃
U
∈
U
A
′
(
0
)
:
U
⊂
V
(
τ
(
U
)
⊂
V
)
∀
U
∈
U
A
′
(
0
)
∃
V
∈
U
A
(
0
)
:
V
⊂
U
(
τ
−
1
(
V
)
⊂
U
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}
Betrachtet man die Normen
‖
⋅
‖
A
′
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{A'}}
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{A}}
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ):
∃
C
1
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
A
≤
C
1
⋅
‖
τ
(
x
)
‖
A
′
bzw.
‖
⋅
‖
A
≤
C
1
⋅
‖
⋅
‖
A
′
∘
τ
∃
C
2
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
τ
(
x
)
‖
A
′
≤
C
2
⋅
‖
x
‖
A
bzw.
‖
⋅
‖
A
′
∘
τ
≤
C
2
⋅
‖
⋅
‖
A
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\exists _{\displaystyle C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{A'}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \\\exists _{\displaystyle C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{A'}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{A}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A}.\end{array}}}
Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:
(KA1) man konstruiert zunächst eine Algebrahomomorphismus
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
(KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist
K
e
r
n
(
τ
)
=
{
0
A
}
{\displaystyle Kern(\tau )=\{0_{A}\}}
(KA3) man definiert mit
A
′
:=
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle A':=\tau (A)\subset B}
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Wir betrachten nun zu einer gegeben Banachalgebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
B
(
K
)
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{A}\right)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \{0,1,...,n\}}
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
N
o
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \mathbb {N} _{o}}
Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung , in der ein
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
Algebra der Polynome
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung
B
{\displaystyle B}
Polynomalgebra konstruiert wird.
Zunächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
p
n
≠
0
A
{\displaystyle p_{n}\not =0_{A}}
n
{\displaystyle n}
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.
Daher werden die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle c_{oo}(A)}
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Für die Normdefinition von Polynomen
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
(
C
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
‖
|
p
|
‖
:=
∑
k
=
0
∞
C
k
⋅
‖
p
k
‖
A
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle \|\!|p|\!\|:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Bearbeiten
Für eine gegebene feste positive Konstante
D
>
0
{\displaystyle D>0}
C
k
:=
D
k
{\displaystyle C_{k}:=D^{k}}
(
D
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (D^{k})_{k\in \mathbb {N} }}
‖
|
p
|
‖
D
:=
∑
k
=
0
∞
D
k
⋅
‖
p
k
‖
A
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle \|\!|p|\!\|_{D}\displaystyle :=\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Betrachtet man zwei Polynome
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
p
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
und
q
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
q
k
⋅
t
k
{\displaystyle p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}}
Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt
p
⋅
q
{\displaystyle p\cdot q}
‖
|
p
⋅
q
|
‖
D
=
∑
n
=
0
∞
D
n
⋅
‖
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
q
n
−
k
‖
A
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{D}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{A}}
Beweisen Sie , dass die folgende Abbildung
‖
|
⋅
|
‖
D
:→
R
+
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}:\to \mathbb {R} ^{+}}
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
‖
|
p
⋅
q
|
‖
D
≤
‖
|
p
|
‖
D
⋅
‖
|
q
|
‖
D
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{D}\leq \|\!|p|\!\|_{D}\cdot \|\!|q|\!\|_{D}}
D.h., dass die Multiplikation auf
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
D
∈
R
+
{\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{+}}
D
n
{\displaystyle D^{n}}
Wenn
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
topologischer Nullteiler ist und man
D
>
0
{\displaystyle D>0}
D
{\displaystyle D}
Polynomalgebra und erzeugt bzgl. des Polynoms
p
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle p(t):=z\cdot t-e_{A}}
I
⊂
A
[
t
]
{\displaystyle I\subset A[t]}
Algebraerweiterung erfolgt über den Quotientenraum
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
I
{\displaystyle I}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
In der Algebra
A
{\displaystyle A}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
topologischer Nullteiler , dann gibt es ein
D
>
0
{\displaystyle D>0}
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
z
⋅
x
‖
A
∧
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
x
⋅
z
‖
A
{\displaystyle \forall _{x\in A}:\,\,\|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}\,\,\wedge \,\,\|x\|_{A}\leq D\cdot \|x\cdot z\|_{A}}
Ohne Einschränkung sei
D
≥
1
{\displaystyle D\geq 1}
D
<
1
{\displaystyle D<1}
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
A
≤
‖
z
⋅
x
‖
A
∧
‖
x
‖
A
≤
‖
x
⋅
z
‖
A
{\displaystyle \forall _{x\in A}:\,\,\|x\|_{A}\leq \|z\cdot x\|_{A}\,\,\wedge \,\,\|x\|_{A}\leq \|x\cdot z\|_{A}}
und man kann
D
=
1
{\displaystyle D=1}
Für dieses
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
e
A
{\displaystyle e_{A}}
A
{\displaystyle A}
Man definiert nun ein zweiseitiges Hauptideal in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
I
z
:=
E
(
p
)
=
{
q
(
1
)
+
⋯
+
q
(
n
)
∣
n
∈
N
und
q
(
k
)
∈
A
[
t
]
⋅
o
⋅
A
[
t
]
}
.
{\displaystyle I_{z}:={\mathfrak {E}}(p)=\{q^{(1)}+\dotsb +q^{(n)}\mid n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}q^{(k)}\in A[t]\cdot o\cdot A[t]\}.}
Das gesuchte Ideal
I
:=
I
z
¯
⊂
A
[
t
]
{\displaystyle I:={\overline {I_{z}}}\subset A[t]}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
‖
|
⋅
|
‖
D
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
In einer kommutativen Algebra
A
{\displaystyle A}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
r
∈
I
z
:=
E
(
o
)
=
o
⋅
A
[
t
]
{\displaystyle r\in I_{z}:={\mathfrak {E}}(o)=o\cdot A[t]}
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
mit
r
∈
p
⋅
A
[
t
]
∃
q
∈
A
[
t
]
:
r
0
=
−
q
0
∧
(
∀
k
>
0
:
r
k
=
z
⋅
q
k
−
1
+
q
k
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}\\&{\mbox{mit}}&r\in p\cdot A[t]\\\exists _{q\in A[t]}:\,\,\,r_{0}=-q_{0}&\wedge &\left(\forall _{k>0}:r_{k}=z\cdot q_{k-1}+q_{k}\right)\end{array}}}
Sei nun die Algebra
A
{\displaystyle A}
I
z
:=
E
(
p
)
{\displaystyle I_{z}:={\mathfrak {E}}(p)}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
r
∈
I
z
:=
E
(
o
)
{\displaystyle r\in I_{z}:={\mathfrak {E}}(o)}
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
mit
q
(
1
)
,
q
(
2
)
∈
A
[
t
]
:
r
=
q
(
1
)
⋅
p
⋅
q
(
2
)
und
q
(
i
)
=
∑
k
=
0
∞
q
k
(
i
)
⋅
t
k
,
i
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}\\&{\mbox{mit}}&q^{(1)},q^{(2)}\in A[t]:r=q^{(1)}\cdot p\cdot q^{(2)}{\mbox{ und }}\\q^{(i)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}^{(i)}\cdot t^{k},\,\,\,\,\,\,i\in \{1,2\}\\\end{array}}}
Der Algebrahomomorphismus
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
x
+
I
∈
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle x+I\in B:=A[t]/I}
Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra
Bearbeiten
Für das gegebene
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
e
A
{\displaystyle e_{A}}
A
{\displaystyle A}
Ideal definiert man
I
:=
o
⋅
A
[
t
]
¯
{\displaystyle I:={\overline {o\cdot A[t]}}}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
I
{\displaystyle I}
Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.
Betrachten Sie eine kommutative Algebra
A
∈
B
e
k
(
K
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {B}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
Zeigen Sie, dass mit der Abbildung
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
τ
(
x
)
=
x
I
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x_{_{I}}=x+I}
Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Zeigen Sie, dass
e
B
:=
e
A
+
I
{\displaystyle e_{_{B}}:=e_{_{A}}+I}
neutrale Element der Multiplikation in
B
{\displaystyle B}
Zeigen Sie, dass
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
B
{\displaystyle B}
b
I
=
b
+
I
{\displaystyle b_{_{I}}=b+I}
b
(
t
)
:=
e
A
⋅
t
{\displaystyle b(t):=e_{A}\cdot t}
z
I
⋅
b
I
=
b
I
⋅
z
I
=
e
B
{\displaystyle z_{_{I}}\cdot b_{_{I}}=b_{_{I}}\cdot z_{_{I}}=e_{_{B}}}
Hinweis: Zeigen Sie, dass
0
B
:=
0
A
+
I
=
z
I
⋅
b
I
−
e
B
{\displaystyle 0_{_{B}}:=0_{_{A}}+I=z_{_{I}}\cdot b_{_{I}}-e_{_{B}}}
I
{\displaystyle I}
Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:
‖
q
I
‖
B
:=
‖
q
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
D
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{B}:=\|q+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{D}}
Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.
Sei
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
‖
⋅
‖
B
{\displaystyle \|\cdot \|_{B}}
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
‖
τ
(
x
)
‖
B
=
‖
x
I
‖
B
=
‖
x
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
D
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
D
=
D
0
⋅
‖
x
‖
A
=
‖
x
‖
A
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{B}&=&\|x_{I}\|_{B}=\|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}\end{array}}}
Damit ist
τ
{\displaystyle \tau }
Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Betrachten nun das Bild
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle \tau (A)\subset B}
τ
{\displaystyle \tau }
B
{\displaystyle B}
A
′
=
τ
(
A
)
=
{
x
I
:
x
I
=
x
+
I
=
τ
(
x
)
}
{\displaystyle A'=\tau (A)=\{x_{I}\,:\,x_{I}=x+I=\tau (x)\}}
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
r
=
o
⋅
q
∈
I
{\displaystyle r=o\cdot q\in I}
o
(
t
)
=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t)=z\cdot t-e_{A}}
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
=
o
(
t
)
⋅
q
(
t
)
=
−
q
0
+
∑
k
=
1
∞
(
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
)
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}=o(t)\cdot q(t)\\&=&-q_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(z\cdot q_{k-1}-q_{k})\cdot t^{k}\end{array}}}
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung
Bearbeiten
Unter Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
z
⋅
x
‖
A
{\displaystyle \|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}}
‖
|
x
+
r
|
‖
D
=
D
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
A
≥
D
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
⋅
(
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
A
−
‖
q
k
‖
A
)
≥
D
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
A
−
D
k
⋅
‖
q
k
‖
A
≥
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
A
−
D
k
⋅
‖
q
k
‖
≥
‖
x
−
q
0
‖
A
+
‖
q
0
‖
A
≥
‖
x
‖
A
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x+r|\!\|_{D}&=&D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{A}\\\\&\geq &D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k}\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{A}-\|q_{k}\|_{A}\right)\\\\&\geq &D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{A}-D^{k}\cdot \|q_{k}\|_{A}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{A}-D^{k}\cdot \|q_{k}\|\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{A}+\|q_{0}\|_{A}\geq \|x\|_{A}\end{array}}}
Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme
D
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
−
D
k
⋅
‖
q
k
‖
{\displaystyle D^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|-D^{k}\cdot \|q_{k}\|}
eine Telekopsumme .
Durch Infimumbildung über alle Polynome
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
‖
x
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
D
≥
‖
x
‖
A
{\displaystyle \|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\geq \|x\|_{A}}
Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
0
A
[
t
]
∈
I
{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
‖
x
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
D
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
D
=
D
0
⋅
‖
x
‖
A
=
‖
x
‖
A
{\displaystyle \|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}}
Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von
A
{\displaystyle A}
A
′
⊂
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}
‖
x
+
I
‖
B
=
‖
x
‖
A
{\displaystyle \|x+I\|_{B}=\|x\|_{A}}
Zunächst einmal vervollständigt man die Polynomalgebra
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
(
A
[
t
]
¯
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle ({\overline {A[t]}},\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
A
[
t
]
¯
{\displaystyle {\overline {A[t]}}}
‖
|
⋅
|
‖
D
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}}
A
[
t
]
¯
:=
{
p
∈
A
∞
[
t
]
:
‖
|
p
|
‖
D
:=
∑
k
=
0
∞
D
k
⋅
‖
p
k
‖
A
<
∞
}
{\displaystyle {\overline {A[t]}}:=\left\{p\in A^{\infty }[t]\,:\,\|\!|p|\!\|_{D}:=\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}<\infty \right\}}
Sei
(
p
(
m
)
)
m
∈
N
∈
A
[
t
]
N
{\displaystyle (p^{(m)})_{m\in \mathbb {N} }\in A[t]^{\mathbb {N} }}
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
p
(
m
)
(
t
)
:=
∑
k
:=
0
∞
p
k
(
m
)
⋅
t
k
mit
(
p
k
(
m
)
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle p^{(m)}(t):=\sum _{k:=0}^{\infty }p_{k}^{(m)}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}\left(p_{k}^{(m)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
und der Cauchy-Folgen-Eigenschaft
∀
ε
>
0
∃
N
ε
∈
N
∀
m
,
n
≥
N
ε
:
‖
|
p
(
m
)
−
p
(
n
)
|
‖
D
<
ε
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\quad \exists _{N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\quad \forall _{m,n\geq N_{\varepsilon }}\,\colon \,\quad \|\!|p^{(m)}-p^{(n)}|\!\|_{D}<\varepsilon }
Wenn ein
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
B
0
{\displaystyle B_{0}}
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
B
0
⊆
B
:=
B
0
¯
{\displaystyle B_{0}\subseteq B:={\overline {B_{0}}}}
↑ Arens R. (1958), Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, S. 536-548
![{\displaystyle A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13daf73f25e64310e7e5d67c5aa8dd4f97cb884f)
![{\displaystyle p,q\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1a2e0a3e71f7b320f81e4090bb53df3fd3ce9d)
![{\displaystyle p\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c749fafdbe6240e74f3f5a2a0b3ad5d59f2ab895)
![{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bac2275e900239334953d4c6b7e4f9f5491c6cd)
![{\displaystyle I\subset A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4bcd671571f36ac461713cd6b1e233de9faf55)
![{\displaystyle B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc806fa49af6a80a0b8ba7a4eb54a8d503dd8ab)
![{\displaystyle o\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084c9c353b0712820bde88d340156c6b728117d2)
![{\displaystyle I_{z}:={\mathfrak {E}}(p)=\{q^{(1)}+\dotsb +q^{(n)}\mid n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}q^{(k)}\in A[t]\cdot o\cdot A[t]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd362a382c364b05b96e6856420bcdf28e67d932)
![{\displaystyle I:={\overline {I_{z}}}\subset A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccae7cb8fcbb036ae7ca735fd3135b9f0eeae2ed)
![{\displaystyle r\in I_{z}:={\mathfrak {E}}(o)=o\cdot A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da2a070b38d24575ac3642b8d7373d77af5ac9d)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}\\&{\mbox{mit}}&r\in p\cdot A[t]\\\exists _{q\in A[t]}:\,\,\,r_{0}=-q_{0}&\wedge &\left(\forall _{k>0}:r_{k}=z\cdot q_{k-1}+q_{k}\right)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cddaa62b5c5e8e0a84137705facae37dce34b38)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}\\&{\mbox{mit}}&q^{(1)},q^{(2)}\in A[t]:r=q^{(1)}\cdot p\cdot q^{(2)}{\mbox{ und }}\\q^{(i)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}^{(i)}\cdot t^{k},\,\,\,\,\,\,i\in \{1,2\}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2056810c8cb04ca6888e9ca001a4f54d3eedd1)
![{\displaystyle x+I\in B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed41466c30f79c712ed7afbc89f46eeac9089174)
![{\displaystyle I:={\overline {o\cdot A[t]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afa070b6145582f7c06f69b2e0616e42b8945d6)
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{B}&=&\|x_{I}\|_{B}=\|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23b148343c629818849d1d6f34e5c52503fd29a)
![{\displaystyle q\in A[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d24715a3c26d1fa7abd1b832d7df621423b120)
![{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd47917438e866da00ed13565bd6b943ed260bf)
![{\displaystyle \|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fba21371a4ddca5e6ab6f68df7c2295afd230e)
![{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fb696240153ac092adf7e0bc8cebe25afcbd44)
![{\displaystyle ({\overline {A[t]}},\|\!|\cdot |\!\|_{D})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3737ed9177438ebb15f9228ab4e10e81ec3b64d)
![{\displaystyle {\overline {A[t]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a0e6de45ae9d5651c8de4255941f36e0827d8c)
![{\displaystyle {\overline {A[t]}}:=\left\{p\in A^{\infty }[t]\,:\,\|\!|p|\!\|_{D}:=\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20598381ee4e52838d00001811d93d153f84429)
![{\displaystyle (p^{(m)})_{m\in \mathbb {N} }\in A[t]^{\mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e203a840b709d1391122293483846552cdef610f)
