Wenn wir die
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
-Regularität eines Elementes
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
für eine topologische Algebra
(
A
,
T
A
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}
sprechen, suchen wir nach einer Algebraerweiterungen
(
B
,
T
B
)
{\displaystyle (B,{\mathcal {T}}_{B})}
von
(
A
,
T
A
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}
in der
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
invertierbar ist und sowohl
(
A
,
T
A
)
{\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}
als auch
(
B
,
T
B
)
{\displaystyle (B,{\mathcal {T}}_{B})}
Banachalgebren sind. Dabei reicht es zu zeigen, dass eine normierte Algebraerweiterung
(
B
0
,
T
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},{\mathcal {T}}_{B_{0}})}
existiert, in der
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
invertierbar ist. Ist
(
B
0
,
T
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},{\mathcal {T}}_{B_{0}})}
dann nicht vollständig , vervollständigt man ggf. die Algebraerweiterung
B
0
{\displaystyle B_{0}}
dann zu
B
{\displaystyle B}
mit
z
∈
B
0
⊆
B
{\displaystyle z\in B_{0}\subseteq B}
. Wenn
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
in
B
0
{\displaystyle B_{0}}
ein inverses Element
b
{\displaystyle b}
besitzt, besitzt
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
auch in der Vervollständigung
B
⊇
B
0
{\displaystyle B\supseteq B_{0}}
ein inverses Element.
Zunächst einmal betrachtet man normierte Algebraerweiterungen
(
B
0
,
‖
⋅
‖
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},\|\cdot \|_{B_{0}})}
von
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}
, in denen man ein inverses Element
b
=
z
−
1
∈
B
0
{\displaystyle b=z^{-1}\in B_{0}}
zu der gegebenen
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
enthält. Wenn man in der normierten Algebraerweiterung ein inverses Element
z
−
1
∈
B
0
{\displaystyle z^{-1}\in B_{0}}
zu
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
gefundet hat, vervollständigt man
(
B
0
,
‖
⋅
‖
B
0
)
{\displaystyle (B_{0},\|\cdot \|_{B_{0}})}
zu einer Banachalgebra
(
B
,
‖
⋅
‖
B
)
{\displaystyle (B,\|\cdot \|_{B})}
mit
b
=
z
−
1
∈
B
0
⊆
B
{\displaystyle b=z^{-1}\in B_{0}\subseteq B}
(siehe Vollständigkeit )
Algebraerweiterung - Zahlbereichserweiterung
Bearbeiten
In dem folgenden Folien wird Verwendung der Vollständigkeit in der Funktionalanalysis in Bezug zur Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule kurz behandelt.
Cauchyfolgen in der Sekundarstufe
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Jede irrationale Zahl
x
∈
R
∖
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
kann man Cauchy-Folge in
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
darstellen.
1
,
4142
…
=
2
=
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle 1,4142\ldots ={\sqrt {2}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}}
mit
a
1
=
1
,
a
2
=
14
10
,
a
3
=
141
100
,
a
4
=
1414
1000
,
a
4
=
14142
10000
,
…
{\displaystyle a_{1}=1,\,a_{2}={\frac {14}{10}},\,a_{3}={\frac {141}{100}},\,a_{4}={\frac {1414}{1000}},\,a_{4}={\frac {14142}{10000}},\ldots }
.
Rationale Zahlen und Normen
Bearbeiten
In den rationalen Zahlen ist der Betrag
|
⋅
|
Q
{\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {Q} }}
die Norm, die den Raum
(
Q
,
|
⋅
|
Q
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,|\cdot |_{\mathbb {Q} })}
aus funktionalanalytischer Sicht zu einer eindimensionalen topologischen Algebra über dem Körper
K
:=
Q
{\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {Q} }
macht. Mit
d
(
x
,
y
)
:=
|
x
−
y
|
Q
{\displaystyle d(x,y):=|x-y|_{\mathbb {Q} }}
kann man
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
auch als einen metrischen Raum auffassen und diese Algebra über Äquivalenzklassenbildung von Cauchy-Folgen zu den reellen Zahlen
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
vervollständigen.
Inverse in Vervollständigungen
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Wenn
b
=
z
−
1
=
1
5
{\displaystyle b=z^{-1}={\frac {1}{5}}}
das inverse Element zu
5
{\displaystyle 5}
in
B
0
:=
Q
{\displaystyle B_{0}:=\mathbb {Q} }
ist, bleibt es das inverse Element in der Algebraerweiterung von
(
R
,
|
⋅
|
R
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |_{\mathbb {R} })}
, wobei
|
⋅
|
R
{\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }}
der Betragsfunktion in den reellen Zahlen
B
=
R
⊃
Q
=
B
0
{\displaystyle \mathbb {B} =\mathbb {R} \supset \mathbb {Q} =B_{0}}
ist.
Veranschaulichung - Algebraisomorphismus
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Im allgemeinen identifiziert man
A
{\textstyle A}
mit
A
′
{\textstyle A'}
und schreibt
A
⊂
B
{\textstyle A\subset B}
.
Sei
U
A
′
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}
eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von
B
{\textstyle B}
auf
A
′
{\textstyle A'}
und
U
A
(
0
)
{\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}
eine Nullumgebungsbasis von
A
{\textstyle A}
, dann kann man die Homöomorphie zwischen
A
{\textstyle A}
und
A
′
{\textstyle A'}
wie immer über die Topologie ausdrückeen:
∀
V
∈
U
A
(
0
)
∃
U
∈
U
A
′
(
0
)
:
U
⊂
V
(
τ
(
U
)
⊂
V
)
∀
U
∈
U
A
′
(
0
)
∃
V
∈
U
A
(
0
)
:
V
⊂
U
(
τ
−
1
(
V
)
⊂
U
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}
Betrachtet man die Normen
‖
⋅
‖
A
′
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{A'}}
und
‖
⋅
‖
A
{\textstyle \left\|\cdot \right\|_{A}}
für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ):
∃
C
1
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
A
≤
C
1
⋅
‖
τ
(
x
)
‖
A
′
bzw.
‖
⋅
‖
A
≤
C
1
⋅
‖
⋅
‖
A
′
∘
τ
∃
C
2
>
0
∀
x
∈
A
:
‖
τ
(
x
)
‖
A
′
≤
C
2
⋅
‖
x
‖
A
bzw.
‖
⋅
‖
A
′
∘
τ
≤
C
2
⋅
‖
⋅
‖
A
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\exists _{\displaystyle C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{A'}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A}\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \\\exists _{\displaystyle C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{A'}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{A}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{A'}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{A}.\end{array}}}
Konstruktion Algebraisomorphismus
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Für die Konstruktion des Algebraisomorphismus geht man wie folgt vor:
(KA1) man konstruiert zunächst eine Algebrahomomorphismus
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
und zeigt, dass dieser stetig ist.
(KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist
K
e
r
n
(
τ
)
=
{
0
A
}
{\displaystyle Kern(\tau )=\{0_{A}\}}
(KA3) man definiert mit
A
′
:=
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle A':=\tau (A)\subset B}
, die Umkehrabbildung
τ
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}
und zeigt, dass
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Normierte Polynomalgebra
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Wir betrachten nun zu einer gegeben Banachalgebra
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
B
(
K
)
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{A}\right)\in {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}
die Menge der Polynome mit Koeffizienten in
A
{\displaystyle A}
.
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \{0,1,...,n\}}
und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra
A
{\displaystyle A}
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
p
k
∈
A
für
k
∈
N
o
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}p_{k}\in A{\mbox{ für }}k\in \mathbb {N} _{o}}
Bemerkung: Polynomalgebren
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Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung , in der ein
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung
B
{\displaystyle B}
über die Polynomalgebra konstruiert wird.
Zunächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
notieren und mit
p
n
≠
0
A
{\displaystyle p_{n}\not =0_{A}}
würde
n
{\displaystyle n}
den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.
Schreibweise für die Polynomalgebra
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Daher werden die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle c_{oo}(A)}
definiert, die ab einer Indexschranke
n
∈
N
o
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{o}}
nur noch aus dem Nullvektor
0
A
{\displaystyle 0_{A}}
in
A
{\displaystyle A}
besteht.
p
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Topologisierung der Polynomalgebra
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Für die Normdefinition von Polynomen
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
wird nun eine Folge
(
C
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}
von positiven Konstanten in
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
verwendet um
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
zu topologisieren.
‖
|
p
|
‖
:=
∑
k
=
0
∞
C
k
⋅
‖
p
k
‖
A
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle \|\!|p|\!\|:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }C_{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Definition der Koeffizientenfolge für die Norm
Bearbeiten
Für eine gegebene feste positive Konstante
D
>
0
{\displaystyle D>0}
setzt man
C
k
:=
D
k
{\displaystyle C_{k}:=D^{k}}
und kann man die Koeffizientenfolge
(
D
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (D^{k})_{k\in \mathbb {N} }}
wie folgt für die Normdefinition verwenden:
‖
|
p
|
‖
D
:=
∑
k
=
0
∞
D
k
⋅
‖
p
k
‖
A
mit
(
p
k
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle \|\!|p|\!\|_{D}\displaystyle :=\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
Cauchy-Produkt - Stetigkeit
Bearbeiten
Betrachtet man zwei Polynome
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
in dem normierten Raum
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
.
p
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
p
k
⋅
t
k
und
q
(
t
)
:=
∑
k
=
0
∞
q
k
⋅
t
k
{\displaystyle p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}}
Dann liefert die Definition der Norm für das Produkt
p
⋅
q
{\displaystyle p\cdot q}
:
‖
|
p
⋅
q
|
‖
D
=
∑
n
=
0
∞
D
n
⋅
‖
∑
k
=
0
n
p
k
⋅
q
n
−
k
‖
A
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{D}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D^{n}\cdot \left\|\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\right\|_{A}}
Aufgabe für die Lernende
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Beweisen Sie , dass die folgende Abbildung
‖
|
⋅
|
‖
D
:→
R
+
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}:\to \mathbb {R} ^{+}}
eine Norm ist und für alle
p
,
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p,q\in A[t]}
gilt
‖
|
p
⋅
q
|
‖
D
≤
‖
|
p
|
‖
D
⋅
‖
|
q
|
‖
D
{\displaystyle \|\!|p\cdot q|\!\|_{D}\leq \|\!|p|\!\|_{D}\cdot \|\!|q|\!\|_{D}}
D.h., dass die Multiplikation auf
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
stetig ist. Der Index
D
∈
R
+
{\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{+}}
bezeichnet die gewählte Basis für die Koeffizienten
D
n
{\displaystyle D^{n}}
.
Ideale in Polynomalgebren
Bearbeiten
Wenn
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
kein topologischer Nullteiler ist und man
D
>
0
{\displaystyle D>0}
für Abschätzung bzgl. der Norm erhält, dann topologisiert man mit diesem
D
{\displaystyle D}
die Polynomalgebra und erzeugt bzgl. des Polynoms
p
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle p(t):=z\cdot t-e_{A}}
ein topologisch abgeschlossenes Hauptideal
I
⊂
A
[
t
]
{\displaystyle I\subset A[t]}
. Diese Topologisierung der Algebraerweiterung erfolgt über den Quotientenraum
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
des Ideals
I
{\displaystyle I}
in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
.
Topologische Eigenschaft von z
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In der Algebra
A
{\displaystyle A}
sei
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
kein topologischer Nullteiler , dann gibt es ein
D
>
0
{\displaystyle D>0}
mit:
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
z
⋅
x
‖
A
∧
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
x
⋅
z
‖
A
{\displaystyle \forall _{x\in A}:\,\,\|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}\,\,\wedge \,\,\|x\|_{A}\leq D\cdot \|x\cdot z\|_{A}}
Ohne Einschränkung sei
D
≥
1
{\displaystyle D\geq 1}
. Im Falle von
D
<
1
{\displaystyle D<1}
gilt die Ungleichung
∀
x
∈
A
:
‖
x
‖
A
≤
‖
z
⋅
x
‖
A
∧
‖
x
‖
A
≤
‖
x
⋅
z
‖
A
{\displaystyle \forall _{x\in A}:\,\,\|x\|_{A}\leq \|z\cdot x\|_{A}\,\,\wedge \,\,\|x\|_{A}\leq \|x\cdot z\|_{A}}
und man kann
D
=
1
{\displaystyle D=1}
wählen.
Ideale in der Polynomalgebra
Bearbeiten
Für dieses
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
definiert man ein Polynom
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
mit
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
, wobei
e
A
{\displaystyle e_{A}}
das Einselement der Multiplikation in
A
{\displaystyle A}
ist.
Zweiseitiges Hauptideal
Bearbeiten
Man definiert nun ein zweiseitiges Hauptideal in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
bzgl. eines Polynoms
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
mit
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
über
I
z
:=
E
(
p
)
=
{
q
(
1
)
+
⋯
+
q
(
n
)
∣
n
∈
N
und
q
(
k
)
∈
A
[
t
]
⋅
o
⋅
A
[
t
]
}
.
{\displaystyle I_{z}:={\mathfrak {E}}(p)=\{q^{(1)}+\dotsb +q^{(n)}\mid n\in \mathbb {N} {\mbox{ und }}q^{(k)}\in A[t]\cdot o\cdot A[t]\}.}
Das gesuchte Ideal
I
:=
I
z
¯
⊂
A
[
t
]
{\displaystyle I:={\overline {I_{z}}}\subset A[t]}
ist nun der topologische Abschluss in der Polynomalgebra
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
bzgl. der Norm
‖
|
⋅
|
‖
D
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}}
auf
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
.
Hauptideal in kommutativen Algebren
Bearbeiten
In einer kommutativen Algebra
A
{\displaystyle A}
besteht das zweiseitige Hauptideal in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
bzgl. eines Polynoms
p
∈
A
[
t
]
{\displaystyle p\in A[t]}
mit
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
aus Polynomen
r
∈
I
z
:=
E
(
o
)
=
o
⋅
A
[
t
]
{\displaystyle r\in I_{z}:={\mathfrak {E}}(o)=o\cdot A[t]}
der folgenden Form:
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
mit
r
∈
p
⋅
A
[
t
]
∃
q
∈
A
[
t
]
:
r
0
=
−
q
0
∧
(
∀
k
>
0
:
r
k
=
z
⋅
q
k
−
1
+
q
k
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}\\&{\mbox{mit}}&r\in p\cdot A[t]\\\exists _{q\in A[t]}:\,\,\,r_{0}=-q_{0}&\wedge &\left(\forall _{k>0}:r_{k}=z\cdot q_{k-1}+q_{k}\right)\end{array}}}
Aufgaben für Lernende
Bearbeiten
Sei nun die Algebra
A
{\displaystyle A}
nicht kommutativ bzgl. der Multiplikation. Bestimmen Sie nun für das zweiseitige Hauptideal
I
z
:=
E
(
p
)
{\displaystyle I_{z}:={\mathfrak {E}}(p)}
in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
bzgl. des Polynoms
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
mit
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
die Koeffizienten von Polynomen
r
∈
I
z
:=
E
(
o
)
{\displaystyle r\in I_{z}:={\mathfrak {E}}(o)}
mit:
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
mit
q
(
1
)
,
q
(
2
)
∈
A
[
t
]
:
r
=
q
(
1
)
⋅
p
⋅
q
(
2
)
und
q
(
i
)
=
∑
k
=
0
∞
q
k
(
i
)
⋅
t
k
,
i
∈
{
1
,
2
}
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}\\&{\mbox{mit}}&q^{(1)},q^{(2)}\in A[t]:r=q^{(1)}\cdot p\cdot q^{(2)}{\mbox{ und }}\\q^{(i)}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}^{(i)}\cdot t^{k},\,\,\,\,\,\,i\in \{1,2\}\\\end{array}}}
Der Algebrahomomorphismus
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
bildet nun jedes Element
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
auf die Nebenklasse
x
+
I
∈
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle x+I\in B:=A[t]/I}
ab.
Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra
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Für das gegebene
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
in der kommutativen normierten topologische Algebren
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}
definiert man ein Polynom
o
∈
A
[
t
]
{\displaystyle o\in A[t]}
mit
o
(
t
)
:=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}
, wobei
e
A
{\displaystyle e_{A}}
das Einselement der Multiplikation in
A
{\displaystyle A}
ist. Als Ideal definiert man
I
:=
o
⋅
A
[
t
]
¯
{\displaystyle I:={\overline {o\cdot A[t]}}}
als abgeschlossenes Hauptideal in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
. Als Untervektorraum
I
{\displaystyle I}
wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des Ideals sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist.
Aufgabe für Lernende
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Betrachten Sie eine kommutative Algebra
A
∈
B
e
k
(
K
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {B}}_{e}^{k}(\mathbb {K} )}
über dem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
.
Zeigen Sie, dass mit der Abbildung
τ
:
A
→
B
{\displaystyle \tau :A\to B}
und
τ
(
x
)
=
x
I
=
x
+
I
{\displaystyle \tau (x)=x_{_{I}}=x+I}
eine Algebraerweiterung von
A
{\displaystyle A}
nach
B
{\displaystyle B}
definiert wurde!
Zeigen Sie, dass
e
B
:=
e
A
+
I
{\displaystyle e_{_{B}}:=e_{_{A}}+I}
das neutrale Element der Multiplikation in
B
{\displaystyle B}
ist.
Zeigen Sie, dass
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
in
B
{\displaystyle B}
invertierbar ist mit
b
I
=
b
+
I
{\displaystyle b_{_{I}}=b+I}
und
b
(
t
)
:=
e
A
⋅
t
{\displaystyle b(t):=e_{A}\cdot t}
- zeigen Sie also, dass
z
I
⋅
b
I
=
b
I
⋅
z
I
=
e
B
{\displaystyle z_{_{I}}\cdot b_{_{I}}=b_{_{I}}\cdot z_{_{I}}=e_{_{B}}}
gilt!
Hinweis: Zeigen Sie, dass
0
B
:=
0
A
+
I
=
z
I
⋅
b
I
−
e
B
{\displaystyle 0_{_{B}}:=0_{_{A}}+I=z_{_{I}}\cdot b_{_{I}}-e_{_{B}}}
und erläutern Sie den Zusammenhang zur Definition des Ideals
I
{\displaystyle I}
!
Topologisierung der Algebraerweiterung
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Die Algebraerweiterung wird mit einer Quotientennorm versehen, die wie folgt definiert ist:
‖
q
I
‖
B
:=
‖
q
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
q
+
r
|
‖
D
{\displaystyle \|q_{_{I}}\|_{B}:=\|q+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|q+r|\!\|_{D}}
Dabei bezeichnen man die Nebenklassen in Kurzform mit
q
I
∈
B
{\displaystyle q_{I}\in B}
, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind:
q
I
:=
q
+
I
:=
{
q
+
r
:
r
∈
I
}
{\displaystyle q_{_{I}}:=q+I:=\{q+r\,:\,r\in I\}}
Man muss hier keine Linknebenklassen und Rechtnebenklassen unterscheiden, da die Addition in einem Vektorraum kommuntativ ist.
Stetigkeit Algebrahomomorphismus
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Sei
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
beliebig gewählt, dann gilt mit der Norm
‖
⋅
‖
B
{\displaystyle \|\cdot \|_{B}}
auf dem Quotientenraum
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle B:=A[t]/I}
die folgende Abschätzung
‖
τ
(
x
)
‖
B
=
‖
x
I
‖
B
=
‖
x
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
D
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
D
=
D
0
⋅
‖
x
‖
A
=
‖
x
‖
A
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\tau (x)\|_{B}&=&\|x_{I}\|_{B}=\|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\\&\leq &\|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}\end{array}}}
Damit ist
τ
{\displaystyle \tau }
stetig (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen ).
Struktur der Polynome aus dem Ideal
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Betrachten nun das Bild
τ
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle \tau (A)\subset B}
von
τ
{\displaystyle \tau }
in
B
{\displaystyle B}
.
Sei nun
A
′
=
τ
(
A
)
=
{
x
I
:
x
I
=
x
+
I
=
τ
(
x
)
}
{\displaystyle A'=\tau (A)=\{x_{I}\,:\,x_{I}=x+I=\tau (x)\}}
gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges
q
∈
A
[
t
]
{\displaystyle q\in A[t]}
mit
r
=
o
⋅
q
∈
I
{\displaystyle r=o\cdot q\in I}
mit
o
(
t
)
=
z
⋅
t
−
e
A
{\displaystyle o(t)=z\cdot t-e_{A}}
. Dabei gilt:
r
(
t
)
=
∑
k
=
0
∞
r
k
⋅
t
k
=
o
(
t
)
⋅
q
(
t
)
=
−
q
0
+
∑
k
=
1
∞
(
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
)
⋅
t
k
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}r(t)&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }r_{k}\cdot t^{k}=o(t)\cdot q(t)\\&=&-q_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(z\cdot q_{k-1}-q_{k})\cdot t^{k}\end{array}}}
Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung
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Unter Verwendung der Abschätzung
‖
x
‖
A
≤
D
⋅
‖
z
⋅
x
‖
A
{\displaystyle \|x\|_{A}\leq D\cdot \|z\cdot x\|_{A}}
erhält man
‖
|
x
+
r
|
‖
D
=
D
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
−
q
k
‖
A
≥
D
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
⋅
(
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
A
−
‖
q
k
‖
A
)
≥
D
0
⋅
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
⋅
‖
z
⋅
q
k
−
1
‖
A
−
D
k
⋅
‖
q
k
‖
A
≥
‖
x
−
q
0
‖
A
+
∑
k
=
1
∞
D
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
A
−
D
k
⋅
‖
q
k
‖
≥
‖
x
−
q
0
‖
A
+
‖
q
0
‖
A
≥
‖
x
‖
A
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|\!|x+r|\!\|_{D}&=&D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}-q_{k}\|_{A}\\\\&\geq &D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k}\cdot \left(\|z\cdot q_{k-1}\|_{A}-\|q_{k}\|_{A}\right)\\\\&\geq &D^{0}\cdot \|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k}\cdot \|z\cdot q_{k-1}\|_{A}-D^{k}\cdot \|q_{k}\|_{A}\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{A}+\sum _{k=1}^{\infty }D^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|_{A}-D^{k}\cdot \|q_{k}\|\\&\geq &\|x-q_{0}\|_{A}+\|q_{0}\|_{A}\geq \|x\|_{A}\end{array}}}
Teleskopierende Summen
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Bei teleskopierenden Summen werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme
D
k
−
1
⋅
‖
q
k
−
1
‖
−
D
k
⋅
‖
q
k
‖
{\displaystyle D^{k-1}\cdot \|q_{k-1}\|-D^{k}\cdot \|q_{k}\|}
eine Telekopsumme .
Durch Infimumbildung über alle Polynome
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
bleibt die obige Ungleichung erhalten.
‖
x
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
D
≥
‖
x
‖
A
{\displaystyle \|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\geq \|x\|_{A}}
Umgekehrte Abschätzung
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Für die Stetigkeit der Umkehrabbildung
τ
−
1
{\displaystyle \tau ^{-1}}
gilt bzgl. dem Nullpolynom
0
A
[
t
]
∈
I
{\displaystyle 0_{A[t]}\in I}
:
‖
x
+
I
‖
B
:=
inf
r
∈
I
‖
|
x
+
r
|
‖
D
≤
‖
|
x
+
0
A
[
t
]
|
‖
D
=
D
0
⋅
‖
x
‖
A
=
‖
x
‖
A
{\displaystyle \|x+I\|_{B}:=\displaystyle \inf _{r\in I}\|\!|x+r|\!\|_{D}\leq \|\!|x+0_{A[t]}|\!\|_{D}=D^{0}\cdot \|x\|_{A}=\|x\|_{A}}
Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von
A
{\displaystyle A}
in
A
′
⊂
B
:=
A
[
t
]
/
I
{\displaystyle A'\subset B:=A[t]/I}
eine Isometrie mit
‖
x
+
I
‖
B
=
‖
x
‖
A
{\displaystyle \|x+I\|_{B}=\|x\|_{A}}
.
Zunächst einmal vervollständigt man die Polynomalgebra
(
A
[
t
]
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
zu einer Potenzreihenalgebra
(
A
[
t
]
¯
,
‖
|
⋅
|
‖
D
)
{\displaystyle ({\overline {A[t]}},\|\!|\cdot |\!\|_{D})}
, wobei die Menge der Polynome aus
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
dicht in
A
[
t
]
¯
{\displaystyle {\overline {A[t]}}}
bzgl. der Norm
‖
|
⋅
|
‖
D
{\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{D}}
mit:
A
[
t
]
¯
:=
{
p
∈
A
∞
[
t
]
:
‖
|
p
|
‖
D
:=
∑
k
=
0
∞
D
k
⋅
‖
p
k
‖
A
<
∞
}
{\displaystyle {\overline {A[t]}}:=\left\{p\in A^{\infty }[t]\,:\,\|\!|p|\!\|_{D}:=\sum _{k=0}^{\infty }D^{k}\cdot \|p_{k}\|_{A}<\infty \right\}}
Cauchy-Folgen in der Polynomalgebra
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Sei
(
p
(
m
)
)
m
∈
N
∈
A
[
t
]
N
{\displaystyle (p^{(m)})_{m\in \mathbb {N} }\in A[t]^{\mathbb {N} }}
eine Cauchy-Folge von Polynomen in
A
[
t
]
{\displaystyle A[t]}
mit der Eigenschaft:
p
(
m
)
(
t
)
:=
∑
k
:=
0
∞
p
k
(
m
)
⋅
t
k
mit
(
p
k
(
m
)
)
k
∈
N
0
∈
c
o
o
(
A
)
{\displaystyle p^{(m)}(t):=\sum _{k:=0}^{\infty }p_{k}^{(m)}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}\left(p_{k}^{(m)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}
und der Cauchy-Folgen-Eigenschaft
∀
ε
>
0
∃
N
ε
∈
N
∀
m
,
n
≥
N
ε
:
‖
|
p
(
m
)
−
p
(
n
)
|
‖
D
<
ε
{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\quad \exists _{N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\quad \forall _{m,n\geq N_{\varepsilon }}\,\colon \,\quad \|\!|p^{(m)}-p^{(n)}|\!\|_{D}<\varepsilon }
.
Vervollständigung der Polynomalgebra
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Wenn ein
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
in der Algebraerweiterung
B
0
{\displaystyle B_{0}}
invertierbar ist, dann ist
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
auch in der Vervollständigung
B
0
⊆
B
:=
B
0
¯
{\displaystyle B_{0}\subseteq B:={\overline {B_{0}}}}
als Algebraerweiterung invertierbar. Jeder metrische Raum lässt sich vervollständigen und jeder normierte Raum ist auch ein metrische Raum.
↑ Arens R. (1958), Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, S. 536-548