Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler
Ursprung der Theorie
BearbeitenArens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens[1] oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra mit Norm äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von . Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von ist, in einer Algebraerweiterung von invertierbar ist.
Aussage für Banachalgebren
Bearbeiten(siehe auch Arens 1959[1])
Ziel des Vorgehens
BearbeitenZiel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem Haupsatz über -reguläre Elemente bewiesen werden.
Teilmengen K-singulärer Elemente
BearbeitenBevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen -singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder -Erweiterung.
Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler
BearbeitenIst die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden. Sei eine topologische Algebra, dann heißt rechtsseitiger Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ein existiert mit bzw. linksseitiger Nullteiler (Bezeichnung: ), falls es ein gibt mit . heißt Nullteiler (Bezeichnung: ) in , wenn ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in ist.
Nullteiler permanent singulär
BearbeitenRechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation zu liefern. . Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur -Regularität in einer Algebraerweiterung.
Definition: Topologische Nullteiler
BearbeitenSei eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler.
Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler
BearbeitenMan nennt einen rechtsseitgen topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine Nullumgebung gibt, so dass gilt:
Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler
Bearbeitenheißt linksseitger topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ein existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist:
Dabei ist der Nullvektor in der topologischen Algebra .
Definition: topologische Nullteiler
Bearbeitenist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist[2].
Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale
BearbeitenSei , dann ist (bzw. ) genau dann, wenn es ein gibt mit, so dass für alle gilt:
bzw.
Beweis
Bearbeitensiehe Beweis für das Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional
Beispiel: Topologischer Nullteiler
BearbeitenMan betrachtet die Algebra aller stetigen reellwertigen Funktionen mit den Halbnormen
Topologisierung der Algebra
Bearbeitenist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebra über mit punktweiser Multiplikation und Einselement für alle . Jedes singuläre Element hat eine Nullstelle . Betrachte die -Kugel der -ten Halbnorm um mit .
Definition der Funktionenfolge
BearbeitenFür alle und gilt: (siehe auch Geogebra Applet[3]).
Veranschaulichung der Funktionenfolge
BearbeitenDie folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung aus der vorherigen Definition der .
Grenzwert der Funktionenfolge
BearbeitenDie folgende Grenzfunktion ist nicht stetig und die Cauchy-Folge der Funktionen konvergiert nicht.
Reguläre Elemente
BearbeitenEin reguläres Element darf in dem Funktionenraum keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann
Mit , wobei für alle die konstante Funktion mit Wert 1 ist.
Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers
BearbeitenMit der Notation meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung . Ein multiplikativ inverse Funktion in muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie . Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation hier nicht verwendet.
Singuläre Elemente - permanent singulär
BearbeitenIst nun ein singuläres Element, dann hat eine Nullstelle in . Sei die Nulltstelle von . Dann definiert man die Funktionenfolge wie oben für die Nullstelle . Mit
gilt für .
Abschätzung - topologische Nullteiler
BearbeitenWegen für wähle ohne Einschränkung .
Konvergenz - Definition TNT
BearbeitenMit geeignet gewählten Funktionenfolgen ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in , denn es gilt:
Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum
Bearbeitenist eine Halbnormensystem auf . Insgesamt ist jedes singuläre Element mit Nullstelle nicht nur ein -singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von .
Lemma: TNT singulär
BearbeitenEin topologischer Nullteiler ist in nicht invertierbar.
Beweis 1 - über Topologie
BearbeitenAnnahme: Sei invertierbar mit mit als Einselement der Multiplikation in . Da
ein topologischer Nullteiler in ist, gibt es ein Netz
Stetigkeit der Multiplikation
BearbeitenAus der Stetigkeit der Multiplikation und folgt auch
und man erhält:
Widerspruch
BearbeitenDadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:
Der Widerspruch zeigt, dass in nicht invertierbar sein kann.
Beweis 2 - über Gaugefunktionale
BearbeitenAnnahme: Sei invertierbar mit mit als Einselement der Multiplikation in . Da ein topologischer Nullteiler in ist, gibt es ein , sodass für alle
Unital positives Gaugefunktionalsystem
BearbeitenOhne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle gilt . Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle ein mit:
Stetigkeit der Multiplikation
BearbeitenAus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle mit :
Bildung des Infimums
BearbeitenDurch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt:
Widerspruch
BearbeitenDer Widerspruch zeigt, dass in nicht invertierbar sein kann.
Korrollar: TNT permanent singulär
BearbeitenSei eine Klasse von Algebren mit , dann sind alle topologischen Nullteiler -singuläre Elemente.
Beweis
BearbeitenAnnahme: ist ein topologischer Nullteiler in und zugleich in einer Algebraerweiterung von invertierbar.
Homöomorphie
BearbeitenIn dem Beweis wird die Homöomorphie der Einbettung einer Algebra in die -Erweiterung von verwendet.
Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale
BearbeitenDa ein topologischer Nullteiler in ist, gibt es ein , sodass für alle
Stetigkeit der Einbettung 1
BearbeitenMit der Stetigkeit der Einbettung gibt es zu jedem eine Konstante und mit
Stetigkeit der Einbettung 2
BearbeitenMit der Stetigkeit der Umkehrabbildung gibt es zu jedem eine Konstante und mit
Topologischer Nullteiler in der Erweiterung
BearbeitenWir zeigen nun, dass auch ein topologische Nullteiler in ist, denn für alle gilt die folgende Abschätzung.
Anschätzung Topologischer Nullteiler
BearbeitenTNT in Algebraerweiterung
BearbeitenMit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass in der Algebraerweiterung von invertierbar ist.
Lemma: Produkte von topologischen Nullteilern
BearbeitenSei eine topologische Algebra über , dann gilt:
Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit.
Beweis
BearbeitenSei gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung ein Netz mit . Demzufolge konvergiert das Netz auch für alle gegen . Also ist und man erhält insgesamt:
Die Behauptung zeigt man analog.
Augaben für Studierende
BearbeitenIn den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale
Aufgabe 1 - TNT singulär
BearbeitenZeigen Sie mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale, dass ein topologischer Nullteiler in nicht invertierbar ist.
Quellennachweis
Bearbeiten- ↑ 1,0 1,1 Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548
- ↑ Zelazko, Wiezlaw (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986
- ↑ Engelbert Niehaus (2021) Geogebra Applet - Topologischer Nullteiler - Definition der Funktionenfolge - Applet für Wikiversity Lernresource URL: https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 (Zugriff 2021/05/11)
Siehe auch
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