Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler

Ursprung der Theorie

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Arens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens[1] oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra   mit Norm   äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von  . Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von   ist, in einer Algebraerweiterung   von   invertierbar ist.

Aussage für Banachalgebren

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(siehe auch Arens 1959[1])

Ziel des Vorgehens

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Ziel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen   topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem Haupsatz über  -reguläre Elemente bewiesen werden.

Teilmengen K-singulärer Elemente

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Bevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen  -singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra   untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder  -Erweiterung.


Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler

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Ist die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden. Sei   eine topologische Algebra, dann heißt   rechtsseitiger Nullteiler in   (Bezeichnung:  ), falls ein   existiert mit   bzw. linksseitiger Nullteiler (Bezeichnung:  ), falls es ein   gibt mit  .   heißt Nullteiler (Bezeichnung:  ) in  , wenn   ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in   ist.

Nullteiler permanent singulär

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Rechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation   zu liefern.  . Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur  -Regularität in einer Algebraerweiterung.

Definition: Topologische Nullteiler

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Sei   eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler.

Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler

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Man nennt   einen rechtsseitgen topologischen Nullteiler in   (Bezeichnung:  ), falls es eine Nullumgebung   gibt, so dass gilt:

 

Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler

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  heißt linksseitger topologischer Nullteiler in   (Bezeichnung:  ), falls ein   existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist:

 

Dabei ist   der Nullvektor in der topologischen Algebra  .

Definition: topologische Nullteiler

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  ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung:  ), falls   ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist[2].

Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

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Sei  , dann ist   (bzw.  ) genau dann, wenn es ein   gibt mit, so dass für alle   gilt:

 

bzw.

 

siehe Beweis für das Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional

Beispiel: Topologischer Nullteiler

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Man betrachtet die Algebra   aller stetigen reellwertigen Funktionen   mit den Halbnormen

 

Topologisierung der Algebra

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  ist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebra über   mit punktweiser Multiplikation und Einselement   für alle  . Jedes singuläre Element   hat eine Nullstelle  . Betrachte die  -Kugel   der  -ten Halbnorm um   mit  .

Definition der Funktionenfolge

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Für alle   und   gilt:   (siehe auch Geogebra Applet[3]).

Veranschaulichung der Funktionenfolge

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Die folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung   aus der vorherigen Definition der  .

 

Grenzwert der Funktionenfolge

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Die folgende Grenzfunktion   ist nicht stetig und die Cauchy-Folge der Funktionen   konvergiert nicht.  

Reguläre Elemente

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Ein reguläres Element   darf in dem Funktionenraum   keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann

 

Mit  , wobei   für alle   die konstante Funktion mit Wert 1 ist.

Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers

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Mit der Notation   meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung  . Ein multiplikativ inverse Funktion in   muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion   Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion   ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie  . Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation   hier nicht verwendet.

Singuläre Elemente - permanent singulär

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Ist nun   ein singuläres Element, dann hat   eine Nullstelle in  . Sei   die Nulltstelle von  . Dann definiert man die Funktionenfolge   wie oben für die Nullstelle  . Mit

 

gilt   für  .

Abschätzung - topologische Nullteiler

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Wegen   für   wähle ohne Einschränkung  .

 

Konvergenz - Definition TNT

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Mit geeignet gewählten Funktionenfolgen   ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in  , denn es gilt:

 

Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum

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  ist eine Halbnormensystem auf  . Insgesamt ist jedes singuläre Element   mit Nullstelle nicht nur ein  -singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von  .

Lemma: TNT singulär

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Ein topologischer Nullteiler   ist in   nicht invertierbar.

Beweis 1 - über Topologie

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Annahme: Sei   invertierbar mit   mit   als Einselement der Multiplikation in  . Da

  ein topologischer Nullteiler in   ist, gibt es ein Netz

 

Stetigkeit der Multiplikation

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Aus der Stetigkeit der Multiplikation und   folgt auch

  und man erhält:

 

Widerspruch

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Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:

 

Der Widerspruch zeigt, dass   in   nicht invertierbar sein kann. 

Beweis 2 - über Gaugefunktionale

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Annahme: Sei   invertierbar mit   mit   als Einselement der Multiplikation in  . Da   ein topologischer Nullteiler in   ist, gibt es ein  , sodass für alle  

 

Unital positives Gaugefunktionalsystem

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Ohne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle   gilt  . Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle   ein   mit:

 

Stetigkeit der Multiplikation

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Aus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle   mit  :

 


Bildung des Infimums

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Durch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt:

 

Widerspruch

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Der Widerspruch zeigt, dass   in   nicht invertierbar sein kann. 

Korrollar: TNT permanent singulär

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Sei   eine Klasse von Algebren mit  , dann sind alle topologischen Nullteiler  -singuläre Elemente.

Annahme:   ist ein topologischer Nullteiler in   und zugleich in einer Algebraerweiterung   von   invertierbar.

Homöomorphie

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In dem Beweis wird die Homöomorphie   der Einbettung einer Algebra   in die  -Erweiterung   von   verwendet.

Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale

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Da   ein topologischer Nullteiler in   ist, gibt es ein  , sodass für alle  

 

Stetigkeit der Einbettung 1

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Mit der Stetigkeit der Einbettung   gibt es zu jedem   eine Konstante   und   mit

 

Stetigkeit der Einbettung 2

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Mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung   gibt es zu jedem   eine Konstante   und   mit

 

Topologischer Nullteiler in der Erweiterung

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Wir zeigen nun, dass   auch ein topologische Nullteiler in   ist, denn für alle   gilt die folgende Abschätzung.

Anschätzung Topologischer Nullteiler

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TNT in Algebraerweiterung

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Mit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass   auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in   nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass   in der Algebraerweiterung   von   invertierbar ist.  

Lemma: Produkte von topologischen Nullteilern

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Sei   eine topologische Algebra über  , dann gilt:

 

Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit.

Sei   gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung   ein Netz   mit  . Demzufolge konvergiert das Netz   auch für alle   gegen  . Also ist   und man erhält insgesamt:

 

Die Behauptung   zeigt man analog.  

Augaben für Studierende

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In den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Aufgabe 1 - TNT singulär

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Zeigen Sie mit TNT-Kriterium für Gaugefunktionale, dass ein topologischer Nullteiler   in   nicht invertierbar ist.


Quellennachweis

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  1. 1,0 1,1 Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548
  2. Zelazko, Wiezlaw (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986
  3. Engelbert Niehaus (2021) Geogebra Applet - Topologischer Nullteiler - Definition der Funktionenfolge - Applet für Wikiversity Lernresource URL: https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 (Zugriff 2021/05/11)

Siehe auch

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