Topologische Eigenschaften über Gaugefunktional
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Lemma - MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale
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Beweis - MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale
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Man nennt
z
∈
A
{\textstyle z\in A}
einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in
A
{\textstyle A}
(Bezeichnung:
z
∈
M
T
N
T
r
(
A
)
{\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}
), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung
U
α
∈
U
(
0
A
)
{\textstyle U_{\alpha }\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}
gibt, so dass gilt für alle
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
:
λ
⋅
U
α
∩
z
⋅
(
A
∖
U
α
)
≠
∅
{\displaystyle \lambda \cdot U_{\alpha }\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset }
Minkowski-Funktional von Nullumgebungen
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Betrachtet man das Minkowski-Funktional von kreisförmigen multiplikativen Nullumgebungen, so liefert
die Kreisförmigkeit die Homogenität des Minkowski-Funktionals
p
U
α
{\displaystyle p_{_{U_{\alpha }}}}
und damit ein Gaugefunktional
U
α
:=
B
1
α
(
0
A
)
:=
{
x
∈
A
:
‖
x
‖
α
<
1
}
{\displaystyle U_{\alpha }:=B_{1}^{\alpha }(0_{A}):=\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }<1\}}
,
die Multplikativität der Nullumgebung
U
α
{\displaystyle U_{\alpha }}
(also
U
α
⋅
U
α
⊆
U
α
{\displaystyle U_{\alpha }\cdot U_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }}
) liefert die Submultiplikativität des Gaugefunktionals, d.h.
‖
x
⋅
y
‖
α
≤
‖
x
‖
α
⋅
‖
y
‖
α
{\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }}
Betrachtet man die Bedingung
λ
⋅
U
α
∩
z
⋅
(
A
∖
U
α
)
≠
∅
{\displaystyle \lambda \cdot U_{\alpha }\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset }
so erhält man übertragen auf das Gaugefunktional für alle
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
ein
x
λ
∈
A
∖
U
α
{\displaystyle x_{\lambda }\in A\setminus U_{\alpha }}
für das
z
⋅
x
λ
∈
λ
⋅
U
α
{\displaystyle z\cdot x_{\lambda }\in \lambda \cdot U_{\alpha }}
und damit gilt
‖
z
⋅
x
λ
‖
α
≤
λ
∧
‖
x
λ
‖
α
≥
1
{\displaystyle \|z\cdot x_{\lambda }\|_{\alpha }\leq \lambda \,\,\,\wedge \,\,\,\|x_{\lambda }\|_{\alpha }\geq 1}
und man erhält
inf
‖
x
λ
‖
α
≥
1
‖
z
⋅
x
λ
‖
α
=
0
{\displaystyle \inf _{\|x_{\lambda }\|_{\alpha }\geq 1}\|z\cdot x_{\lambda }\|_{\alpha }=0}
.
Sei nun die folgende Infimumsbedingung gegeben.
∃
α
∈
A
submultiplikativ
:
inf
‖
x
‖
α
=
1
‖
z
⋅
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {A}}\,{\mbox{ submultiplikativ }}\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\alpha }=0}
Wähle
U
o
:=
B
1
α
(
0
A
)
{\displaystyle U_{o}:=B_{1}^{\alpha }(0_{A})}
und für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
gibt es ein
x
n
∈
A
∖
U
o
{\displaystyle x_{n}\in A\setminus U_{o}}
mit
‖
x
n
‖
α
=
1
{\displaystyle \|x_{n}\|_{\alpha }=1}
mit
‖
z
⋅
x
n
‖
α
<
1
n
{\displaystyle \|z\cdot x_{n}\|_{\alpha }<{\frac {1}{n}}}
. Dann gilt es auch für alle
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
ein
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
mit
n
>
1
λ
{\displaystyle n>{\frac {1}{\lambda }}}
mit
z
⋅
x
n
∈
λ
⋅
U
o
{\displaystyle z\cdot x_{n}\in \lambda \cdot U_{o}}
(mit Kreisförmigkeit von
U
o
{\displaystyle U_{o}}
)
Insgesamt gilt dann:
λ
⋅
U
α
∩
z
⋅
(
A
∖
U
α
)
≠
∅
{\displaystyle \lambda \cdot U_{\alpha }\cap z\cdot (A\setminus U_{\alpha })\not =\emptyset }
und man erhält die Behauptung.
◻
{\displaystyle \Box }
Lemma - skalare beschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
e
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {{\mathcal {K}}_{e}}}
. Wenn
z
∈
A
{\textstyle z\in A}
und
U
0
∈
U
T
(
0
A
)
{\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
eine kreisförmige multiplikative Nullumgebung ist, dann gilt:
Λ
(
U
0
)
⊂
z
⋅
(
A
∖
U
0
)
¯
⟹
z
∈
M
T
N
T
r
(
A
)
(
∗
)
{\displaystyle \Lambda (U_{0})\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}\,\Longrightarrow \,z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )}
bzw.
Λ
(
U
0
)
⊂
(
A
∖
U
0
)
⋅
z
¯
⟹
z
∈
M
T
N
T
l
(
A
)
{\displaystyle \Lambda (U_{0})\subset {\overline {(A\setminus U_{0})\cdot z}}\,\Longrightarrow \,z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)}
Beweis - MTNT-Lemma - skalare Beschränktheit
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Gaugefunktional, MTNT und skalar unbeschränkte Mengen
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Die folgende Abschätzung ergeben sich bei der Auseinandersetzung mit skalar unbeschränkten Mengen einer Nullumgebung in pseudokonvexen Räumen
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
P
C
e
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {{\mathcal {PC}}_{e}}}
.
Gaugefunktional und skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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Für ein
u
∈
Λ
(
U
0
)
{\displaystyle u\in \Lambda (U_{0})}
mit
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
als submultiplikatives Gaugefunktional und
U
α
:=
B
ε
α
(
0
A
)
{\displaystyle U_{\alpha }:=B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})}
gilt für alle
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
:
λ
⋅
u
∈
U
α
:=
B
ε
α
(
0
A
)
=
{
x
∈
A
:
‖
x
‖
α
<
ε
}
{\displaystyle \lambda \cdot u\in U_{\alpha }:=B_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})=\{x\in A\,\colon \,\|x\|_{\alpha }<\varepsilon \}}
Damit erhält man
‖
u
‖
α
=
0
{\displaystyle \|u\|_{\alpha }=0}
, denn sonst gilt nicht für alle
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
, dass
|
λ
|
⋅
‖
u
‖
α
⏟
=
0
=
‖
λ
⋅
u
‖
α
<
ε
{\displaystyle |\lambda |\cdot \underbrace {\|u\|_{\alpha }} _{=0}=\|\lambda \cdot u\|_{\alpha }<\varepsilon }
Wenn man ein Element aus
u
o
∈
Λ
(
U
0
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{0})}
wählt, gilt auch für das Minkowski-Funktional von
U
0
{\displaystyle U_{0}}
, dass
p
U
0
(
u
o
)
=
0
{\displaystyle p_{U_{0}}(u_{o})=0}
ist. Für Teilmengenbeziehung zwischen Nullumgebungen gilt ferner:
U
0
⊆
U
1
⟹
∀
x
∈
A
:
p
U
1
(
x
)
≥
p
U
0
(
x
)
{\displaystyle U_{0}\subseteq U_{1}\Longrightarrow \forall _{x\in A}:\,\,p_{_{U_{1}}}(x)\geq p_{_{U_{0}}}(x)}
Damit gilt auch mit
p
U
0
(
x
)
=
0
⟹
p
U
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle p_{_{U_{0}}}(x)=0\Longrightarrow p_{_{U_{1}}}(x)=0}
und für die skalar unbeschränkten Teilmengen von Nullumgebungen
Λ
(
U
0
)
⊆
Λ
(
U
1
)
{\displaystyle \Lambda (U_{0})\subseteq \Lambda (U_{1})}
.
Konvergenz bzgl. Komplementen von Nullumgebungen
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Sei
Λ
(
U
0
)
⊂
z
⋅
(
A
∖
U
0
)
¯
{\displaystyle \Lambda (U_{0})\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}}
und zunächst
u
o
∈
Λ
(
U
α
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })}
beliebig gewählt. Da
z
∈
M
T
N
T
r
(
A
)
{\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}
ein rechtseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler in
A
{\textstyle A}
ist, gibt es ein Netz
(
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
∈
(
A
∖
U
0
)
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in (A\setminus U_{0})^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}
, wobei
(
z
⋅
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (z\cdot x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}
gegen
u
o
{\displaystyle u_{o}}
konvergiert, d.h.
(
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
∈
(
A
∖
U
0
)
U
T
(
0
A
)
mit
z
⋅
x
U
−
u
o
∈
U
∈
U
T
(
0
A
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}(x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}&\in &(A\setminus U_{0})^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}{\mbox{ mit }}\\z\cdot x_{_{U}}-u_{o}&\in &U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}).\end{array}}}
Netz aus dem Komplement einer Nullumgebung
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Da das Netz
(
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (x_{_{U}})_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}
im Komplement von
U
0
{\displaystyle U_{0}}
liegt es auch im Komplement von
U
α
⊆
U
0
{\displaystyle U_{\alpha }\subseteq U_{0}}
. Wenn alle Komponenten des Netzes
x
U
∈
A
∖
U
α
{\displaystyle x_{_{U}}\in A\setminus U_{\alpha }}
auch im Komplement von
U
α
{\displaystyle U_{\alpha }}
gilt immer noch, dass
(
z
⋅
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (z\cdot x_{_{U}})_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}
gegen
u
o
∈
Λ
(
U
α
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })}
konvergiert mit
‖
x
U
‖
α
≥
ε
{\displaystyle \|x_{_{U}}\|_{\alpha }\geq \varepsilon }
z
⋅
x
U
−
u
o
∈
U
{\displaystyle z\cdot x_{_{U}}-u_{o}\in U}
Konvergenz und skalare Unbeschränktheit
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Die Konvergenz gegen
u
o
∈
Λ
(
U
α
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })}
mit
z
⋅
x
U
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
u
o
{\textstyle z\cdot x_{_{U}}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}u_{o}}
lässt sich auch über Gaugefunktionale ausdrücken.
Damit gilt für alle
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
, dass die Quasihalbnormen die Bedingung erfüllen:
‖
z
⋅
x
U
−
u
o
‖
β
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
{\displaystyle \|z\cdot x_{_{U}}-u_{o}\|_{\beta }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}
Man erhält damit
inf
‖
x
‖
α
≥
ε
‖
z
⋅
x
−
u
o
‖
β
=
0
{\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x-u_{o}\right\|_{\beta }=0}
für alle
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
.
Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition
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Wendet man die obige Konvergenzaussage insbesondere für
β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha }
. Ferner folgt aus der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
auch die Ungleichung:
1
K
α
⋅
‖
x
‖
α
−
‖
y
‖
α
≤
‖
x
−
y
‖
α
.
{\displaystyle {\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|x\|_{\alpha }-\|y\|_{\alpha }\leq \|x-y\|_{\alpha }.}
Mit einer Abschätzung nach unter der Konvergenzaussage für
β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha }
erhält man mit
u
o
∈
Λ
(
U
α
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })}
:
0
≤
1
K
α
⋅
‖
z
⋅
x
U
‖
α
−
‖
u
o
‖
α
⏟
=
0
≤
‖
z
⋅
x
U
−
u
o
‖
α
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
{\displaystyle 0\leq {\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }-\underbrace {\|u_{o}\|_{\alpha }} _{=0}\leq \|z\cdot x_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}
Damit erhält man mit
‖
x
U
‖
α
≥
ε
{\displaystyle \|x_{_{U}}\|_{\alpha }\geq \varepsilon }
auch:
1
K
α
⋅
‖
z
⋅
x
U
‖
α
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
und
‖
z
⋅
x
U
‖
α
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }&{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}&0\,\,\,{\mbox{ und }}\\\|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }&{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}&0\\\end{array}}}
Dies liefert für das Infimum die Bedingung
inf
‖
x
‖
α
≥
ε
‖
z
⋅
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0}
.
Dann gilt:
U
α
⊂
U
0
⟹
A
∖
U
0
⊂
A
∖
U
α
⟹
Λ
(
U
α
)
⊂
z
⋅
(
A
∖
U
α
)
¯
⟹
0
=
inf
‖
x
‖
α
≥
ε
‖
z
⋅
x
‖
α
=
inf
‖
x
‖
α
≥
1
‖
z
⋅
ε
⋅
x
‖
α
⟹
ε
⋅
inf
‖
x
‖
α
≥
1
‖
z
⋅
x
‖
α
=
0
⟹
inf
‖
x
‖
α
≥
1
‖
z
⋅
x
‖
α
=
0
⟹
inf
‖
x
‖
α
=
1
‖
z
⋅
x
‖
α
=
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}U_{\alpha }\subset U_{0}&\Longrightarrow &A\setminus U_{0}\subset A\setminus U_{\alpha }\\&\Longrightarrow &\Lambda (U_{\alpha })\subset {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle 0=\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot \varepsilon \cdot x\right\|_{\alpha }\\&\Longrightarrow &\displaystyle \varepsilon \cdot \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0\Longrightarrow \displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0\\\end{array}}}
Sei
u
o
∈
Λ
(
U
α
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })}
und dann gilt
‖
u
o
‖
α
=
0
{\displaystyle \|u_{o}\|_{\alpha }=0}
. Da Nullumgebungen absorbierend sind, gibt es für
z
∈
A
{\displaystyle z\in A}
ein natürliche Zahl
n
o
∈
N
{\displaystyle n_{o}\in \mathbb {N} }
, sodass für alle
n
≥
n
o
{\displaystyle n\geq n_{o}}
auch
z
∈
n
⋅
U
α
{\displaystyle z\in n\cdot U_{\alpha }}
und damit auch
1
n
⋅
z
∈
U
α
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot z\in U_{\alpha }}
. Ferner gilt auch mit
‖
n
⋅
x
‖
α
≥
n
≥
n
o
≥
1
{\displaystyle \left\|n\cdot x\right\|_{\alpha }\geq n\geq n_{o}\geq 1}
Damit gilt insbesondere für
x
∉
U
α
{\displaystyle x\notin U_{\alpha }}
auch
n
⋅
x
∈
A
∖
U
α
{\displaystyle n\cdot x\in A\setminus U_{\alpha }}
.
Pseudokonvexe Algebren - skalar unbeschränkte Elemente
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Wenn
u
o
∈
Λ
(
U
α
)
{\displaystyle u_{o}\in \Lambda (U_{\alpha })}
beliebig gewählt wird, gibt es ein Netz
(
y
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
∈
A
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (y_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in A^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}
gegeben, dass gegen
u
o
{\displaystyle u_{o}}
konvergiert, d.h. für alle
β
∈
A
{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}
gilt
‖
y
U
−
u
o
‖
β
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
{\displaystyle \|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\beta }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}
Insbesondere gibt es für
β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha }
eine Indexschranke des Netzes
U
ε
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
mit
K
α
≥
1
{\displaystyle K_{\alpha }\geq 1}
Stetigkeitskonstante der Addition:
‖
y
U
−
u
o
‖
α
<
ε
2
⋅
K
α
für
U
⊆
U
ε
{\displaystyle \|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }<{\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}{\mbox{ für }}U\subseteq U_{\varepsilon }}
Mit
inf
‖
x
‖
α
≥
1
‖
z
⋅
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0}
gibt es ein
(
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
∈
(
A
∖
U
0
)
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}\in (A\setminus U_{0})^{{\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}
, wobei
(
z
⋅
x
U
)
U
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle (z\cdot x_{_{U}})_{_{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}
in der Quashalbnorm
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
gegen
0
{\displaystyle 0}
konvergiert, d.h.
‖
z
⋅
x
U
‖
α
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
{\displaystyle \|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}
Dabei sei ohne Einschränkung
‖
x
U
‖
α
=
1
{\displaystyle \|x_{_{U}}\|_{\alpha }=1}
für alle
U
∈
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
.
Definition eines Netzes im Komplement der Nullumgebung 1
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Mit den obigen Bedingung definiert man mit der partiellen Ordnung (Mengeninklusion) auf der Indexmenge
J
:=
U
T
(
0
A
)
{\displaystyle J:={\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}
eine neue Indexmenge
J
o
⊆
J
{\displaystyle J_{o}\subseteq J}
mit
J
o
:=
{
U
∈
J
:
U
∪
U
ε
∈
U
T
(
0
A
)
}
{\displaystyle J_{o}:=\{U\in J\,\colon \,U\cup U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})\}}
Der Schnitt von Nullumgebung ist nach den Eigenschaften eines topologischen Raum wieder eine Nullumgebung. Für das Teilnetz gilt ebenfalls:
‖
z
⋅
x
U
‖
α
U
∈
J
0
⟶
0
und
‖
y
U
−
u
o
‖
α
U
∈
J
0
⟶
0
{\displaystyle \|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in J_{0}}}}0\,\,\,{\mbox{ und }}\,\,\,\|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in J_{0}}}}0}
Definition eines Netzes im Komplement der Nullumgebung 2
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Man definiert nun ein Summen Netz
(
x
U
^
)
U
∈
J
0
{\displaystyle ({\widehat {x_{_{U}}}})_{_{U\in J_{0}}}}
mit
x
U
^
=
x
U
−
y
U
{\displaystyle {\widehat {x_{_{U}}}}=x_{_{U}}-y_{_{U}}}
. Für die Komponenten des Netzes gilt.
‖
x
U
−
y
U
‖
α
≥
1
K
α
⋅
‖
x
U
‖
α
⏟
≥
1
−
‖
y
U
‖
α
⏟
≤
ε
2
⋅
K
α
≥
ε
2
⋅
K
α
{\displaystyle \|x_{_{U}}-y_{_{U}}\|_{\alpha }\geq {\frac {1}{K_{\alpha }}}\cdot \underbrace {\|x_{_{U}}\|_{\alpha }} _{\geq 1}-\underbrace {\|y_{_{U}}\|_{\alpha }} _{\leq {\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}}\geq {\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}}
Definiert man die Nullumgebung
U
1
:=
B
ε
2
⋅
K
α
α
(
0
A
)
{\displaystyle U_{1}:=B_{\frac {\varepsilon }{2\cdot K_{\alpha }}}^{\alpha }(0_{A})}
liegt das Netz im Komplement von
U
1
{\displaystyle U_{1}}
.
Da die Quasihalbnorm
‖
⋅
‖
α
{\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}
submultiplikativ ist.
‖
z
⋅
x
U
^
‖
α
=
‖
z
⋅
(
x
U
−
y
U
)
‖
α
≤
K
α
⋅
(
‖
z
⋅
(
x
U
+
u
o
)
‖
α
+
‖
z
⋅
(
y
U
−
u
o
)
‖
α
)
≤
K
α
2
⋅
(
‖
z
⋅
x
U
‖
α
+
‖
z
‖
α
⋅
‖
u
o
‖
α
⏟
=
0
+
‖
z
‖
α
⋅
‖
y
U
−
u
o
‖
α
⏟
→
0
)
U
∈
J
0
⟶
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|z\cdot {\widehat {x_{_{U}}}}\|_{\alpha }&=&\|z\cdot (x_{_{U}}-y_{_{U}})\|_{\alpha }\\&\leq &K_{\alpha }\cdot \left(\|z\cdot (x_{_{U}}+u_{o})\|_{\alpha }+\|z\cdot (y_{_{U}}-u_{o})\|_{\alpha }\right)\\&\leq &K_{\alpha }^{2}\cdot \left(\|z\cdot x_{_{U}}\|_{\alpha }+\|z\|_{\alpha }\cdot \underbrace {\|u_{o}\|_{\alpha }} _{=0}+\|z\|_{\alpha }\cdot \underbrace {\|y_{_{U}}-u_{o}\|_{\alpha }} _{\to 0}\right){_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in J_{0}}}}0\end{array}}}
Aus der Stetigkeit der Multiplikation und
w
U
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
u
o
{\textstyle w_{_{U}}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}u_{o}}
folgt auch
w
U
⋅
z
−
1
U
∈
U
T
(
0
A
)
⟶
0
{\textstyle w_{_{U}}\cdot z^{-1}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}}}0}
und man erhält:
∀
V
∈
U
T
(
0
A
)
∃
U
(
V
)
∈
U
T
(
0
A
)
:
w
U
(
V
)
⋅
z
−
1
∈
V
.
{\displaystyle \forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle U(V)\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}:w_{_{U(V)}}\cdot z^{-1}\in V.}
Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:
V
∌
y
U
(
V
)
=
y
U
(
V
)
⋅
(
z
⋅
z
−
1
)
=
(
y
U
(
V
)
⋅
z
)
⋅
z
−
1
∈
V
.
{\displaystyle V\not \ni y_{_{U(V)}}=y_{_{U(V)}}\cdot (z\cdot z^{-1})=(y_{_{U(V)}}\cdot z)\cdot z^{-1}\in V.}
Der Widerspruch zeigt, dass
z
{\textstyle z}
in
A
{\textstyle A}
nicht invertierbar sein kann.
◻
{\displaystyle \Box }
Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}
, dann kann man
z
∉
M
T
N
T
r
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}
(bzw.
z
∉
M
T
N
T
l
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)}
) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:
∀
α
∈
A
submultiplikativ
∃
ε
α
>
0
:
inf
‖
x
‖
α
=
1
‖
z
⋅
x
‖
α
=
ε
α
>
0
{\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}\,\,{\mbox{ submultiplikativ}}\,\,}\exists _{\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha }>0}
bzw.
∀
α
∈
A
submultiplikativ
∃
ε
α
>
0
:
inf
‖
x
‖
α
=
1
‖
x
⋅
z
‖
α
=
ε
α
>
0
{\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}{\mbox{ submultiplikativ }}\,\,}\exists _{\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha }>0}
Sei
(
A
,
‖
⋅
‖
A
)
∈
K
{\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}
, dann kann man
z
∉
T
N
T
r
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}
(bzw.
z
∉
T
N
T
l
(
A
)
{\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}
) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:
∀
α
∈
A
submultiplikativ
∃
D
α
>
0
:
‖
x
‖
α
≤
D
α
⋅
‖
z
⋅
x
‖
α
mit
z
∉
M
T
N
T
r
(
A
)
{\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}\,\,{\mbox{ submultiplikativ}}\,\,}\exists _{D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }\,{\mbox{ mit }}\,z\notin {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\,}
bzw.
∀
α
∈
A
∃
β
∈
A
,
D
α
>
0
:
‖
x
‖
α
≤
D
α
⋅
‖
x
⋅
z
‖
α
mit
z
∈
M
T
N
T
l
(
A
)
{\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|x\cdot z\right\|_{\alpha }\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)}