Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Einführung

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Sei   wird ein multiplikativer topologischer Nullteiler mengentheoretisch über das System der offenen Mengen   definiert. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, musste man diese topologischen Eigenschaften für rechtseitige, linkseitig und beidseitige multiplikative topologischen Nullteiler über das System von offenen Mengen   beschreiben.

Topologische Eigenschaften über Gaugefunktional

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Ein Kriterium, dass die Eigenschaften   bzw.   über Gaugefunktionale, Halbnormen, Quasinormen,  -Normen, ... definert ist das Ziel eines Kriteriums zur Charakterisierung der Eigenschaft eines multiplikativen topologischen Nullteilers über Gaugefunktionale. In normierten Räumen wurde nach dem klassischen Satz von Arens für die Banachalgebren die Eigenschaft ein topologischer Nullteiler sein über eine Norm definiert.

Lemma - MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale

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Sei   ein  -Gaugefunktionalsystem  , dann gilt mit   als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

  •  
  •  

In kommutativen Algebren gilt  .

Beweis - MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale

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Man nennt   einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in   (Bezeichnung:  ), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung   gibt, so dass gilt für alle  :

 

Minkowski-Funktional von Nullumgebungen

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Betrachtet man das Minkowski-Funktional von kreisförmigen multiplikativen Nullumgebungen, so liefert

  • die Kreisförmigkeit die Homogenität des Minkowski-Funktionals   und damit ein Gaugefunktional  ,
  • die Multplikativität der Nullumgebung   (also  ) liefert die Submultiplikativität des Gaugefunktionals, d.h.
 

Bildung des Infimum

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Betrachtet man die Bedingung

 

so erhält man übertragen auf das Gaugefunktional für alle   ein   für das   und damit gilt

 

und man erhält  .

Umgekehrte Beweisrichtung 1

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Sei nun die folgende Infimumsbedingung gegeben.

 

Wähle   und für alle   gibt es ein   mit   mit  . Dann gilt es auch für alle   ein   mit   mit   (mit Kreisförmigkeit von  )

Umgekehrte Beweisrichtung 2

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Insgesamt gilt dann:

 

und man erhält die Behauptung.  

Lemma - skalare beschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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Sei  . Wenn   und   eine kreisförmige multiplikative Nullumgebung ist, dann gilt:

 

bzw.

 

Beweis - MTNT-Lemma - skalare Beschränktheit

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Sei   und eine kreisförmige multiplikative Nullumgebung   mit  , für die gilt:

 .

Dann gilt für alle   die Inklusion

 .

Damit gilt  . Den Beweis führt den linkseitigen multiplikativen Nullteiler führt man analog.  

Da das System   die Topologie auf   erzeugt, gibt es ein   und ein  , so dass die multiplikative  -Kugel   des  -Funktionals   eine Teilmenge von   ist.  

Gaugefunktional, MTNT und skalar unbeschränkte Mengen

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Die folgende Abschätzung ergeben sich bei der Auseinandersetzung mit skalar unbeschränkten Mengen einer Nullumgebung in pseudokonvexen Räumen  .

Gaugefunktional und skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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Für ein   mit   als submultiplikatives Gaugefunktional und   gilt für alle  :

 

Damit erhält man  , denn sonst gilt nicht für alle  , dass

 

Skalar unbeschränkte Teilmengen

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Wenn man ein Element aus   wählt, gilt auch für das Minkowski-Funktional von  , dass   ist. Für Teilmengenbeziehung zwischen Nullumgebungen gilt ferner:

 

Damit gilt auch mit

 

und für die skalar unbeschränkten Teilmengen von Nullumgebungen

 .

Konvergenz bzgl. Komplementen von Nullumgebungen

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Sei   und zunächst   beliebig gewählt. Da   ein rechtseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler in   ist, gibt es ein Netz  , wobei   gegen   konvergiert, d.h.

 

Netz aus dem Komplement einer Nullumgebung

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Da das Netz   im Komplement von   liegt es auch im Komplement von  . Wenn alle Komponenten des Netzes   auch im Komplement von   gilt immer noch, dass   gegen   konvergiert mit  

 

Konvergenz und skalare Unbeschränktheit

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Die Konvergenz gegen   mit   lässt sich auch über Gaugefunktionale ausdrücken. Damit gilt für alle  , dass die Quasihalbnormen die Bedingung erfüllen:

 

Man erhält damit   für alle  .

Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition

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Wendet man die obige Konvergenzaussage insbesondere für  . Ferner folgt aus der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante   auch die Ungleichung:

 

Mit einer Abschätzung nach unter der Konvergenzaussage für   erhält man mit  :

 

Konvergenz gegen 0 bzgl. Quasihalbnorm

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Damit erhält man mit   auch:

 

Dies liefert für das Infimum die Bedingung  .

Mengenbeziehungen

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Dann gilt:

 

Absorbierende Nullumgebung

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Sei   und dann gilt  . Da Nullumgebungen absorbierend sind, gibt es für   ein natürliche Zahl  , sodass für alle   auch   und damit auch  . Ferner gilt auch mit

 

Damit gilt insbesondere für   auch  .

Pseudokonvexe Algebren - skalar unbeschränkte Elemente

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Wenn   beliebig gewählt wird, gibt es ein Netz   gegeben, dass gegen   konvergiert, d.h. für alle   gilt

 

Insbesondere gibt es für   eine Indexschranke des Netzes   mit   Stetigkeitskonstante der Addition:

 

Anwendung der Infimumaussage auf Netze

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Mit   gibt es ein  , wobei   in der Quashalbnorm   gegen   konvergiert, d.h.

 

Dabei sei ohne Einschränkung   für alle  .

Definition eines Netzes im Komplement der Nullumgebung 1

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Mit den obigen Bedingung definiert man mit der partiellen Ordnung (Mengeninklusion) auf der Indexmenge   eine neue Indexmenge   mit

 

Der Schnitt von Nullumgebung ist nach den Eigenschaften eines topologischen Raum wieder eine Nullumgebung. Für das Teilnetz gilt ebenfalls:

 

Definition eines Netzes im Komplement der Nullumgebung 2

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Man definiert nun ein Summen Netz   mit  . Für die Komponenten des Netzes gilt.

 

Definiert man die Nullumgebung   liegt das Netz im Komplement von  .

Abschätzung des Produktes mit z

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Da die Quasihalbnorm   submultiplikativ ist.

 

Stetigkeit der Multiplikation

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Aus der Stetigkeit der Multiplikation und   folgt auch

  und man erhält:

 

Widerspruch

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Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt:

 

Der Widerspruch zeigt, dass   in   nicht invertierbar sein kann. 

Negation des MTNT-Kriteriums

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Sei  , dann kann man   (bzw.  ) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

 

bzw.

 

Lemma: Negation des MTNT-Kriteriums

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Sei  , dann kann man   (bzw.  ) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

 

bzw.

 

Beweisaufgabe für Studierende

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Siehe auch

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Seiteninformation

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