Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale
Einführung Bearbeiten
Sei wird ein topologischer Nullteiler mengentheoretisch über das System der offenen Mengen definiert. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, musste man über topologischer Eigenschaften rechtseitigen bzw. linkseitige topologischen Nullteiler über Mengen beschreiben. Ein Kriterium, dass die Eigenschaften bzw. über Gaugefunktionale, Halbnormen, Quasinormen, -Normen, ... definert ist das Ziel eine Kriteriums zur Charakterisierung der Eigenschaft einer topologischen Nullteilers über Gaugefunktionale
Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler Bearbeiten
Man nennt einen rechtsseitigen topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine Nullumgebung gibt, für die gilt:
Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler Bearbeiten
heißt linksseitger topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ein existiert, der folgende Eigenschaft erfüllt:
Definition: topologische Nullteiler Bearbeiten
ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist.
Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale Bearbeiten
Sei , dann ist (bzw. ) genau dann, wenn es ein gibt mit, so dass für alle gilt:
bzw.
Beweis Bearbeiten
Sei und wie in der obigen Definition gewählt. Da das System die Topologie auf erzeugt, gibt es ein und ein , so dass die -Kugel des -Funktionals eine Teilmenge von ist.
Mengenbeziehungen Bearbeiten
Dann gilt:
Umkehrung Bearbeiten
Gilt umgekehrt die oben genannte Bedingung , wählt man als die 1-Kugel um des -Funktionals . Wendet man die Bedingung auf an, folgt aus auch bzw. und man erhält .
Bemerkung: Übertragen auf rechtsseitige TNT Bearbeiten
Insbesondere gilt für alle die Teilmengenbeziehung und damit auch
Für bzw. kann man die Aussage von dem Lemma analog übertragen.
Negation des TNT-Kriteriums Bearbeiten
Sei , dann kann man (bzw. ) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:
bzw.
Lemma: Negation des TNT-Kriteriums Bearbeiten
Sei , dann kann man (bzw. ) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:
bzw.
Beweisaufgabe für Studierende Bearbeiten
- Beweisen Sie das Lemma zur Negation des TNT-Kriteriums für Gaugefunktionale über Verwendung des Topologisierungslemmas für Algebren und der Stetigkeit der Multiplikation.
- Wie verändert sich die Beweisführung, wenn die Topologie über -Gaugefunktionale (z.B. submultiplikative -Halbnormen) erzeugt wird.
Siehe auch Bearbeiten
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