Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen
Einführung
BearbeitenFür die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren gibt es ein System von -Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und -Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer -Halbnorm und einer Quasinorm her.
Definition: p-Norm
BearbeitenSei ein -Vektorraum und eine Abbildung. Erfüllt die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt -Norm auf mit .
- (P1) Definitheit: für alle ,
- (P2) p-Homogenität: für alle und
- (P3) Dreiecksungleichung: für alle .
Gilt (P1) nicht, so nennt man -Halbnorm.
Einheitskreis einer p-Norm
BearbeitenDer Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im eine Astroide.
Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve
BearbeitenAufgabe
BearbeitenSei der zweidimensionale -Vektorraum und eine Abbildung, die mit wie folgt definiert ist.
- Zeigen Sie, dass eine -Norm ist. Warum erzeugt die -Norm die gleiche Topologie, wie die Norm ?
- Skizzieren Sie die folgende Menge und
Hinweis: Berechnen Sie zunächst für und !
Definition: Quasi(halb-)norm
BearbeitenSei ein -Vektorraum und eine Abbildung. Erfüllt die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt Quasinorm auf mit Konkavitätskonstante .
- (Q1) Definitheit: für alle ,
- (Q2) absolute Homogenität: für alle und
- (Q3) Konkavitätsungleichung: für alle .
Gilt (Q1) nicht, so nennt man Quasihalbnorm.
Bemerkung: konvex-konkav
BearbeitenHalbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw. -Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei bzw. . Für bzw. erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer -Norm mit , so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das auf die Konkavität der Einheitskugel der -Norm hat.
Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen
BearbeitenEin topologischer Vektorraum mit der Topologie , dann genau dann -normierbar, wenn die Topologie durch eine Quasinorm erzeugt werden kann.
Beweis
BearbeitenDer Beweis nach Köthe[1] wird in dem Abschnitt zur -Regulärität für lokalbeschränkte Algebren ausgeführt.
Korrolar - Korrespondenz-Lemma
BearbeitenEin topologischer Vektorraum mit der Topologie . Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie wird genau dann durch eine -Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen auch durch eine Quasihalbnorm erzeugt werden kann.
Beweis
BearbeitenDie Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für -Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung
- bzw.
über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für -Halbnormen und Quasihalbnormen.
Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume
BearbeitenEin topologischer Vektorraum mit der Topologie ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie durch eine System Quasihalbnormen topologisiert werden kann
Beweis
BearbeitenBetrachtet man nun eine -Algebra mit als -Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm mit ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem von offenen Mengen der Ausgangstopologie .
Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas
BearbeitenDieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für -Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für -Normen sondern auch für -Halbnormen. Daher man jede p-Halbnorm durch die entsprechende Quasihalbnormen ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem erzeugt werden.
Bemerkung
BearbeitenFür das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer -Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur -Regularität werden sowohl für
- p-Normen eine Charakterisierung der -regulären Elemente vorgenommen als auch die
- P-Regularität über Algebraerweiterungen mit Quasinormen dargestellt.
Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)
Siehe auch
BearbeitenQuellennachweis
Bearbeiten- ↑ Köthe Gottfried (1966) Topologische Lineare Räume, Berlin Heidelberg New York
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