Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit
Einleitung
BearbeitenDer Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume[1])
Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit
BearbeitenJeder topologische Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:
- .
Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Vektorräume
BearbeitenEin topologischer Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser eine -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit .
Beweis
BearbeitenSei -normierbar mit -Norm . sei die Menge der von der -Norm erzeugten -Kugeln um .
Beweisschritt 1: Nullumgebung beschränkt
BearbeitenDie Nullumgebung ist beschränkt, denn .
Beweisschritt 2: Homogenität - Dreieckungleichung
BearbeitenAus der Bedingung und der Definition der -Norm folgt, dass die Kugel absolut -konvex ist, denn es gilt für und :
Beweisschritt 3: Beschränkte Nullumgebung gegeben
BearbeitenSei umgekehrt eine beschränkte -konvexe Nullumgebung, dann enthält mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige Nullumgebung .
Beweisschritt 4: p-konvexe Darstellung
BearbeitenSei nun mit
Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung
BearbeitenMan erhält somit eine " -konvexe Darstellung" von Elementen aus der absolut -konvexen Menge durch Elemente aus , denn
Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung
BearbeitenDa die und -konvex gewählt war, gilt . Insgesamt enthält jede -konvexe Nullumgebung eine absolut -konvexe Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher als absolut -konvex voraussetzen.
Beweisschritt 6: Minkowski-Funktionale beschränkter Mengen
BearbeitenDas Minkowskifunktional von der beschränkten Menge und erzeugen die Topologie auf . Das Funktional erfüllt die Bedingungen aus Definition p-Norm.
Beweisschritt 7: Dreiecksungleichung
BearbeitenEs bleibt für die Dreieckungleichung zu zeigen:
Beweisschritt 8: Absolut p-konvex
BearbeitenDa absolut -konvex ist gilt:
Beweisschritt 9:
BearbeitenDa beliebig gewählt war, folgt die Behauptung.
Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Algebren
BearbeitenEin topologischer Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser eine -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit für die gilt:
Beweisaufgabe für Studierende
Bearbeiten- Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung
- Hinweis: Verwenden Sie u.a. das Topologisierungslemma für Algebren.
Beispiel: Folgenräume
BearbeitenSei mit als Folgenraum gegeben.
- Zeigen Sie, dass mit die Menge eine absolut -konvexe Menge ist!
- Starten Sie mit und zeigen Sie, dass für gilt.
Aufgabe: Endlichdimensionale p-normierbare Räume
BearbeitenSei ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie durch eine -Norm erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm erzeugt werden kann.
Quellennachweis
Bearbeiten- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.
Siehe auch
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