Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit

Einleitung

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Der Satz zur p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräumen   stellt einen Zusammenhang zwischen p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie   her. Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung   exisitiert. Insgesamt ist Satz über p-Normierbarkeit zusammen mit dem Satz zur Quasinormierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen und Quasinormen (siehe Köthe, Lineare Räume[1])

Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit

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Jeder topologische Vektorraum ist genau dann  -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:

 .

Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Vektorräume

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Ein topologischer Vektorraum   ist genau dann  -normierbar, wenn dieser eine  -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit  .

Sei    -normierbar mit  -Norm  .   sei die Menge der von der  -Norm erzeugten  -Kugeln um  .

Beweisschritt 1: Nullumgebung beschränkt

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Die Nullumgebung   ist beschränkt, denn  .

Beweisschritt 2: Homogenität - Dreieckungleichung

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Aus der Bedingung   und   der Definition der  -Norm folgt, dass die Kugel   absolut  -konvex ist, denn es gilt für   und  :

 

Beweisschritt 3: Beschränkte Nullumgebung gegeben

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Sei umgekehrt   eine beschränkte  -konvexe Nullumgebung, dann enthält   mit der Stetigkeit der Skalarmultiplikation eine kreisförmige Nullumgebung  .


Beweisschritt 4: p-konvexe Darstellung

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Sei nun   mit

 

Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung

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Man erhält somit eine " -konvexe Darstellung" von Elementen aus der absolut  -konvexen Menge   durch Elemente aus  , denn

 

Beweisschritt 5: p-konvexe Darstellung

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Da die   und    -konvex gewählt war, gilt  . Insgesamt enthält jede  -konvexe Nullumgebung eine absolut  -konvexe Nullumgebung als Teilmenge und man kann daher   als absolut  -konvex voraussetzen.

Beweisschritt 6: Minkowski-Funktionale beschränkter Mengen

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Das Minkowskifunktional   von der beschränkten Menge   und   erzeugen die Topologie auf  . Das Funktional   erfüllt die Bedingungen   aus Definition p-Norm.

Beweisschritt 7: Dreiecksungleichung

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Es bleibt für   die Dreieckungleichung   zu zeigen:

 

Beweisschritt 8: Absolut p-konvex

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Da   absolut  -konvex ist gilt:

 

Beweisschritt 9:

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Da   beliebig gewählt war, folgt die Behauptung.  

Satz: p-Normbierbarkeit - Topologische Algebren

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Ein topologischer Vektorraum   ist genau dann  -normierbar, wenn dieser eine  -konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit   für die gilt:

 

Beweisaufgabe für Studierende

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  • Weisen Sie unter Verwendung des Satzes für die Äquivalenz der p-Normierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie und der Eigenschaft der Stetigkeit der Multiplikation die Ungleichung
 

Beispiel: Folgenräume

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Sei   mit   als Folgenraum gegeben.

  • Zeigen Sie, dass mit   die Menge   eine absolut  -konvexe Menge ist!
  • Starten Sie mit   und zeigen Sie, dass   für   gilt.

Aufgabe: Endlichdimensionale p-normierbare Räume

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Sei   ein endlichdimensionaler Vektorraum, dessen Topologie   durch eine  -Norm   erzeugt wurde. Zeigen Sie, dass die Topologie auch durch eine äquivalente Norm   erzeugt werden kann.

Quellennachweis

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  1. Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.

Siehe auch

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