Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit
Einleitung Bearbeiten
Der Satz zur Quasinormierbarkeit von topologischen Vektorräumen stellt einen Zusammenhang zwischen Quasinormierbarkeit und der lokalen Beschränktheit der Topologie . Lokale Beschränktheit bedeutet dabei, dass eine "beschränkte" Nullumgebung exisitiert. Insgesamt ist Satz über Quasinormierbarkeit zusammen mit dem Satz zur p-Normierbarkeit einer der beiden notwendigen Teilaussagen für den Beweis des Korrespondenzsatzes für p-Normen Quasinormen (siehe Köthe[1]).
Korrespondenzsatz p-Normen - Quasinormen - lokale Beschränktheit Bearbeiten
Jeder topologische Vektorraum ist genau dann -normierbar, wenn dieser lokal beschränkt ist. Ebenso ist jeder topologische Vektorraum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man die Äquivalenzaussage des Korrespondenzsatzes:
- .
Satz: Quasinormierbarkeit Bearbeiten
Die Topologie eines topologischen Vektorraums kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn lokalbeschränkt ist.
Beweis Bearbeiten
Der Beweis der Äquivalenz gliedert sich in zwei Beweisteile der folgenden Implikationen
- (Beweisteil 1) Gegeben ist ein lokalbeschränkter topologischer Raum und man zeigt, dass die Topologie durch eine Quasinorm topologisiert werden kann.
- (Beweisteil 2) Gegeben ist ein quasinormierbarer topologischer Raum mit Quasinorm und und man zeigt, dass die Topologie lokalbeschränkt ist.
Beweisteil 1: Bearbeiten
"' "': Sei ein lokalbeschränkter topologischer Raum und das Minkowski-Funktional einer kreisförmigen und beschränkten Nullumgebung , die in einem lokalbeschränkten Raum existiert. Nun sind die Eigenschaften einer Quasinorm für das definierte Minkowski-Funktional zu zeigen.
Beweisschritt 1.1 - Nullumgebungsbasis Bearbeiten
ist eine Nullumgebungsbasis der Topologie. Die Nichtnegativität der Quasinorm und die Homogenität ergeben sich aus der Definition des Minkowski-Funktionals (siehe Topologisierungslemma für Algebren), wobei die Homogenität in ist eine unmittelbare Folgerung aus der Kreisförmigkeit von ist.
Beweisschritt 1.2 - Hausdorff-Eigenschaft Bearbeiten
Die Eigenschaft einer Quasinorm ergibt sich aus der Hausdorff-Eigenschaft von .
Beweisschritt 1.3 - Stetigkeit der Addition Bearbeiten
Mit der Stetigkeit der Addition kann man für die gegebene beschränkte Nullumgebung eine Nullumgebung finden mit
- (siehe Topologisierungslemma für Algebren).
Beweisschritt 1.4 - Stetigkeit der Addition Bearbeiten
Da eine Nullumgebungsbasis der Topologie ist, kann man für diese ein finden, mit . Über Einsetzung in die Mengeninklusion erhält man:
Beweisschritt 1.5 - Konkavitätsungleichung Bearbeiten
Damit gilt für , mit beliebig:
Da beliebig gewählt werden kann, folgt die Eigenschaft aus der Definition der Quasinorm.
Beweisteil 2: Bearbeiten
"' "': Nach Voraussetzung wird die Toplogie nun durch eine Quasinorm erzeugt. Damit bilden die -Kugeln der Quasinorm
eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen und absorbierenden Mengen.
Beweis 2.1 - Stetigkeit der Skalarmultiplikation Bearbeiten
Die Eigenschaft aus Definition der Quasinorm liefert die Stetigkeit der Skalarmultiplikation (siehe Topologisierungslemma für Algebren).
Beweis 2.2 - Lokalbeschränkheit Bearbeiten
ist eine beschränkte Nullumgebung, denn es gilt
Beweis 2.2 - Hausdorff-Eigenschaft Bearbeiten
Aus in der Definition der Quasinorm folgt, dass die Topologie Hausdorff'sch ist.
Beweis 2.3 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung Bearbeiten
Mit der Stetigkeitskonstante der Addition erhält man für - also und für beliebige :
Beweis 2.4 - Stetigkeit der Addition - Konkavitätsungleichung Bearbeiten
Die obige Ungleichung liefert nun die gesuchte Mengeninklusion für den Nachweis der Stetigkeit der Addition
Da die Inklusion für alle gilt, erhält man ebenfalls:
Also ist die Addition stetig auf .
Bemerkung: Lokalbeschränkt - Lokalkonvex Bearbeiten
Für lokalbeschränkte Räume wird folgende Verallgemeinerung des Begriffs "`konvex"' von Bedeutung sein (siehe Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen).
Siehe auch Bearbeiten
Seiteninformation Bearbeiten
Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.
Wiki2Reveal Bearbeiten
Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.
- Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
- Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit
- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
- ↑ Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.