Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler

Einleitung

Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die ${\mathcal {MLC}}$-regulären (bzw. die ${\mathcal {MPC}}$-regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen $p$-Halbnormensystem).

$\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},\,\,x,y\in A}:\,\,\,\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }$

MPC- bzw. MLC-Regularität

Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein $z\in A\in {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}$ mit $z\notin {\mathcal {MTNT}}(A)$ ein ${\mathcal {MPC}}$-reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse ${\mathcal {MLC}}_{e}^{k}$. Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.

Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren. Das sind die Elemente $u\in A$ einer Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}(0_{A})$, bei denen beliebige skalare Vielfache $\lambda \cdot u$ der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. $\lambda \cdot u\in U$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$).

Definition: Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ eine topologische Algebra mit ${\mathcal {T}}_{A}$ als System von offenen Mengen und ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung $\Lambda (U_{0})\subseteq U_{0}$ wird dann wie folgt definiert:

$\Lambda (U_{0}):=\left\{u\in U_{0}\,\colon \,\forall _{\lambda \in \mathbb {K} }:\,\,\lambda \cdot u\in U_{0}\right\}$

Bemerkung: Nullvektor

Für jede Nullumgebung $U_{0}$ gilt $\Lambda (U_{0})\not =\emptyset$, denn der Nullvektor $0_{A}\in U_{0}$ liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge $\Lambda (U_{0})$ von beliebigen Nullumgebungen ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$, denn für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ erhält man die Bedingung:

$\lambda \cdot 0_{A}=0_{A}\in U_{0}.$

Aufgabe 1 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ mit dem Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$ und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

$\|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx$

Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ zu der offenen Menge

$B_{\varepsilon }^{(n)}(0_{V}):=\left\{f\,:\,\|f\|_{n}=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx<\varepsilon \right\}$

die Elemente aus $\Lambda \left(B_{\varepsilon }^{(n)}(0_{V})\right)$ an.

Aufgabe 2 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Sei $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }^{(\ast )})$ die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ mit dem Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }^{(\ast )}$ und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

$\|f\|_{n}^{(\ast )}:=\displaystyle \max\{x\in [-n,+n]\}|f(x)|$

Geben Sie in $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ zu der offenen Menge $B_{\varepsilon }^{(n,\ast )}(0_{V}):=\left\{f\,:\,\|f\|_{n}^{(\ast )}<\varepsilon \right\}$ wieder alle Elemente aus $\Lambda \left(B_{\varepsilon }^{(n,\ast )}(0_{V})\right)$ an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?

Beispiele für skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

Wir betrachten die reelle ${\mathcal {MLC}}$-Algebra von Potenzreihen $\mathbb {R} ^{\infty }[t]$ mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit $\mathbb {R} ^{\infty }[t]$ beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in $\mathbb {R}$ sind.

${\begin{array}{rcl}p(t)&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ wie folgt definiert sind:}}\\\left|\!\left\|p\right\|\!\right|^{\downarrow m}&:=&\left|\!\left\|p^{\downarrow m}\right\|\!\right|=\displaystyle \sum _{k=0}^{m}|p_{k}|{\mbox{ mit }}m\in \mathbb {N} .\end{array}}$

Aufgabe: Skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung

Sei $\varepsilon >0$ beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen $p\in A:=\mathbb {R} ^{\infty }[t]$ mit $p_{k}=0$ für alle $k\in \{0,1,\ldots ,m\}$ zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen $U_{m}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ gehören mit:

$U_{m}:=B_{\varepsilon }^{m}(0_{A})=\left\{p\in A\,\colon \,\|p\|^{\downarrow m}<\varepsilon \right\}$

Cauchy-Produkt auf der Potenzreihenalgebra

${\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen $p,q$ als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

$${\begin{array}{rcl}p(t)&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{, }}q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\,{\mbox{ und }}\\(p\cdot q)(t)&:=&p(t)\cdot q(t):=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\cdot t^{n}.\end{array}}$$

Aufgabe 3 - Cauchy-Produkt - submultiplikative Halbnormen

Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.

Definition: Multiplikative topologische Nullteiler

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ die Bedingung:

$U_{0}\cdot U_{0}=U_{0}^{2}\subseteq U_{0}$

Für das entsprechende Gaugefunktionale $\|\cdot \|_{\alpha }$ gilt dann $\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }$ für alle $x,y\in A$.

Definition: Rechtsseitiger multiplikativer topologische Nullteiler

Man nennt ${\textstyle z\in A}$ einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass gilt für alle $\lambda >0$:

$$\lambda \cdot U_{0}\cap z\cdot (A\setminus U_{0})\not =\emptyset$$

Definition: Linksseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler

${\textstyle z\in A}$ heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)}$), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass für alle $\lambda >0$ gilt:

$$\lambda \cdot U_{0}\cap (A\setminus U_{0})\cdot z\not =\emptyset$$

Definition: multiplikativer topologischer Nullteiler

${\textstyle z\in A}$ ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}(A)}$), falls ${\textstyle z}$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.

Bemerkung: Multiplikative topologische Nullteiler

Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für ${\mathcal {MLC}}_{e}^{k}$-reguläre Elemente (1971), bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die ${\mathcal {MLC}}_{e}^{k}$-singulären Elemente der Algebra darstellt.

Lemma: MTNT - Gaugefunktionale

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein submultiplikatives $p$-Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$, dann gilt mit ${\mathcal {M}}({\mathcal {A}})$ als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

• $z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\Longleftrightarrow \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\alpha }=0$
• $z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\Longleftrightarrow \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|x\cdot z\|_{\alpha }=0$

In kommutativen Algebren gilt ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)={\mathcal {MTNT}}_{l}(A)={\mathcal {MTNT}}(A)$.

Beweis - MTNT - Gaugefunktionale

Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.

Lemma: Negation MTNT - Gaugefunktionale

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ ein unital positives submultiplikatives $p$-Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ einer ${\mathcal {MPC}}^{k}$-Algebra, dann gilt:

$z\notin {\mathcal {MTNT}}(A):\Longleftrightarrow \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{D_{\alpha }>0}:\,\|x\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\|z\cdot x\|_{\alpha }$

Bemerkung: MPC-Regularität

Bei der Charakterisierung der ${\mathcal {MPC}}_{e}^{k}$-Regularität sind die ${\mathcal {MPC}}_{e}^{k}$-singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die ${\mathcal {MPC}}_{e}^{k}$-regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ mit geeignet gewählten $D_{\alpha }>0$ erfüllen für alle $x\in A$:

$\|x\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\|z\cdot x\|_{\alpha }$

Lemma: Zusammenhang MTNT - TNT

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$, dann gilt ${\mathcal {TNT}}(A)\subseteq {\mathcal {MTNT}}(A)$.

Beweis - Zusammenhang MTNT - TNT

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann gilt ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ genau dann, wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$ gilt:

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0$$

Wenn $\|\cdot \|_{\alpha }$ submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für $\beta =\alpha$ und man erhält die Behauptung. $\Box$

Spezialfall für MTNT-Elemente

Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$. Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle $\beta \in {\mathcal {A}}$ gelten. Also folgt insbesondere:

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0$$

Damit gilt auch ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$.

Linksseitige und allgemeine TNT und MTNT

Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.

Bemerkung: MTNT - über Nullumgebungen

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ und $z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)$ ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass gilt:

$$0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}$$

Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ gilt:

$$0_{A}\in U\cap z\cdot (A\setminus U_{0})\not =\emptyset$$

Skalar unbeschränkte Teilmengen

Da der Nullvektor $0_{A}\in A$ in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen $\Lambda (U)$ von beliebigen Nullumgebungen ${\textstyle U\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ enthalten ist, gilt für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ die Bedingung:

$\lambda \cdot 0_{A}=0_{A}\in U_{0}$

Lemma: Zusammenhang MTNT und TNT

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:

• ${\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{l}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{r}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}(A)$

Aufgabe 4 - Teilmengenbeziehung zu MTNT

Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ auf $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ z.B. für ${\mathcal {TNT}}(A)\subseteq {\mathcal {MTNT}}(A)$.

Beweis Lemma Zusammenhang MTNT und TNT

Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:

• ${\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{l}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{r}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}(A)$

Banachalgebren - Lokalbeschränkte Algebren

Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:

• ${\mathcal {MTNT}}_{l}(A)={\mathcal {TNT}}_{l}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)={\mathcal {TNT}}_{r}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}(A)={\mathcal {TNT}}(A)$

MLC- und MPC-Regularität

Begründen Sie, dass die ${\mathcal {MLC}}_{e}^{k}$-singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein $z\in A\in {\mathcal {MLC}}_{e}^{k}$ gilt:

$z\in {\mathcal {MTNT}}(A)\Longleftrightarrow z\notin {\mathcal {G}}_{\mathcal {MLC}}(A)$

Lemma: Zusammenhang MTNT und TKP

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:

• ${\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{l}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{r}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}(A)$

Bemerkung TNT - TKP

Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:

• ${\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{l}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{r}(A)$
• ${\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}(A)$

Bezug zum Haupsatz über K-reguläre Elemente

Über die Teilmengenbeziehung ${\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}(A)$ kann es Elemente in eine ${\mathcal {MLC}}$-Algebra $A$ geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein ${\mathcal {MLC}}$-singuläres Element dennoch ${\mathcal {LC}}$-regulär sein.

Siehe auch

• Topologische Nullteiler
• TNT-Kriterium für Gaugefunktional
• MTNT-Kriterium für Gaugefunktional

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