Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente

Hauptsatz über K-reguläre Elemente

Bearbeiten

Sei   eine kommutative topologische Algebra mit einem unital positiven, basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem  . Ferner sei   ein Hausdorff-Raum, dann gelten folgenden Charakterisierungssätze der  -regulären Elemente.

Lokalbeschränkte topologische Algebren

Bearbeiten

Wird die Topologie der  -Algebra von einer  -Norm oder einer Quasinorm topologisiert, dann ist   genau dann  -regulär[1], wenn   gilt (also  )

Topologische Algebren mit submultiplikativen p-Halbnormen

Bearbeiten

Wird die Topologie der  -Algebra von einem submultiplikativen  -Halbnormensystem oder einem submultiplikativen Quasihalbnormensystem topologisiert, dann ist   genau dann  -regulär[2], wenn   gilt (also  )

Lokalkonvexe und pseudokonvexe topologische Algebren

Bearbeiten

Wird die Topologie der  -Algebra von einem  -Halbnormensystem, dann ist   genau dann  -regulär[3], wenn   das  -Regularitätskriterium erfüllt (also   - siehe auch LC-Regularitätskriterium)

Topologische Algebren

Bearbeiten

Wird die  -Algebra von einem Gaugefunktionalsystem topologisiert, dann ist   genau dann  -regulär, wenn   das  -Regularitätskriterium erfüllt (also  )

Bemerkung

Bearbeiten

Die Menge der multiplikativen lokalkonvexen topologischen Algebren   ist in der Algebrenklasse in der Klasse der lokalkonvexen topologischen Algebren   enthalten. Es ist möglich, dass ein Element   zwar  -singulär ist (wegen  ), aber dennoch kann es eine  -Erweiterung von   besitzt, in der   invertierbar ist, weil   gilt. Dies kann dann der Fall sein, wenn   mit

 

Multiplikative topologische Nullteiler, die dennoch topologisch große Potenzen besitzen, sind also z.B.  -singulär aber  -regulär.

Aufgabe für Studierende

Bearbeiten

Konstruieren Sie in eine multiplikative lokalkonvexe Algebra der Polynome   und wählen Sie Polynome  , die kleinen Potenzen besitzen und die keine multiplikative topologische Nullteiler sind.

Quellennachweise

Bearbeiten
  1. Arens R. (1958), Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, S. 536-548
  2. Zelazko Wieslaw (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 S. 181-190
  3. Zelazko Wieslaw (1984), Concerning characterization of permanently singular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia S. 326-333

Siehe auch

Bearbeiten

Seiteninformation

Bearbeiten

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Bearbeiten

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.