Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente
Hauptsatz über K-reguläre Elemente
BearbeitenSei eine kommutative topologische Algebra mit einem unital positiven, basiserzeugenden Gaugefunktionalsystem . Ferner sei ein Hausdorff-Raum, dann gelten folgenden Charakterisierungssätze der -regulären Elemente.
Lokalbeschränkte topologische Algebren
BearbeitenWird die Topologie der -Algebra von einer -Norm oder einer Quasinorm topologisiert, dann ist genau dann -regulär[1], wenn gilt (also )
Topologische Algebren mit submultiplikativen p-Halbnormen
BearbeitenWird die Topologie der -Algebra von einem submultiplikativen -Halbnormensystem oder einem submultiplikativen Quasihalbnormensystem topologisiert, dann ist genau dann -regulär[2], wenn gilt (also )
Lokalkonvexe und pseudokonvexe topologische Algebren
BearbeitenWird die Topologie der -Algebra von einem -Halbnormensystem, dann ist genau dann -regulär[3], wenn das -Regularitätskriterium erfüllt (also - siehe auch LC-Regularitätskriterium)
Topologische Algebren
BearbeitenWird die -Algebra von einem Gaugefunktionalsystem topologisiert, dann ist genau dann -regulär, wenn das -Regularitätskriterium erfüllt (also )
Bemerkung
BearbeitenDie Menge der multiplikativen lokalkonvexen topologischen Algebren ist in der Algebrenklasse in der Klasse der lokalkonvexen topologischen Algebren enthalten. Es ist möglich, dass ein Element zwar -singulär ist (wegen ), aber dennoch kann es eine -Erweiterung von besitzt, in der invertierbar ist, weil gilt. Dies kann dann der Fall sein, wenn mit
Multiplikative topologische Nullteiler, die dennoch topologisch große Potenzen besitzen, sind also z.B. -singulär aber -regulär.
Aufgabe für Studierende
BearbeitenKonstruieren Sie in eine multiplikative lokalkonvexe Algebra der Polynome und wählen Sie Polynome , die kleinen Potenzen besitzen und die keine multiplikative topologische Nullteiler sind.
Quellennachweise
Bearbeiten- ↑ Arens R. (1958), Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, S. 536-548
- ↑ Zelazko Wieslaw (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37 S. 181-190
- ↑ Zelazko Wieslaw (1984), Concerning characterization of permanently singular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia S. 326-333
Siehe auch
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