Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen
Einführung Bearbeiten
In die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.
Geschichte Bearbeiten
Die folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"[1]). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder Erweiterung von liegen.
Definition: Kleine Potenzen Bearbeiten
Sei eine topologische Algebra über . Ein Element besitzt kleine Potenzen (Bezeichnung: ), falls gilt:
Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen Bearbeiten
Sei die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig absolut konvergent) mit Koeffizienten in und den Halbnormen
Vollständigkeit Bearbeiten
Die Algebra der Potenzreihen ist eine vollständig metrisierbare kommuntative -Algebra (d.h. multiplikativ lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe in mit
liefert zugleich auch komponentenweise für alle Cauchy-Folgen in .
Komponentenweise Cauchy-Folgen Bearbeiten
Da sind die Komponentenfolgen konvergent gegen ein . Die Potenzreihe
ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge
Topologische Nullteiler Bearbeiten
besitzt mit Ausnahme von keine topologischen Nullteiler. Außerdem besitzt jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind hier Potenzreihen mit ) kleine Potenzen, also insbesondere für mit , denn für gilt: .
Invertierbare Potenzreihen Bearbeiten
Sei eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen und mit . So kann man die inverse formale Potenzreihe induktiv definieren. Sei und die ersten Koeffizienten der Potenzreihe seien bekannt, dann setzt man
Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von und erhält man .
Bemerkung Bearbeiten
Wenn die formale Potenzreihe invers zu ist, dann gilt:
mit .
Aufgabe 1 - Inverse Potenzreihen Bearbeiten
Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe mit bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit
- (1)
- (2) für
folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:
Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen Bearbeiten
Das Polynom mit besitzt zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber ist aber kein topologischer Nullteiler in .
Potenzreihenalgbren - Kleine Potenzen Bearbeiten
Sei die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom mit gegeben. Auf ist das oben definierte Halbnormensystem mit
Dann gilt:
- Das Polynom besitzt kleine Potenzen.
- ist kein topologischer Nullteiler.
Beweis Bearbeiten
Zunächst wird gezeigt, dass kleine Potenzen besitzt.
Beweis 1 - Kleine Potenzen Bearbeiten
Für alle gilt mit . Also gilt .
Beweis 2 - Topologische Nullteiler Bearbeiten
Angenommen wäre ein topologischer Nullteiler in , dann gibt es ein , so dass
für alle erfüllt ist.
Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch Bearbeiten
Das ist aber nicht möglich, denn es gilt für alle mit die Bedingung:
Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch Bearbeiten
Darüber erhält man den Widerspruch mit .
Bemerkung: Banachalgebren Bearbeiten
In einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge genau der Menge aller nilpotenten Elemente von , denn mit folgt auch .
Lemma: Produkte - kleine Potenzen Bearbeiten
Sei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:
Beweis Bearbeiten
Die Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:
- (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass und man zeigt die Eigenschaft für Nullumgebungen,
- (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen und man zeigt, dass gilt
Beweisteil 1 Bearbeiten
Mit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede Nullumgebung ein mit . Nach der Definition von gilt
Anwendung - Nullumgebungen absorbierend Bearbeiten
Da als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle ein mit . Damit gilt
Exponent für z Bearbeiten
Mit ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).
Beweisteil 2 Bearbeiten
Für die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass gilt.
Wahl des Exponenten Bearbeiten
Für den Exponenten von zu einer beliebigen Nullumgebung setzt man den gesuchten Exponenten , wobei der Exponent für die Voraussetzung der Umkehrung ist.
Teilmengenbeziehung Bearbeiten
Man erhält für ein beliebiges folgende Teilmengenbeziehung:
Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz
Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale Bearbeiten
Sei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:
Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale Bearbeiten
Mit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.
Aufgabe für Studierende Bearbeiten
Beweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.
KP-Lemma: höhere Potenzen Bearbeiten
Sei , dann besitzt genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:
Beweisaufgabe Bearbeiten
Beweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.
- Starten Sie zunächst mit -Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
- Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:
KP-Lemma: Reihenkonvergenz Bearbeiten
Sei , dann gilt:
Beweis - Reihenkonvergenz Bearbeiten
Sei , so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle
Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale Bearbeiten
Bei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle ebenfalls die Bedingung:
Mit der Submultiplikativität erhält man über ( -)Homogenität dann
Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale Bearbeiten
Bei submultiplikativen ( -)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein , sodass für alle ebenfalls die Bedingung:
Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über ( -)Homogenität ebenfalls
Elemente ohne kleine Potenzen Bearbeiten
Ist , dann existiert ein , so dass gilt:
Reihendivergenz Bearbeiten
Durch die Indizierung mit statt summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über
Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma.
Satz: Kleine Potenzen - Ideal Bearbeiten
Sei , dann ist ein Ideal in .
Beweis Bearbeiten
Mit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man
Multiplikation mit Skalaren Bearbeiten
Insbesondere gilt mit und für alle auch
Additivität von zwei Elementen mit KP Bearbeiten
Es bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus wieder kleine Potenzen besitzt.
Anwendung - Stetigkeit der Addition Bearbeiten
Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes ein mit . Mit der Definition von gilt für :
Maximum von Exponenten für KP-Elemente Bearbeiten
Man setzt für alle . Damit bleibt die Inklusion nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist
Betrachtung einzelner Summanden Bearbeiten
Multipliziert man aus, so hat jeder Summand die Form mit oder und geeignet gewählte Koeffizienten .
Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten Bearbeiten
Klammert man bei den jeweiligen Summanden bzw. aus, dann lässt sich die faktorisierte Summe für passende wie folgt schreiben:
KP-Summen - kleine Potenzen Bearbeiten
Also gilt und ist ein Ideal in .
Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit Bearbeiten
Das folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra nicht invertierbar sein können.
KP-Lemma: Invertierbarkeit Bearbeiten
Ein Element mit ist nicht invertierbar, d.h. .
Beweis: Invertierbarkeit Bearbeiten
Beweis durch Widerspruch: Sei .
Annahme: Sei und sei das inverse Element zu .
Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation Bearbeiten
Da Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung , die das Einselement nicht enthält. Zu kann man über die Stetigkeit der Multiplikation auf ein finden mit .
Anwendung der KP-Eigenschaft Bearbeiten
Aus folgt für die Nullumgebung
Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch ) absorbierend ist, gibt es ein mit
Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit Bearbeiten
Damit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:
Damit folgt die Behauptung.
KP-Lemma: permanent singulär Bearbeiten
Sei mit , dann ist ein permanent singuläres Element.
Aufgabe für Studierende Bearbeiten
Zeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!
- Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung von kleine Potenzen besitzt.
- Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra sein können.
Siehe auch Bearbeiten
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- ↑ Zelazko Wieslaw, (1983) On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75, S. 265-272