Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen

Einführung

In die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen ${\textstyle {\mathcal {KP}}}$ und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.

Geschichte

Die folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder ${\textstyle {\mathcal {K}}-}$Erweiterung ${\textstyle B}$ von ${\textstyle A}$ liegen.

Definition: Kleine Potenzen

Sei ${\textstyle A}$ eine topologische Algebra über ${\textstyle \mathbb {K} }$. Ein Element ${\textstyle z\in A}$ besitzt kleine Potenzen (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$), falls gilt:

$$\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(0)}\exists _{\displaystyle n(U)\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{n(U)}\in U.$$

Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen

Sei ${\textstyle A:=\mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig konvergent) mit Koeffizienten in ${\textstyle \mathbb {R} }$ und den Halbnormen

$$\left\|p\right\|_{m}:=\sum _{k=0}^{m}|p_{k}|{\mbox{ mit }}p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}$$

Aufgabe für Studierende

• Weisen Sie die Eigenschaften einer Halbnorm nach.
• Zeigen Sie, dass jedes Monom $q^{(m)}\in A$ mit $q^{(m)}(t)=1\cdot t^{m}$ kleine Potenzen besitzt.

Vollständigkeit

Die Algebra der Potenzreihen ${\textstyle A}$ ist eine vollständig metrisierbare kommuntative ${\textstyle {\mathcal {MLC}}}$-Algebra (d.h. multiplikativ lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe $\left(p^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in $A$ mit

$p^{(n)}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}^{(n)}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}p_{k}^{(n)}\in \mathbb {R}$

liefert zugleich auch komponentenweise für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ Cauchy-Folgen $\left(p^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R}$.

Komponentenweise Cauchy-Folgen

Da $\mathbb {R}$ sind die Komponentenfolgen $\left(p^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent gegen ein $p_{k}\in \mathbb {R}$. Die Potenzreihe

$p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}\lim _{n\to \infty }p_{k}^{(n)}=p_{k}$

ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge $\left(p^{(n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Topologische Nullteiler

${\textstyle A}$ besitzt mit Ausnahme von ${\textstyle 0}$ keine topologischen Nullteiler. Außerdem besitzt jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind hier Potenzreihen mit ${\textstyle p_{o}=0}$) kleine Potenzen, also insbesondere für $r\in A$ mit ${\textstyle r(t)=t}$, denn für ${\textstyle n>m}$ gilt: ${\textstyle \left\|r^{n}\right\|_{m}=0}$.

Invertierbare Potenzreihen

Sei $p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}$ eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ und mit ${\textstyle p_{o}\not =0}$. So kann man die inverse formale Potenzreihe ${\textstyle q\in A}$ induktiv definieren. Sei ${\textstyle q_{o}:={\frac {1}{p_{o}}}}$ und die ersten ${\textstyle n}$ Koeffizienten der Potenzreihe ${\textstyle q(t)}$ seien bekannt, dann setzt man

$$q_{n+1}:=-{\frac {1}{p_{o}}}\cdot \sum _{k=1}^{n+1}p_{k}\cdot q_{n+1-k}\in \mathbb {R} .$$

Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes

Das Cauchyproduktes von ${\textstyle p(t)}$ und ${\textstyle q(t)}$ erhält man ein weiteres Polynom ${\textstyle p(t)\cdot q(t)=q(t)\cdot p(t)=r(t)}$. Dabei soll nun $r_{0}=1$ und $r_{k}=0$ für alle $k\geq 1$ sein, damit ${\textstyle p(t)\cdot q(t)=q(t)\cdot p(t)=1}$ gilt.

Induktive Definition

Mit der obigen induktiven

• $q_{0}:={\frac {1}{p_{0}}}$ gilt $r_{0}=p_{0}\cdot q_{0}=1$.
• Wenn für $r_{1}=p_{0}\cdot q_{1}+p_{1}\cdot q_{0}=0$ gelten muss, dann kann man die Gleichung nach $q_{1}$ auflösen und man erhält:

$q_{1}:=-{\frac {1}{p_{0}}}(p_{1}\cdot q_{0})$

• Wenn für $r_{2}=p_{0}q_{2}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{0}=0$ gelten muss, dann kann man die Gleichung wieder nach $q_{2}$ auflösen und man erhält:

$q_{2}:=-{\frac {1}{p_{0}}}(p_{1}\cdot q_{1}+p_{2}q_{0})$

Insgesamt erhält man induktiv die oben angegebene Formel für das multiplikative Inverse $q$.

Algebraische Inverse - Konvergenz bzgl. Gaugefunktionalen

Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von ${\textstyle p(t)}$ und ${\textstyle q(t)}$ erhält man insgesamt also ${\textstyle p(t)\cdot q(t)=q(t)\cdot p(t)=1}$. Diese algebraischen Inverseneigenschaft liefert allerdings topologisch keine Konvergenzeigenschaften, dass diese Potenzreihen bzgl. einer Topologie mit Gaugefunktionalen endliche Werte für die Gaugefunktionale liefert.

Bemerkung

Wenn die formale Potenzreihe $q\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]$ invers zu $p$ ist, dann gilt:

$p\cdot q=e$

mit $e(t):=\sum _{n=0}^{\infty }e_{n}\cdot t^{n}=1\cdot t^{0}+\sum _{n=1}^{\infty }e_{n}\cdot t^{n}$.

Aufgabe 1 - Inverse Potenzreihen

Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe $p\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]$ mit ${\textstyle p_{o}\not =0}$ bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit $p\cdot q=e$

• (1) $p_{0}\cdot q_{0}=1=e_{0}$
• (2) $\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}=0=e_{n}$ für $n>0$

folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:

$\displaystyle q_{0}:={\frac {1}{p_{0}}}{\mbox{ und }}q_{n}:=-{\frac {1}{p_{o}}}\cdot \sum _{k=1}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\in \mathbb {R} {\mbox{ für }}n>0.$

Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen

Zeigen Sie, dass das Polynom $r\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]$ mit ${\textstyle r(t)=1\cdot t^{1}=t}$ zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber ${\textstyle r\in \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ ist aber kein topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$.

Aufgabe 3 - Elemente mit kleine Potenzen

Zeigen Sie, dass jedes Polynom $r\in A:=\mathbb {R} ^{\infty }[t]$ mit ${\textstyle r_{0}=0}$ kleine Potenzen in der Partialsummentopologie ${\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ mit der Partialsummentopologie auf ${\textstyle A}$ besitzt und damit permanent singulär.

Potenzreihenalgbren - Kleine Potenzen

Sei ${\textstyle A:=\mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom $r\in A$ mit ${\textstyle r(t)=t}$ gegeben. Auf $A$ ist das oben definierte Halbnormensystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathbb {N} }$ mit

$$\left\|p\right\|_{m}:=\sum _{k=0}^{m}|p_{k}|{\mbox{ mit }}p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}$$

Dann gilt:

• Das Polynom $r$ besitzt kleine Potenzen.
• $r$ ist kein topologischer Nullteiler.

Beweis

Zunächst wird gezeigt, dass $r\in A$ kleine Potenzen besitzt.

Beweis 1 - Kleine Potenzen

Für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ gilt ${\textstyle \left\|r^{n+1}\right\|_{n}=0}$ mit $r^{n+1}(t)=t^{n+1}$. Also gilt ${\textstyle r\in {\mathcal {KP}}(A)}$.

Beweis 2 - Topologische Nullteiler

Angenommen ${\textstyle t}$ wäre ein topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$, dann gibt es ein ${\textstyle m\in \mathbb {N} }$, so dass

$$\displaystyle \inf _{\left\|q\right\|_{m}=1}\left\|q(t)\cdot t\right\|_{n}=0$$

für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ erfüllt ist.

Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch

Das ist aber nicht möglich, denn es gilt für alle ${\textstyle q\in A}$ mit ${\textstyle \left\|q\right\|_{m}=1}$ die Bedingung:

${\begin{array}{rcl}1&=&\left\|q(t)\right\|_{m}=\displaystyle \sum _{k=0}^{m}|q_{k}|{\mbox{ mit }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\\&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{m+1}|q_{k-1}|=\left\|q\cdot r\right\|_{m+1}{\mbox{ mit }}q\cdot r(t):=\sum _{k=1}^{\infty }q_{k-1}\cdot t^{k}\\\\&\Rightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|q\right\|_{m}=1}\left\|q\cdot r\right\|_{m+1}=1\end{array}}$

Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch

Darüber erhält man den Widerspruch ${\textstyle r\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ mit $r(t)=t$. $\Box$

Bemerkung: Banachalgebren

In einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge ${\textstyle {\mathcal {KP}}(A)}$ genau der Menge aller nilpotenten Elemente von ${\textstyle A}$, denn mit ${\textstyle \left\|z^{n}\right\|=0}$ folgt auch ${\textstyle z^{n}=0}$.

Lemma: Produkte - kleine Potenzen

Sei ${\textstyle A\in {\mathcal {T}}(\mathbb {K} )}$ eine topologische Algebra über ${\textstyle \mathbb {K} }$, dann besitzt ${\textstyle z\in A}$ genau dann kleine Potenzen (${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$), falls gilt:

$$\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle n(U)\in \mathbb {N} }:A\cdot z^{n(U)}\subset U.$$

Beweis

Die Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:

• (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ und man zeigt die Eigenschaft $A\cdot z^{n(U)}\subset U$ für Nullumgebungen,
• (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass $A\cdot z^{n(U)}\subset U$ für Nullumgebungen und man zeigt, dass ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ gilt

Beweisteil 1

Mit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede Nullumgebung ${\textstyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ ein ${\textstyle V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ mit ${\textstyle V^{2}\subset U}$. Nach der Definition von ${\textstyle {\mathcal {KP}}(A)}$ gilt

$$\exists _{\displaystyle n(V)\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{n(V)}\in V.$$

Anwendung - Nullumgebungen absorbierend

Da ${\textstyle V}$ als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle ${\textstyle a\in A}$ ein ${\textstyle \lambda _{a}\in \mathbb {K} ^{+}}$ mit ${\textstyle \lambda _{a}\cdot a\in V}$. Damit gilt

$$a\cdot z^{n(V)}=\underbrace {\lambda _{a}\cdot a} _{\in V}\cdot \underbrace {{\frac {1}{\lambda _{a}}}\cdot z^{n(V)}} _{\in V}\in V^{2}\subset U.$$

Exponent für z

Mit ${\textstyle n(U):=n(V)}$ ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).

Beweisteil 2

Für die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass $A\cdot z^{n(U)}\subset U$ für Nullumgebungen $U$ erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ gilt.

Wahl des Exponenten

Für den Exponenten von $z$ zu einer beliebigen Nullumgebung $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})$ setzt man den gesuchten Exponenten $n:=n(U)+1\in \mathbb {N}$, wobei $n(U)\in \mathbb {N}$ der Exponent für die Voraussetzung $A\cdot z^{n(U)}\subset U$ der Umkehrung ist.

Teilmengenbeziehung

Man erhält für ein beliebiges $\lambda \in \mathbb {K}$ folgende Teilmengenbeziehung:

$${\begin{array}{rcl}\lambda \cdot \underbrace {z^{n}} _{=z^{n(U)+1}}&=&\lambda \cdot z\cdot z^{n(U)}\in \underbrace {(\mathbb {K} \cdot z)} _{\subset A}\cdot z^{n(U)}\\&\subset &A\cdot z^{n(U)}\subset U.\end{array}}$$

Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz $\Box$

Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}(\mathbb {K} )}$ eine topologische Algebra über ${\textstyle \mathbb {K} }$, dann besitzt ${\textstyle z\in A}$ genau dann kleine Potenzen (${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$), falls gilt:

$$\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\displaystyle n(\alpha )\in \mathbb {N} }:\left\|z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }=0.$$

Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale

Mit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.

Aufgabe für Studierende

Beweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.

KP-Lemma: höhere Potenzen

Sei ${\textstyle A\in {\mathcal {T}}(\mathbb {K} )}$, dann besitzt ${\textstyle z\in A}$ genau dann kleine Potenzen (${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$), falls gilt:

$$\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}\exists _{\displaystyle n(U)\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle n\geq n(U),\lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{n}\in U.$$

Beweisaufgabe

Beweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.

• Starten Sie zunächst mit $p$-Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
• Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:

$\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }$

KP-Lemma: Reihenkonvergenz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}(\mathbb {K} )}$, dann gilt:

$$z\in {\mathcal {KP}}(A)\,\Longleftrightarrow \,\forall _{\displaystyle (\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} _{0}},\alpha \in {\mathcal {A}}}:\sum _{k=0}^{\infty }\left\|\lambda _{k}z^{k}\right\|_{\alpha }<\infty .$$

Beweis - Reihenkonvergenz

Sei ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$, so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$

$$\left\|z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }=0$$

Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale

Bei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle $n>n(\alpha )$ ebenfalls die Bedingung:

$$\left\|z^{n}\right\|_{\alpha }=\left\|z^{n-n(\alpha )}\cdot z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }\leq \left\|z^{n-n(\alpha )}\right\|_{\alpha }\cdot \underbrace {\left\|z^{n(\alpha )}\right\|_{\alpha }} _{=0}=0$$

Mit der Submultiplikativität erhält man über ($p$-)Homogenität dann

$$\sum _{k=0}^{\infty }\left\|\lambda _{k}z^{k}\right\|_{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }=\sum _{k=0}^{n(\alpha )-1}\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }<\infty .$$

Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale

Bei submultiplikativen ($p$-)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein $\beta \in {\mathcal {A}}$, sodass für alle $n>n(\beta )$ ebenfalls die Bedingung:

$$\left\|z^{n}\right\|_{\alpha }=\left\|z^{n-n(\beta )}\cdot z^{n(\beta )}\right\|_{\alpha }\leq \left\|z^{n-n(\beta )}\right\|_{\beta }\cdot \underbrace {\left\|z^{n(\beta )}\right\|_{\beta }} _{=0}=0$$

Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über ($p$-)Homogenität ebenfalls

$$\sum _{k=0}^{\infty }\left\|\lambda _{k}z^{k}\right\|_{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }\sum _{k=0}^{n(\beta )-1}\lambda _{k}|^{p}\cdot \left\|z^{k}\right\|_{\alpha }<\infty .$$

Elemente ohne kleine Potenzen

Ist ${\textstyle z\notin {\mathcal {KP}}(A)}$, dann existiert ein ${\textstyle U_{\alpha }:={\rm {B}}_{1}^{\alpha }(0)}$, so dass gilt:

${\begin{array}{rcl}\forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{m(n)\geq n,\lambda _{m(n)}\in \mathbb {K} }&:&\lambda _{m(n)}\cdot z^{m(n)}\notin U_{\alpha }\\&\Rightarrow &\left\|\lambda _{m(n)}\cdot z^{m(n)}\right\|_{\alpha }\geq 1.\end{array}}$

Reihendivergenz

Durch die Indizierung mit $m(n)$ statt $k$ summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über

$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left\|\lambda _{m(n)}\cdot z^{m(n)}\right\|_{\alpha }} _{\geq 1}=\infty .$$

Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma. $\Box$

Satz: Kleine Potenzen - Ideal

Sei ${\textstyle A\in {\mathcal {T}}^{k}(\mathbb {K} )}$, dann ist ${\textstyle {\mathcal {KP}}(A)}$ ein Ideal in ${\textstyle A}$.

Beweis

Mit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man

$$A\cdot {\mathcal {KP}}(A)\subset {\mathcal {KP}}(A).$$

Multiplikation mit Skalaren

Insbesondere gilt mit ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ und ${\textstyle \mathbb {K} \cdot z^{n(U)}\subset U}$ für alle ${\textstyle U\in {\mathfrak {U}}(0)}$ auch

$$\mathbb {K} \cdot (\lambda \cdot z)^{n(U)}=\mathbb {K} \cdot \lambda ^{n(U)}\cdot z^{n(U)}\subset \mathbb {K} \cdot z^{n(U)}\subset U{\mbox{ mit }}\lambda \in \mathbb {K} .$$

Additivität von zwei Elementen mit KP

Es bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus ${\textstyle {\mathcal {KP}}(A)}$ wieder kleine Potenzen besitzt.

Anwendung - Stetigkeit der Addition

Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes ${\textstyle U\in {\mathfrak {U}}(0)}$ ein ${\textstyle V\in {\mathfrak {U}}(0)}$ mit ${\textstyle V+V\subset U}$. Mit der Definition von ${\textstyle {\mathcal {KP}}(A)}$ gilt für ${\textstyle x,y\in {\mathcal {KP}}(A)}$:

$$\mathbb {K} \cdot x^{m(V)},\mathbb {K} \cdot y^{n(V)}\subset V{\mbox{ für alle }}V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}).(\ast )$$

Maximum von Exponenten für KP-Elemente

Man setzt ${\textstyle k(V):=\max\{m(V),n(V)\}}$ für alle ${\textstyle V\in {\mathfrak {U}}(0)}$. Damit bleibt die Inklusion ${\textstyle (\ast )}$ nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist

$$\mathbb {K} \cdot x^{k(V)},\mathbb {K} \cdot y^{k(V)}\subset V{\mbox{ für alle }}V\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A}).$$

Betrachtung einzelner Summanden

Multipliziert man ${\textstyle (x+y)^{2\cdot k(V)}}$ aus, so hat jeder Summand die Form ${\textstyle \lambda _{(i,j)}x^{i}y^{j}}$ mit ${\textstyle j\geq k(V)}$ oder ${\textstyle i\geq k(V)}$ und geeignet gewählte Koeffizienten ${\textstyle \lambda _{(i,j)}}$.

Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten

Klammert man bei den jeweiligen Summanden ${\textstyle x^{k(V)}}$ bzw. ${\textstyle y^{k(V)}}$ aus, dann lässt sich die faktorisierte Summe für passende ${\textstyle a,b\in A}$ wie folgt schreiben:

$$\underbrace {a\cdot x^{k(V)}} _{\in V}+\underbrace {b\cdot y^{k(V)}} _{\in V}\in V+V\subset U.$$

KP-Summen - kleine Potenzen

Also gilt ${\textstyle \mathbb {K} \cdot (x+y)^{2\cdot k(V)}\subset U}$ und ${\textstyle {\mathcal {KP}}(A)}$ ist ein Ideal in ${\textstyle A}$. $\Box$

Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit

Das folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ nicht invertierbar sein können.

KP-Lemma: Invertierbarkeit

Ein Element ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ mit ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}(\mathbb {K} )_{e}}$ ist nicht invertierbar, d.h. ${\textstyle z\notin {\mathcal {G}}(A)}$.

Beweis: Invertierbarkeit

Beweis durch Widerspruch: Sei $z\in {\mathcal {KP}}(A)$.

Annahme: Sei ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}(A)}$ und sei ${\textstyle z^{-1}}$ das inverse Element zu $z\in A$.

Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation

Da ${\textstyle A}$ Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung ${\textstyle U_{e}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$, die das Einselement ${\textstyle e}$ nicht enthält. Zu ${\textstyle U_{e}}$ kann man über die Stetigkeit der Multiplikation auf ${\textstyle A}$ ein ${\textstyle V_{e}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ finden mit ${\textstyle V_{e}^{^{2}}\subset U_{e}}$.

Anwendung der KP-Eigenschaft

Aus ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ folgt für die Nullumgebung $U_{e}$

$$\exists _{\displaystyle n(V_{_{e}})\in \mathbb {N} }\forall _{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }:\lambda \cdot z^{^{n(V_{e})}}\in U_{e}.$$

Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch $V_{e}$) absorbierend ist, gibt es ein ${\textstyle \lambda _{_{n(V_{e})}}>0}$ mit

$$\lambda _{_{n(V_{e})}}\cdot \underbrace {z^{^{-n(V_{e})}}} _{=\left(z^{-1}\right)^{^{n(V_{e})}}}\in V_{e}$$.

Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit

Damit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:

$${\begin{array}{rcl}U_{e}\not \ni e&=&z^{-n(V_{e})}\cdot z^{n(V_{e})}\\&=&\underbrace {\lambda _{_{n(V_{e})}}\cdot z^{-n(V_{e})}} _{\in V_{e}}\cdot \underbrace {{\frac {1}{\lambda _{_{n(V_{e})}}}}\cdot z^{n(V_{e})}} _{\in V_{e}}\in V_{e}^{^{2}}\\&\in &V_{e}\cdot V_{e}=V_{e}^{2}\subset U_{e}.\end{array}}$$

Damit folgt die Behauptung. $\Box$

KP-Lemma: permanent singulär

Sei ${\textstyle z\in {\mathcal {KP}}(A)}$ mit ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$, dann ist ${\textstyle z}$ ein permanent singuläres Element.

Aufgabe für Studierende

Zeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!

• Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung $B$ von $A$ kleine Potenzen besitzt.
• Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra $A$ sein können.

Siehe auch

• topologisch kleine Potenzen
• topologische Nullteiler

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