Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen

Einführung

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In die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen   und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.

Geschichte

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Die folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"[1]). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra   die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder  Erweiterung   von   liegen.

Definition: Kleine Potenzen

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Sei   eine topologische Algebra über  . Ein Element   besitzt kleine Potenzen (Bezeichnung:  ), falls gilt:

 


Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen

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Sei   die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig absolut konvergent) mit Koeffizienten in   und den Halbnormen

 

Vollständigkeit

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Die Algebra der Potenzreihen   ist eine vollständig metrisierbare kommuntative  -Algebra (d.h. multiplikativ lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe   in   mit

 

liefert zugleich auch komponentenweise für alle   Cauchy-Folgen   in  .

Komponentenweise Cauchy-Folgen

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Da   sind die Komponentenfolgen   konvergent gegen ein  . Die Potenzreihe

 

ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge  

Topologische Nullteiler

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  besitzt mit Ausnahme von   keine topologischen Nullteiler. Außerdem besitzt jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind hier Potenzreihen mit  ) kleine Potenzen, also insbesondere für   mit  , denn für   gilt:  .

Invertierbare Potenzreihen

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Sei   eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen   und mit  . So kann man die inverse formale Potenzreihe   induktiv definieren. Sei   und die ersten   Koeffizienten der Potenzreihe   seien bekannt, dann setzt man

 

Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von   und   erhält man  .

Bemerkung

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Wenn die formale Potenzreihe   invers zu   ist, dann gilt:

 

mit  .

Aufgabe 1 - Inverse Potenzreihen

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Zeigen Sie, dass eine Potenzreihe   mit   bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit  

  • (1)  
  • (2)   für  

folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:

 

Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen

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Das Polynom   mit   besitzt zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber   ist aber kein topologischer Nullteiler in  .

Potenzreihenalgbren - Kleine Potenzen

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Sei   die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom   mit   gegeben. Auf   ist das oben definierte Halbnormensystem   mit

 

Dann gilt:

  • Das Polynom   besitzt kleine Potenzen.
  •   ist kein topologischer Nullteiler.

Zunächst wird gezeigt, dass   kleine Potenzen besitzt.

Beweis 1 - Kleine Potenzen

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Für alle   gilt   mit  . Also gilt  .

Beweis 2 - Topologische Nullteiler

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Angenommen   wäre ein topologischer Nullteiler in  , dann gibt es ein  , so dass

 

für alle   erfüllt ist.

Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch

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Das ist aber nicht möglich, denn es gilt für alle   mit   die Bedingung:

 

Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch

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Darüber erhält man den Widerspruch   mit  .  

Bemerkung: Banachalgebren

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In einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge   genau der Menge aller nilpotenten Elemente von  , denn mit   folgt auch  .

Lemma: Produkte - kleine Potenzen

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Sei   eine topologische Algebra über  , dann besitzt   genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:

 

Die Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:

  • (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass   und man zeigt die Eigenschaft   für Nullumgebungen,
  • (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass   für Nullumgebungen und man zeigt, dass   gilt

Beweisteil 1

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Mit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede Nullumgebung   ein   mit  . Nach der Definition von   gilt

 

Anwendung - Nullumgebungen absorbierend

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Da   als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle   ein   mit  . Damit gilt

 

Exponent für z

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Mit   ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).

Beweisteil 2

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Für die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass   für Nullumgebungen   erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass   gilt.

Wahl des Exponenten

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Für den Exponenten von   zu einer beliebigen Nullumgebung   setzt man den gesuchten Exponenten  , wobei   der Exponent für die Voraussetzung   der Umkehrung ist.

Teilmengenbeziehung

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Man erhält für ein beliebiges   folgende Teilmengenbeziehung:

 

Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz  

Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale

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Sei   eine topologische Algebra über  , dann besitzt   genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:

 

Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale

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Mit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.

Aufgabe für Studierende

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Beweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.

KP-Lemma: höhere Potenzen

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Sei  , dann besitzt   genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:

 

Beweisaufgabe

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Beweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.

  • Starten Sie zunächst mit  -Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
  • Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:
 

KP-Lemma: Reihenkonvergenz

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Sei  , dann gilt:

 

Beweis - Reihenkonvergenz

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Sei  , so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle  

 

Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale

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Bei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle   ebenfalls die Bedingung:

 

Mit der Submultiplikativität erhält man über ( -)Homogenität dann

 

Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale

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Bei submultiplikativen ( -)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein  , sodass für alle   ebenfalls die Bedingung:

 

Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über ( -)Homogenität ebenfalls

 

Elemente ohne kleine Potenzen

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Ist  , dann existiert ein  , so dass gilt:

 

Reihendivergenz

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Durch die Indizierung mit   statt   summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über

 

Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma.  

Satz: Kleine Potenzen - Ideal

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Sei  , dann ist   ein Ideal in  .

Mit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man

 

Multiplikation mit Skalaren

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Insbesondere gilt mit   und   für alle   auch

 

Additivität von zwei Elementen mit KP

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Es bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus   wieder kleine Potenzen besitzt.

Anwendung - Stetigkeit der Addition

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Wegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes   ein   mit  . Mit der Definition von   gilt für  :

 

Maximum von Exponenten für KP-Elemente

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Man setzt   für alle  . Damit bleibt die Inklusion   nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist

 

Betrachtung einzelner Summanden

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Multipliziert man   aus, so hat jeder Summand die Form   mit   oder   und geeignet gewählte Koeffizienten  .

Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten

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Klammert man bei den jeweiligen Summanden   bzw.   aus, dann lässt sich die faktorisierte Summe für passende   wie folgt schreiben:

 

KP-Summen - kleine Potenzen

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Also gilt   und   ist ein Ideal in  .  

Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit

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Das folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra   nicht invertierbar sein können.

KP-Lemma: Invertierbarkeit

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Ein Element   mit   ist nicht invertierbar, d.h.  .

Beweis: Invertierbarkeit

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Beweis durch Widerspruch: Sei  .

Annahme: Sei   und sei   das inverse Element zu  .

Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation

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Da   Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung  , die das Einselement   nicht enthält. Zu   kann man über die Stetigkeit der Multiplikation auf   ein   finden mit  .

Anwendung der KP-Eigenschaft

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Aus   folgt für die Nullumgebung  

 

Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch  ) absorbierend ist, gibt es ein   mit

 .

Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit

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Damit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:

 

Damit folgt die Behauptung.  

KP-Lemma: permanent singulär

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Sei   mit  , dann ist   ein permanent singuläres Element.

Aufgabe für Studierende

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Zeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!

  • Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung   von   kleine Potenzen besitzt.
  • Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra   sein können.

Siehe auch

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Seiteninformation

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  1. Zelazko Wieslaw, (1983) On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75, S. 265-272