Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen
Einführung
BearbeitenIn die Lernmodul werden Elemente mit kleinen Potenzen und topologisch kleine Potenzen behandelt. Elemente, die kleine Potenzen besitzen sind ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen. Beide Klassen von Elementen sind permanent singulär. Topologisch Nullteiler stellenn ebenfalls ein Spezialfall von Elementen mit topologisch kleinen Potenzen dar.
Geschichte
BearbeitenDie folgenden Sätze basieren auf den Ergebnissen von Zelazko (siehe "On permanent radicals in commutative locally convex algebras"[1]). Im englischen Original dienen diese Aussagen, angewandt auf lokalkonvexe Räume, dazu, dass permanente Radikale als die Menge der Elemente mit kleinen Potenzen charakterisiert werden können. Dabei ist ein permanentes Radikal einer Algebra die Menge der Elemente, die auch im Radikal jeder Erweiterung von liegen.
Definition: Kleine Potenzen
BearbeitenSei eine topologische Algebra über . Ein Element besitzt kleine Potenzen (Bezeichnung: ), falls gilt:
Beipiel - Algebra mit kleinen Potenzen
BearbeitenSei die Algebra von beliebigen Potenzreihen (nicht notwendig absolut konvergent) mit Koeffizienten in und den Halbnormen
Vollständigkeit
BearbeitenDie Algebra der Potenzreihen ist eine vollständig metrisierbare kommuntative -Algebra (d.h. multiplikativ lokalkonvex). Eine Cauchy-Folge von Potenzreihe in mit
liefert zugleich auch komponentenweise für alle Cauchy-Folgen in .
Komponentenweise Cauchy-Folgen
BearbeitenDa sind die Komponentenfolgen konvergent gegen ein . Die Potenzreihe
ist der Grenzwert ("Grenzpotenzreihe") der Cauchy-Folge
Topologische Nullteiler
Bearbeitenbesitzt mit Ausnahme von keine topologischen Nullteiler. Außerdem besitzt jedes singuläre Element (singuläre Elemente sind hier Potenzreihen mit ) kleine Potenzen, also insbesondere für mit , denn für gilt: .
Invertierbare Potenzreihen
BearbeitenSei eine Potenzreihe mit Koeffizienten in der reellen Zahlen und mit . So kann man die inverse formale Potenzreihe induktiv definieren. Sei und die ersten Koeffizienten der Potenzreihe seien bekannt, dann setzt man
Durch Ausmultiplizieren des Cauchyproduktes von und erhält man .
Bemerkung
BearbeitenWenn die formale Potenzreihe invers zu ist, dann gilt:
mit .
Aufgabe 1 - Inverse Potenzreihen
BearbeitenZeigen Sie, dass eine Potenzreihe mit bezüglich des Cauchyproduktes invertierbar ist! Zeigen Sie dazu, dass mit
- (1)
- (2) für
folgt, dass die Koeffizienten die folgende Gestalt haben:
Aufgabe 2 - Elemente mit kleine Potenzen
BearbeitenDas Polynom mit besitzt zwar kleine Potenzen in der Partialsummentopologie, aber ist aber kein topologischer Nullteiler in .
Potenzreihenalgbren - Kleine Potenzen
BearbeitenSei die Algebra von beliebigen Potenzreihen und das Polynom mit gegeben. Auf ist das oben definierte Halbnormensystem mit
Dann gilt:
- Das Polynom besitzt kleine Potenzen.
- ist kein topologischer Nullteiler.
Beweis
BearbeitenZunächst wird gezeigt, dass kleine Potenzen besitzt.
Beweis 1 - Kleine Potenzen
BearbeitenFür alle gilt mit . Also gilt .
Beweis 2 - Topologische Nullteiler
BearbeitenAngenommen wäre ein topologischer Nullteiler in , dann gibt es ein , so dass
für alle erfüllt ist.
Beweis 3 - Topologische Nullteiler - Widerspruch
BearbeitenDas ist aber nicht möglich, denn es gilt für alle mit die Bedingung:
Beweis 4 - Topologische Nullteiler - Widerspruch
BearbeitenDarüber erhält man den Widerspruch mit .
Bemerkung: Banachalgebren
BearbeitenIn einer Banachalgebra oder auch lokalbeschränkten Algebren entspricht die Menge genau der Menge aller nilpotenten Elemente von , denn mit folgt auch .
Lemma: Produkte - kleine Potenzen
BearbeitenSei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:
Beweis
BearbeitenDie Äquivalenzaussage gliedert sich in zwei Teile:
- (Beweisteil 1) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass und man zeigt die Eigenschaft für Nullumgebungen,
- (Beweisteil 2) Voraussetzung ist die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen und man zeigt, dass gilt
Beweisteil 1
BearbeitenMit der Stetigkeit der Multiplikation gibt es für jede Nullumgebung ein mit . Nach der Definition von gilt
Anwendung - Nullumgebungen absorbierend
BearbeitenDa als Nullumgebung absorbierend ist, gibt es für alle ein mit . Damit gilt
Exponent für z
BearbeitenMit ergibt sich die erste Richtung des Beweises (Beweisteil 1).
Beweisteil 2
BearbeitenFür die umgekehrte Beweisrichtung hat man als Voraussetzung die Eigenschaft, dass für Nullumgebungen erfüllt ist. Man muss nun zeigen, dass gilt.
Wahl des Exponenten
BearbeitenFür den Exponenten von zu einer beliebigen Nullumgebung setzt man den gesuchten Exponenten , wobei der Exponent für die Voraussetzung der Umkehrung ist.
Teilmengenbeziehung
BearbeitenMan erhält für ein beliebiges folgende Teilmengenbeziehung:
Insgesamt folgt mit Beweisteil 1 die Äquivalenz
Lemma: Kleine Potenzen - Gaugefunktionale
BearbeitenSei eine topologische Algebra über , dann besitzt genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:
Bemerkung: kleine Potenzen und Gaugefunktionale
BearbeitenMit dem Topologisierungslemma für Algebren wurde der Zusammenhang von stetigen Operationen auf der Algebra und den Eigenschaften von Gaugefunktionalen hergestellt. Diesen Zusammenhang verwendet man in natürlicher Weise in der Analysis mit dem Betrag und bei normierten Vektorräumen. Durch Gaugefunktionale kann man analog die topologischen Eigenschaften äquivalent ausdrücken. Dieses Vorgehen wird im Lemma oben auf Elemente mit kleinen Potenzen übertragen.
Aufgabe für Studierende
BearbeitenBeweisen Sie das Lemma über kleine Potenzen und Gaugefunktionale unter Verwendung der Definition und Eigenschaft von Minkowski-Funktionalen für absorbierende Nullumgebungen.
KP-Lemma: höhere Potenzen
BearbeitenSei , dann besitzt genau dann kleine Potenzen ( ), falls gilt:
Beweisaufgabe
BearbeitenBeweisen Sie den obigen Satz unter Verwendung der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra.
- Starten Sie zunächst mit -Gaugefunktionale, die submultiplikativ sind,
- Verallgemeinern Sie dann die Aussage für beliebige topologische Algebren über die Ungleichung:
KP-Lemma: Reihenkonvergenz
BearbeitenSei , dann gilt:
Beweis - Reihenkonvergenz
BearbeitenSei , so gilt nach dem Lemma über kleine Potenzen - Gaugefunktionale für alle
Submultiplikative (p-)Gaugefunktionale
BearbeitenBei submultiplikativen Gaugefunktionalen gilt auch für alle ebenfalls die Bedingung:
Mit der Submultiplikativität erhält man über ( -)Homogenität dann
Stetigkeit der Mulitplikation - (p-)Gaugefunktionale
BearbeitenBei submultiplikativen ( -)Gaugefunktionalen nutzt man die Stetigkeit der Multiplikation und es existiert ein , sodass für alle ebenfalls die Bedingung:
Mit der Stetigkeit der Multiplikation erhält man über ( -)Homogenität ebenfalls
Elemente ohne kleine Potenzen
BearbeitenIst , dann existiert ein , so dass gilt:
Reihendivergenz
BearbeitenDurch die Indizierung mit statt summiert man nur über einen Teil der Reihe mit den von 0 verschiedenen Summanden. Damit erhält man insgesamt die Divergenz der Reihe über
Insgesamt folgt die Äquivalenz der beiden Aussagen aus dem Lemma.
Satz: Kleine Potenzen - Ideal
BearbeitenSei , dann ist ein Ideal in .
Beweis
BearbeitenMit dem Lemma über Produkte mit kleinen Elementen, erhält man
Multiplikation mit Skalaren
BearbeitenInsbesondere gilt mit und für alle auch
Additivität von zwei Elementen mit KP
BearbeitenEs bleibt zu zeigen, dass auch die Summe von zwei Elementen aus wieder kleine Potenzen besitzt.
Anwendung - Stetigkeit der Addition
BearbeitenWegen der Stetigkeit der Addition gibt es für jedes ein mit . Mit der Definition von gilt für :
Maximum von Exponenten für KP-Elemente
BearbeitenMan setzt für alle . Damit bleibt die Inklusion nach Korollar \ref{CorKPn} erhalten, d.h. es ist
Betrachtung einzelner Summanden
BearbeitenMultipliziert man aus, so hat jeder Summand die Form mit oder und geeignet gewählte Koeffizienten .
Ausklammern von Faktoren mit minimalen Exponenten
BearbeitenKlammert man bei den jeweiligen Summanden bzw. aus, dann lässt sich die faktorisierte Summe für passende wie folgt schreiben:
KP-Summen - kleine Potenzen
BearbeitenAlso gilt und ist ein Ideal in .
Bemerkung: Elemente mit kleinen Potenzen und Invertierbarkeit
BearbeitenDas folgende Lemma bereitet die Aussage vor, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind. Dazu zunächst gezeigt, dass Elemente mit kleinen Potenzen in einer topogischen Algebra nicht invertierbar sein können.
KP-Lemma: Invertierbarkeit
BearbeitenEin Element mit ist nicht invertierbar, d.h. .
Beweis: Invertierbarkeit
BearbeitenBeweis durch Widerspruch: Sei .
Annahme: Sei und sei das inverse Element zu .
Hausdorff-Eigenschaft und Stetigkeit der Multiplikation
BearbeitenDa Hausdorff'sch ist, gibt es eine Nullumgebung , die das Einselement nicht enthält. Zu kann man über die Stetigkeit der Multiplikation auf ein finden mit .
Anwendung der KP-Eigenschaft
BearbeitenAus folgt für die Nullumgebung
Weil jede Nullumgebung (also insbesondere auch ) absorbierend ist, gibt es ein mit
- .
Widerspruch zu Annahme der Invertierbarkeit
BearbeitenDamit ergibt sich der Widerspruch wie folgt:
Damit folgt die Behauptung.
KP-Lemma: permanent singulär
BearbeitenSei mit , dann ist ein permanent singuläres Element.
Aufgabe für Studierende
BearbeitenZeigen Sie, dass Elemente mit kleinen Potenzen permanent singuläre Elemente sind!
- Hinweis 1: Verwenden Sie, dazu die Definition der Algebraerweiterung und beweisen Sie, dass ein Element mit kleinen Potenzen auch in jeder Algebraerweiterung von kleine Potenzen besitzt.
- Hinweis 2: Verwenden Sie das obige Lemma, dass Elemente mit kleinen Potenzen nicht invertierbar in einer Algebra sein können.
Siehe auch
BearbeitenSeiteninformation
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- siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.
- ↑ Zelazko Wieslaw, (1983) On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75, S. 265-272