Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium

Einleitung

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Zielsetzung

Diese Lerneinheit in der Wikiversity hat das Ziel, die ${\mathcal {T}}$-Regularität eines Elementes $z\in A$ für eine beliebige topologische Algebra zu charakterisieren.

Zielgruppe

Die Zielgruppe der Lerneinheit sind Studierende der Mathematik. Die Wiki2Reveal-Folien im Kurs dienen dazu, dass Lehrende bei Bedarf direkt die Folien in Lehrveranstaltungen einsetzen können, bzw. Studierende mit den Folien mathematische Sachverhalte vorstellen können, die zur Lösung einer Aufgabe verwendet werden könnten. Die Folien können bei Eingabe mit einem digitalen Stift im Browser annotiert werden, d.h. man im Browser direkt mit einem Stift auf die Folien schreiben.

T-Regularitätskriterium

Im Folgenden werden wir die Übertragungsmöglichkeiten von pseudokonvexen Algebren auf beliebige topologische Algebren. Da die Cauchymultiplikation aber nur stetig in der Partialsummentopologie von ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$ ist, kann noch keine Charakterisierung der ${\mathcal {T}}$-regulären Elemente in Anlehnung an die ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$-regulären Elemente angegeben werden.

Bemerkung zu den Herausforderungen

Im Anschluß an den Beweis des Satzes wird erläutert, an welchen Stellen die Herausforderungen für ein Charakterisierung der ${\mathcal {T}}$-regulären Elemente liegen.

Satz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}}$ mit ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ als gerichtetes ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-System (aus Gaugefunktionalen). Für jedes ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ sei eine Folge ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ von Gaugefunktionalen mit Konstanten ${\textstyle D_{k}(\alpha )>0}$ und ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gegeben, mit

• ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$,
• ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|zx\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$

für alle ${\textstyle x\in A}$, ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Dann existiert ein ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-System ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$, so dass die Cauchymultiplikation mit ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}}^{\downarrow \mathbb {N} }}$ stetig ist und die Relativtopologie der Quotientengaugefunktionale

$$\left\|[x]\right\|_{(\alpha ,n)}:=\inf _{q\in A[t]}\left|\!\left\|x+(zt-e)q(t)\right\|\!\right|_{(\alpha ,n+1)}\geq \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}{\mbox{ für alle }}x\in A$$

auf ${\textstyle A[t]/I}$ mit ${\textstyle I:={\overline {(z\cdot t-e)\cdot A[t]}}}$ mit der von ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ erzeugten Ausgangstopologie übereinstimmt.

Beweis

Man definiert mit den oben genannten Eigenschaften (1) und (2) und der Stetigkeit der Addition eine Abbildung

$${\widetilde {\cdot }}:{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}\longrightarrow {\mathcal {A}}\times \mathbb {N} _{0}(\alpha ,k)\longmapsto {\widetilde {(\alpha ,k)}},$$

für die gilt:

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\in \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$

für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

• ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|zx\right\|_{\widetilde {(\alpha ,k)}}}$

für alle ${\textstyle x\in A}$, ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

• ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{j=1}^{k}x_{j}\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \sum _{j=1}^{k}\left\|x_{j}\right\|_{\widetilde {(\alpha ,k)}}}$

für alle ${\textstyle x_{j}\in A}$, ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Dann gibt es wegen Lemma LemDomSeq eine ${\textstyle M_{\mathcal {T}}}$-Sequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$

für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.

• ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{j=1}^{n}x_{j}\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \sum _{j=1}^{k}\left\|x_{j}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$

für alle ${\textstyle x_{j}\in A}$, ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.

• ${\textstyle \left\|xy\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\cdot \left\|y\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$
• ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|zx\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$.

Anschließend definiert man die Gaugefunktionale auf ${\textstyle A[t]}$ durch

$$\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}:=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|p_{k}\right\|_{n+2k}^{(\alpha )},$$

und man erhält für alle ${\textstyle p,q\in A[t]}$

${\begin{array}{rcl}\left|\!\left\|p+q\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}&\leq &\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{(\alpha ,n+1)}+\left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{(\alpha ,n+1)},{\mbox{ sowie }}\\&&\\\left|\!\left\|pq\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}^{\downarrow m}&=&\sum _{k=0}^{m}\left\|\sum _{j=0}^{k}p_{j}q_{k-j}\right\|_{n+2k}^{(\alpha )}\\&\leq &\sum _{k=0}^{m}\sum _{j=0}^{k}\left\|p_{j}q_{k-j}\right\|_{n+2k+1}^{(\alpha )}\\&\leq &\sum _{k=0}^{m}\sum _{j=0}^{k}\left\|p_{j}\right\|_{n+2k+2}^{(\alpha )}\cdot \left\|q_{k-j}\right\|_{n+2k+2}^{(\alpha )}\\&\leq &\sum _{k=0}^{m}\sum _{j=0}^{k}\left\|p_{j}\right\|_{n+2m+2}^{(\alpha )}\cdot \left\|q_{k-j}\right\|_{n+2m+2}^{(\alpha )}\\&\leq &\left(\sum _{j=0}^{m}\left\|p_{j}\right\|_{n+2(m+1)}^{(\alpha )}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}\left\|q_{j}\right\|_{n+2(m+1)}^{(\alpha )}\right)\\&\leq &\left(\sum _{j=0}^{m}\left\|p_{j}\right\|_{n+2(m+1)+2j}^{(\alpha )}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}\left\|q_{j}\right\|_{n+2(m+1)+2j}^{(\alpha )}\right)\\&=&\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{(\alpha ,n+2(m+1))}^{\downarrow m}\cdot \left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{(\alpha ,n+2(m+1))}^{\downarrow m}\ .\\\end{array}}$

Mit ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}=\left\|(x-y)+y\right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|x-y\right\|_{n+1}^{(\alpha )}+\left\|y\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$ gilt auch\\ ${\textstyle \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}-\left\|y\right\|_{n+1}^{(\alpha )}\leq \left\|x-y\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$ und man schätzt die Quotientengaugefunktionale mit folgender Ungleichungskette für ${\textstyle n>0}$ nach unten ab.

${\begin{array}{rcl}\left|\!\left\|x-(zt-e)q(t)\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}&=&\left\|x-q_{o}\right\|_{n}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }\left\|zq_{k-1}-q_{k}\right\|_{n+2k}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|x-q_{o}\right\|_{n}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }\left\|zq_{k-1}\right\|_{n+2k-1}^{(\alpha )}-\left\|q_{k}\right\|_{n+2k}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|x-q_{o}\right\|_{n}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }\left\|q_{k-1}\right\|_{n+2k-2}^{(\alpha )}-\left\|q_{k}\right\|_{n+2k}^{(\alpha )}\\&=&\left\|x-q_{o}\right\|_{n}^{(\alpha )}+\left\|q_{o}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\geq &\left\|x-q_{o}+q_{o}\right\|_{n-1}^{(\alpha )}=\left\|x\right\|_{n-1}^{(\alpha )}\end{array}}$

Insgesamt ergibt sich ${\textstyle \left\|[x]\right\|_{(\alpha ,n+1)}\geq \left\|x\right\|_{n}^{(\alpha )}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\textstyle x\in A}$. $\Box$

Zur Lösung der Charakterisierung der T-regulären Elemente

Der Versuch, den allgemeinen topologischen Fall mit einer ähnlichen Beweisstruktur wie beim pseudokonvexen Charakterisierungsatz zu lösen, ist bei den verschiedensten Lösungsansätzen an der Beschränkung der Gaugefunktionale gescheitert.

• Beschränkung nach "`oben"', d.h. die Cauchymultiplikation ist

nicht stetig auf ${\textstyle A[t]}$.

• Beschränkung nach "`unten"', d.h. die

Homöomorphie der Einbettung von ${\textstyle A}$ in die gesuchte Algebraerweiterung ${\textstyle B}$ ist nicht erfüllt.

Die Übertragungsmöglichkeiten, die in dem Satz zur ${\mathcal {T}}$-Regularität formuliert sind, liefern kein zufriedenstellendes Ergebnis.

Die Schwierigkeit liegt in der Formulierung des topologischen Invertierbarkeitskriteriums allein über die gegebenen Gaugefunktionale ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ auf ${\textstyle A}$. Für Teilklassen ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ von ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$ war dies möglich, denn in den bisher bekannten Beweisen konnten die Eigenschaften von ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ in Bezug auf das ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-reguläre Element ${\textstyle z\in A}$ auf die Polynomalgebra ${\textstyle A[t]}$ durch die im folgenden definierten ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionale übertragen werden.

$$\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}(*)$$

mit ${\textstyle \displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\in A[t]}$, ${\textstyle C_{k}(\alpha )>0}$, ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Die Festlegung, dass die Gaugefunktionale die obige Form ${\textstyle (*)}$ auf ${\textstyle A[t]}$ besitzen, ist jedoch für den allgemeinen Fall ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ eine zu starke Einschränkung. Der Ausweg aus den unter ${\textstyle (i)}$ und ${\textstyle (ii)}$ genannten Schwierigkeiten ist die Formulierung des ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Regularitätskriteriums für die Polynomalgebra ${\textstyle A[t]}$. Für den Satz zur ${\mathcal {T}}$-Regularität müssen wieder zwei Implikation bewiesen werden:

• Für die ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Regularität eines Elementes ${\textstyle z\in A}$ ist es notwendig,

dass die Polynomalgebra ${\textstyle A[t]}$ (Cauchymultiplikation auf ${\textstyle A[t]}$) mit einer Topologie versehen werden kann, die ${\textstyle A[t]}$ zu einer topologischen Algebra macht. Den Zusammenhang zur Ausgangstopologie auf ${\textstyle A}$ beschreiben zwei Bedingungen über das topologieerzeugende Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$ und das gegebene System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ auf ${\textstyle A}$. Wie bei dem ${\textstyle {\mathcal {PC}}}$-Regularitätskriterium in Satz ${\mathcal {B}}$-Regularität besitzt auch hier wieder eine Bedingung rein topologische Bedeutung, während die andere die gewünschten algebraischen Konsequenzen nach sich zieht.

• Dieses unter a) beschriebene Kriterium ist aber auch hinreichend für

die ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Regularität, denn mit diesem Kriterium kann eine ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Erweiterung ${\textstyle B}$ von ${\textstyle A}$ konstruiert werden, in der ${\textstyle z}$ invertierbar ist. ${\textstyle B}$ ist wie bei allen anderen Regularitätsbeweisen eine Quotientenalgebra ${\textstyle A[t]/I}$, wobei in diesem Fall ${\textstyle I}$ {\em nicht} als abgeschlossenes Hauptideal ${\textstyle {\overline {(z\cdot t-e)\cdot A[t]}}}$ gewählt wird, sondern als Kern des Systems ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{*}}$ mit

$$\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\beta }^{*}:=\inf _{q\in A[t]}\left|\!\left\|p+(z\cdot t-e)\cdot q(t)\right\|\!\right|_{\beta }.$$

Kern eines System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ von ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionalen auf ${\textstyle A}$ bedeutet:

$${\mathrm {\,Kern} }(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}):=\left\{x\in A:\left\|x\right\|_{\alpha }=0{\mbox{ für alle }}\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}.$$

Für Hausdorffräume ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)}$ gilt ${\textstyle {\mathrm {\,Kern} }(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}})=\{0\}}$. ${\textstyle I}$ enthält dabei das oben angegebene Hauptideal. Es ist aber auch möglich, dass das Hauptideal eine echte Teilmenge von ${\textstyle I}$ ist.

Zunächst müssen noch zwei Aussagen bewiesen werden, die für die Topologisierung der gesuchten Algebraerweiterung von Bedeutung sind.

Lemma:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ und ${\textstyle I\subset A}$ sei ein abgeschlossenes Ideal in ${\textstyle A}$. Dann ist ${\textstyle A/I}$ mit ${\textstyle [x]:=x+I}$ als Äquivalenzklasse von ${\textstyle x}$ und dem Quotientensystem ${\textstyle \left|\!\left\|\,\cdot \,\right\|\!\right|_{\mathcal {A}}}$ der ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionale

$$\left|\!\left\|\,[x]\,\right\|\!\right|_{\alpha }:=\inf _{q\in I}\left\|x+q\right\|_{\alpha }{\mbox{ für alle }}x\in A$$

eine topologische ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Algebra.

Beweis

Man betrachtet nur den Fall ${\textstyle {\mathcal {K}}={\mathcal {PC}}}$ mit ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} }}$ als ${\textstyle p}$-Halbnormensystem. Für alle anderen Klassen verläuft der Beweis analog, denn die "`${\textstyle \leq }$"'-Abschätzung für ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionale auf ${\textstyle A}$ bleibt auch auf ${\textstyle A/I}$ gültig (sogar mit den gleichen Stetigkeitskonstanten der Addition bei Quasinormen).

${\begin{array}{rcl}\left|\!\left\|[x_{1}+x_{2}]\right\|\!\right|_{\alpha }&=&\inf _{q\in I}\left\|x_{1}+x_{2}+q\right\|_{\alpha }\\&=&\inf _{q_{1},q_{2}\in I}\|x_{1}+x_{2}+\underbrace {(q_{1}+q_{2})} _{\in I}\|_{\alpha }\\&\leq &\inf _{q_{1},q_{2}\in I}\left\|x_{1}+q_{1}\right\|_{\alpha }+\left\|x_{2}+q_{2}\right\|_{\alpha }\\&=&\inf _{q_{1}\in I}\left\|x_{1}+q_{1}\right\|_{\alpha }+\inf _{q_{2}\in I}\left\|x_{2}+q_{2}\right\|_{\alpha }\\&=&\left|\!\left\|\,[x_{1}]\,\right\|\!\right|_{\alpha }+\left|\!\left\|\,[x_{2}]\,\right\|\!\right|_{\alpha }\end{array}}$

Analog erhält man für die Multiplikation mit ${\textstyle \left\|xy\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x,y\in A}$:

${\begin{array}{rcl}\left|\!\left\|\,[x_{1}x_{2}]\,\right\|\!\right|_{\alpha }&=&\inf _{q\in I}\left\|x_{1}x_{2}+q\right\|_{\alpha }\\&\leq &\inf _{q_{1},q_{2}\in I}\|x_{1}x_{2}+(\underbrace {q_{1}q_{2}+x_{1}q_{2}+q_{1}x_{2}} _{\in I})\|_{\alpha }\\&\leq &\inf _{q_{1},q_{2}\in I}\left\|(x_{1}+q_{1})\cdot (x_{2}+q_{2})\right\|_{\alpha }\\&\leq &\inf _{q_{1},q_{2}\in I}\left\|x_{1}+q_{1}\right\|_{\beta }\cdot \left\|x_{2}+q_{2}\right\|_{\beta }\\&=&\inf _{q_{1}\in I}\left\|x_{1}+q_{1}\right\|_{\beta }\cdot \inf _{q_{2}\in I}\left\|x_{2}+q_{2}\right\|_{\beta }\\&=&\left|\!\left\|\,[x_{1}]\,\right\|\!\right|_{\beta }\cdot \left|\!\left\|\,[x_{2}]\,\right\|\!\right|_{\beta }.\end{array}}$

Da ${\textstyle I}$ abgeschlossen ist, ist auch ${\textstyle A/I}$ Hausdorff'sch.$\Box$

Lemma:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}(\mathbb {K} )}$ nicht notwendig Hausdorffsch, dann ist ${\textstyle B:=A/I}$ mit

$$I:={\mathrm {\,Kern} }(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}):=\left\{x\in A:\left\|x\right\|_{\alpha }=0{\mbox{ für alle }}\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}$$

und den von ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ auf ${\textstyle B}$ induzierten Quotienten-${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionalen eine Hausdorffsche Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}(\mathbb {K} )}$.

Beweis

Sei ${\textstyle A}$ eine beliebige topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$. Die Beweise für spezielle ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Algebren laufen unter Ausnutzung der Eigenschaften von ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionalen analog. Sei ${\textstyle x,y\in I}$, ${\textstyle z\in A}$ und ${\textstyle \lambda \in \mathbb {K} }$, dann gibt es zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ mit der Stetigkeit der Addition bzw. Multiplikation ein ${\textstyle {\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}$ bzw. ${\textstyle {\widehat {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}$ mit

• ${\textstyle \left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=\lambda \cdot \underbrace {\left\|x\right\|_{\alpha }} _{=0}=0}$

${\textstyle \Longrightarrow }$ ${\textstyle \lambda \cdot x\in I}$\\

• ${\textstyle \left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \underbrace {\left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}} _{=0}+\underbrace {\left\|y\right\|_{\widetilde {\alpha }}} _{=0}=0}$

${\textstyle \Longrightarrow }$ ${\textstyle x+y\in I}$ \\

• ${\textstyle \left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }\leq \left\|z\right\|_{\widehat {\alpha }}\cdot \underbrace {\left\|x\right\|_{\widehat {\alpha }}} _{=0}=0}$

${\textstyle \Longrightarrow }$ ${\textstyle z\cdot x\in I}$\\

Ferner ist ${\textstyle I}$ abgeschlossen, denn für ein Netz ${\textstyle (x_{\eta })_{\eta }}$ aus ${\textstyle I}$, das gegen ${\textstyle x_{o}}$ konvergiert, gilt die folgende Abschätzung. Dabei wird ${\textstyle {\widetilde {\alpha }}}$ wie oben mit der Stetigkeit der Addition zu ${\textstyle \alpha }$ gewählt.

$$\left\|x_{o}\right\|_{\alpha }=\left\|x_{o}\right\|_{\alpha }-\underbrace {\left\|x_{\eta }\right\|_{\widetilde {\alpha }}} _{=0}\leq \left\|x_{o}-x_{\eta }\right\|_{\widetilde {\alpha }}{_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptstyle \eta }}}0$$

Damit folgt ${\textstyle \left\|x_{o}\right\|_{\alpha }=0}$ und mit ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ beliebig erhält man ${\textstyle x_{o}\in I}$. Die Behauptung liefert nun die Anwendung von Lemma QuoAlg , da ${\textstyle I}$ ein abgeschlossenes Ideal in ${\textstyle A}$ bildet. $\Box$ Der folgende Hauptsatz, der zunächst nur als Lösung der Charakterisierung der ${\textstyle {\mathcal {T}}^{k}}$-regulären Elemente entwickelt wurde, hat sich bei näherer Untersuchung als entscheidendes Kriterium herausgestellt, die Invertierbarkeit in einer bestimmten ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Erweiterung einer gegebenen Algebra durch zwei topologische Bedingungen äquivalent zu beschreiben.\\

Hauptsatz

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}_{e}^{k}}$. Ein Element ${\textstyle z\in A}$ ist genau dann ${\textstyle {\mathcal {K}}^{k}}$-regulär, wenn ein ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionalsystem ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$ existiert, das ${\textstyle A[t]}$ zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt:

• Zu jedem ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ existiert ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und

ein ${\textstyle C_{\mu }>0}$, so dass \\ ${\textstyle \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }\leq C_{\mu }\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt.

• Zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ existiert ein ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$

und ein ${\textstyle C_{\alpha }>0}$, so dass

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x+(z\cdot t-e)\cdot q(t)\right\|\!\right|_{\mu }$$

für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle q\in A[t]}$ gilt.

Beweis

"`${\textstyle \Longrightarrow }$"' Da jedes ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktional bei Ersetzung von ${\textstyle p}$-Halbnormen und Quasihalbnormen\footnote{siehe Abschnitt SECpN-QN über den Zusammenhang von ${\textstyle p}$-Normen und Quasinormen.} auch ein Gaugefunktional ist, werden in diesem klassenunabhängigen Beweis lediglich Gaugefunktionaleigenschaften in Zusammenhang mit den stetigen Algebraoperationen verwendet. Haben die Gaugefunktionale zusätzliche Eigenschaften, wie zum Beispiel Halbnormen, so vereinfacht sich der Beweis an einigen Stellen und die Aussage bleibt für eine eingeschränkte Algebrenklasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ ebenfalls gültig. Dies liegt unter anderem an der Tatsache, dass Einschränkungen von ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionalen auf Teilalgebren wieder ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionale sind. Sei ${\textstyle z\in A\in {\mathcal {K}}_{e}^{k}}$ ein ${\textstyle {\mathcal {K}}^{k}}$-reguläres Element, dann gibt es eine ${\textstyle {\mathcal {K}}^{k}}$-Erweiterung ${\textstyle B}$ von ${\textstyle A}$, in der ${\textstyle z}$ invertierbar ist. Sei ${\textstyle b\in B}$ das Inverse zu ${\textstyle z}$ und ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ das Gaugefunktionalsystem auf ${\textstyle B}$. Die von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle b}$ erzeugte Teilalgebra ${\textstyle A_{b}}$ von ${\textstyle B}$ hat die Gestalt

$$A_{b}:=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b^{k}\,:\,a_{k}\in A{\mbox{ und }}n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$$

Man wählt ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ als gesuchtes Gaugefunktionalsystem auf ${\textstyle A[t]}$ mit folgender Identifikation mit Elementen aus ${\textstyle A_{b}}$. Sei ${\textstyle p(t):=\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}\in A[t]}$, dann definiert man

$$\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\mu }:={\bigg |}\!{\bigg |}\!{\bigg |}\underbrace {\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot b^{k}} _{\in B}{\bigg |}\!{\bigg |}\!{\bigg |}_{\mu }{\mbox{ für alle }}\mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}{\mbox{ und }}p\in A[t].$$

Man sieht an dieser Stelle, dass ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$ keine Hausdorfftopologie erzeugt, denn beispielsweise gilt für das von ${\textstyle 0}$ verschiedene Polynom ${\textstyle q(t):=2e-z\cdot t-z^{2}\cdot t^{2}}$ gerade ${\textstyle \left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{\mu }=0}$ für alle ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, da ${\textstyle q(b)=2e-z\cdot b-z^{2}\cdot b^{2}=0}$. Die Cauchymultiplikation auf ${\textstyle A[t]}$ und die Multiplikation auf ${\textstyle A_{b}}$ sind topologisch und algebraisch miteinander verträglich. Damit ergibt sich insbesondere die Stetigkeit der Cauchymultiplikation über die Stetigkeit der Multiplikation auf ${\textstyle B}$. Sei ${\textstyle \nu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ zu einem gegebenen ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ so gewählt, dass für alle ${\textstyle x,y\in B}$ die Ungleichung ${\textstyle \left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\mu }\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\nu }\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\nu }}$ gilt, dann erhält man für alle ${\textstyle p,q\in A[t]}$ die Abschätzung

$$\left|\!\left\|p\cdot q\right\|\!\right|_{\mu }=\left|\!\left\|(p\cdot q)(b)\right\|\!\right|_{\mu }=\left|\!\left\|p(b)\cdot q(b)\right\|\!\right|_{\mu }\leq \left|\!\left\|p(b)\right\|\!\right|_{\nu }\cdot \left|\!\left\|q(b)\right\|\!\right|_{\nu }=\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\nu }\cdot \left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{\nu },$$

also die Stetigkeit der Cauchymultiplaktion auf ${\textstyle A[t]}$. In ähnlicher Weise folgt die Stetigkeit der Addition auf ${\textstyle A[t]}$ über die von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A_{b}}$ eingeschränkten Gaugefunktionale. ${\textstyle A[t]}$ wird also über die Teilalgebra ${\textstyle A_{b}}$ von ${\textstyle B}$ topologisiert. Mit der Homöomorphie der Einbettung von ${\textstyle A}$ in ${\textstyle B}$ erhält man einerseits durch die Stetigkeit der Abbildung ${\textstyle \tau }$ die Bedingung {\it (HS 1)} unmittelbar und andererseits gibt es durch die Stetigkeit der Umkehrabbildung ${\textstyle \tau ^{-1}}$ zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ein ${\textstyle C_{\alpha }>0}$ mit

Abschätzung der Gaugefunktionale nach unten

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }{\mbox{ für alle }}x\in A.(*)$$

Die zweite Ungleichung der Behauptung ergibt sich mit ${\textstyle (*)}$, denn es gilt

$$\left|\!\left\|x+(z\cdot t-e)\cdot q(t)\right\|\!\right|_{\mu }=|\!|\!|x+(\underbrace {z\cdot b-e} _{=0})\cdot q(b)|\!|\!|_{\mu }=\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }\geq {\frac {1}{C_{\alpha }}}\left\|x\right\|_{\alpha }.$$

Beweisrichtung von dem Gaugefunktionalsystem zur Algebraerweiterung

"${\textstyle \Longleftarrow }$" Sei nun umgekehrt ${\textstyle A[t]}$ eine nicht notwendig Hausdorff'sche topologische Algebra mit Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$, das die Bedingung (HS 1) und (HS 2) aus der Behauptung des Satzes erfüllt. Man definiert auf ${\textstyle A[t]}$ ein weiteres Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{*}}$. Für ${\textstyle p\in A[t]}$ setzt man:

$$\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\mu }^{*}:=\inf _{q\in A[t]}\left|\!\left\|p(t)+(z\cdot t-e)\cdot q(t)\right\|\!\right|_{\mu }.$$

Übergang zur Quotientenalgebra

Die gesuchte Algebra, in der ${\textstyle z}$ invertierbar ist, ist die Quotientenalgebra ${\textstyle B:=A/I}$, wobei ${\textstyle I}$ als Kern des Systems ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{*}}$ gewählt wird. Da auch das System ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{*}}$ die Algebra ${\textstyle A[t]}$ zu einer topologischen Algebra macht, liefert die Anwendung von Lemma QuoKern , dass ${\textstyle B}$ eine Hausdorff'sche topologische Algebra ist. Der Algebrahomomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow B}$ mit ${\textstyle x\longmapsto [x]:=x+I}$, der ${\textstyle x}$ mit dem konstanten Polynom mit Wert ${\textstyle x}$ identifiziert und dann diesem Polynom seine Äquivalenzklasse in ${\textstyle B}$ zuordnet, ist der gesuchte Algebraisomorphismus von ${\textstyle A}$ nach ${\textstyle \tau (A)\subset B}$, wenn man die Homöomorphie von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle \tau (A)}$ gezeigt hat (siehe dazu einleitende Bemerkungen zu den K-singulären Elementen). Durch Bedingung (HS 2) aus der Behauptung folgt insbesondere, dass zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ein ${\textstyle C_{\alpha }>0}$ existieren mit

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }^{*}{\mbox{für alle }}x\in {\mathcal {A}}.$$

Stetigkeit der Addition

Wählt man zu dem ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ ein ${\textstyle {\widetilde {\mu }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ mit

$$\left|\!\left\|p+q\right\|\!\right|_{\mu }^{*}\leq \left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{*}+\left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{*}{\mbox{ für alle }}p,q\in A[t],$$

so erhält man für alle ${\textstyle q\in I={\mathrm {\,Kern} }\left(A[t],\left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}^{\ast }\right)}$:

${\begin{array}{rcl}{\frac {1}{C_{\alpha }}}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }^{\ast }=\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }^{\ast }-\underbrace {\left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{\ast }} _{=0}\leq \left|\!\left\|x-q\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{\ast }\\\Longrightarrow {\frac {1}{C_{\alpha }}}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &\inf _{q\in I}\left|\!\left\|x-q\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{\ast }=\left\|[x]\right\|_{\widetilde {\mu }}=\left\|x+I\right\|_{\widetilde {\mu }}\end{array}}$

für alle ${\textstyle x\in A}$.

Quotientengaugefunktionalsystem

Dabei ist ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ das Quotientengaugefunktionalsystem auf ${\textstyle B}$. Damit ist die von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle \tau (A)}$ induzierte Relativtopologie feiner als die von ${\textstyle A}$ auf ${\textstyle \tau (A)}$ über ${\textstyle \tau }$ induzierte Topologie.

Also ist der Homomorphismus ${\textstyle \tau }$ nach ${\textstyle B}$ injektiv und bijektiv von ${\textstyle A}$ auf ${\textstyle \tau (A)}$, denn für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt es aufgrund des oben erwähnten topologischen Zusammenhangs ein ${\textstyle {\widetilde {\mu }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ mit

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|[x]\right\|_{\widetilde {\mu }}{\mbox{ für alle }}x\in A.$$

Sei nun ${\textstyle x_{1}\not =x_{2}}$, dann existiert wegen der Hausdorffeigenschaft ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ mit ${\textstyle \left\|x_{1}-x_{2}\right\|_{\alpha }>0}$, so dass

$$0<\left\|x_{1}-x_{2}\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|[x_{1}-x_{2}]\right\|_{\widetilde {\mu }}=\left\|[x_{1}]-[x_{2}]\right\|_{\widetilde {\mu }}$$

und damit ${\textstyle [x_{1}]\not =[x_{2}]}$ gilt. Zum Nachweis der Homöomorphie ist weiterhin die Stetigkeit der Umkehrabbildung zu zeigen. Diese ergibt sich aber unmittelbar aus Bedingung {\it (HS 1)}, denn wählt man zu jedem ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ aus {\it (HS 1)} ein ${\textstyle {\widetilde {\mu }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ mit

$$\left|\!\left\|p+q\right\|\!\right|_{\mu }^{*}\leq \left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{*}+\left|\!\left\|q\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{*},{\mbox{für alle }}p,q\in A[t],$$

so kann man mit {\it (HS 2)} zu diesem ${\textstyle {\widetilde {\mu }}}$ ein ${\textstyle \alpha \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ein ${\textstyle C_{\widetilde {\mu }}>0}$ finden mit ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\geq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$. Insgesamt ergibt sich für alle ${\textstyle p\in I}$ und alle ${\textstyle x\in A}$:

${\begin{array}{rcl}\left|\!\left\|x+p\right\|\!\right|_{\mu }^{*}&\leq &\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{*}+\underbrace {\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}^{*}} _{=0}=\inf _{{\widehat {q}}\in A[t]}\left|\!\left\|x+(z\cdot t-e)\cdot {\widehat {q}}(t)\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}\\&\leq &\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\mu }}\leq C_{\widetilde {\mu }}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }.\end{array}}$

Infimumbildung

Durch Infimumbildung über alle ${\textstyle p\in I}$ bleibt die Ungleichung für die Äquivalenzklasse ${\textstyle [x]}$ erhalten und es gilt

$$\left\|[x]\right\|_{\mu }\leq \left|\!\left\|x+p\right\|\!\right|_{\mu }^{\ast }\leq C_{\widetilde {\mu }}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }{\mbox{ für alle }}x\in A.$$

Wegen ${\textstyle z\cdot t-e\in (z\cdot t-e)\cdot A[t]\subset I}$, gilt ${\textstyle [0]=[z\cdot t-e]=[z]\cdot [t]-[e]}$ und aufgrund Kommutativität der Algebra ${\textstyle A}$ und ${\textstyle [e]=[z]\cdot [t]}$ erhält man ${\textstyle [z]\in {\mathcal {G}}_{{\mathcal {T}}^{k}}(B)}$. ${\textstyle {\mbox{ }}}$ $\Box$

Charakterisierung der T-regulären Elemente

Die Charakterisierung der ${\textstyle {\mathcal {T}}^{k}}$-regulären Elemente ist damit eine unmittelbare Folgerung des Hauptsatzes, die in nachstehendem Korollar noch einmal formuliert wird. Die Konstanten ${\textstyle C_{\alpha }}$ bzw. ${\textstyle C_{\mu }}$ des Hauptsatzes, deren Verwendung für submultiplikative ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionale notwendig ist, werden mit in die Definition der Gaugefunktionale übernommen. Dies vereinfacht die Formulierung der Aussage von Korollar zum Hauptsatz .

Korrollar:

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}^{k}}$. Ein Element ${\textstyle z\in A}$ ist genau dann ${\textstyle {\mathcal {T}}^{k}}$-regulär, wenn ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$ existiert, das ${\textstyle A[t]}$ zu einer nicht notwendig Hausdorff'schen topologischen Algebra macht und das folgende zwei Bedingungen erfüllt:

• Zu jedem ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ existiert ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ mit

${\textstyle \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\mu }\leq \left\|x\right\|_{\alpha }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$.

• Zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ existiert ein ${\textstyle \mu \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, so dass

$$\left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left|\!\left\|x+(z\cdot t-e)\cdot q(t)\right\|\!\right|_{\mu }$$

für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle q\in A[t]}$ gilt.

Aufgaben für Studierende

Siehe auch

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