Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär

Einführung

Zunächst werden algebraische Eigenschaften untersucht, die ein Element $z$ aus einer Algebra $A$ zu einem permanent singulären Element machen, d.h. bei dem also in beliebigen Algebraerweiterung kein inverses Element $b=z^{-1}\in B$ existieren kann.

Nullelement - permanent singulär

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e\not =0_{A}$. Der Nullvektor $0_{A}\in A$ ist permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{\mathcal {T}}_{B})$ von $(A,{\mathcal {T}}_{A})$, in der Nullvektor $0_{A}$ invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element $b_{o}\in B$ besitzt:

$0_{A}\cdot b_{o}=0_{A}\cdot b_{o}=e$

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis, dass $0_{A}\cdot b=b\cdot 0_{A}=0_{A}$ für alle $b\in B$ über die Algebraeigenschaften zeigt, denn es gilt mit den Eigenschaften von Vektorräumen bzw. Algebren (bitte ergänzen in den Übungen in Wikiversity)

Nilpotentes Element - permanent singulär

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e\not =0_{A}$ und $z\in A$ ein nilpotentes Element in $A$ mit $z^{n}=0_{A}$ und $z^{n-1}\not =0_{A}$ für $n\in \mathbb {N}$, dann ist $z\in A$ permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Sei $z\in A$ ein nilpotentes Element in $A$ mit $z^{n}=0_{A}$ und $z^{n-1}\not =0_{A}$. Ferner definiert man $z^{0}:=e_{A}$ und $z^{n+1}:=z^{n}\cdot z$.

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{\mathcal {T}}_{B})$ von $(A,{\mathcal {T}}_{A})$, in der das nilpotente Element $z\in A$ invertierbar ist, d.h. es existiert ein multiplikatives inverses Element $b:=z^{-1}\in B$ mit:

$z\cdot b=b\cdot z=e$

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis:

$0_{A}=0_{A}\cdot b=(z^{n-1}\cdot z)\cdot b=z^{n-1}\cdot (z\cdot b)=z^{n-1}\cdot e=z^{n-1}\Rightarrow 0_{A}=z^{n-1}$

Wiederspruch zu $z^{n-1}\neq 0_{A}$!

analog (da Multiplikation nicht kommutativ sein muss):

$0_{A}=b\cdot 0_{A}=\cdot b(z\cdot z{n-1}^{)}=(b\cdot z)\cdot z^{n-1}=e\cdot n^{n-1}=z^{n-1}\Rightarrow 0_{A}=z^{n-1}$

Wiederspruch zu $z^{n-1}\neq 0_{A}$!

Nullteiler - permanent singulär

Sei $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ sei eine unitale topologische Algebra mit dem Einselement $e\in A$ mit $e\not =0_{A}$ und $z\in A$ ein Nullteiler in $A$, dann ist $z\in A$ permanent singulär.

Beweis durch Widerspruch

Annahme: Es gibt eine Algebraerweiterung $(B,{\mathcal {T}}_{B})$ von $(A,{\mathcal {T}}_{A})$, in ein Nullteiler $z_{o}\in A$ invertierbar ist, d.h. das multiplikative Inverse Element $z_{o}^{-1}\in B$ besitzt:

$z_{o}\cdot z_{o}^{-1}=z_{o}^{-1}\cdot z_{o}=e$

Ferner nutzen wir die Eigenschaft, dass $z_{o}\in A$ ein Nullteiler in $A$ ist, d.h. $z_{o}\not =0_{A}$ und es gibt ein Element $z_{1}\not =0_{A}$ mit $z_{1}\in A$ mit:

$z_{o}\cdot z_{1}=0_{A}{\mbox{ bzw. }}z_{1}\cdot z_{o}=0_{A}$.

Wir erhalten nun den Widerspruch durch den Nachweis

$0_{A}=0_{A}\cdot z_{0}^{-1}=(z_{1}\cdot z_{0})\cdot z_{0}^{-1}=z_{1}\cdot (z_{0}\cdot z_{0}^{-1})=z_{1}\cdot e=z_{1}\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Dies ist ein Widerspruch zu $z_{1}\neq 0_{A}$

analog gilt, da die Multiplikation nicht zwingend kommutativ ist:

$0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot 0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot (z_{0}\cdot z_{1})=(z_{0}^{-1}\cdot z_{0})\cdot z_{1}=e\cdot z_{1}=z_{1}\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Dies ist ein Widerspruch zu $z_{1}\neq 0_{A}$

$0_{A}=0_{A}\cdot z_{0}^{-1}=(z_{1}\cdot z_{0})\cdot z_{0}^{-1}=z_{1}\cdot (z_{0}\cdot z_{0}^{-1})=z_{1}\cdot e=z_{1}$

$\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Widerspruch zu: $z_{1}\neq 0_{A}$

Analog gilt (da Multiplikation nicht zwingend kommutativ):

$0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot 0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot (z_{0}\cdot z_{1})=(z_{0}^{-1}\cdot z_{0})\cdot z_{1}=e\cdot z_{1}=z_{1}$

$\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Widerspruch zu: $z_{1}\neq 0_{A}$

Beweis durch Widerspruch:

$0_{A}=0_{A}\cdot z_{0}^{-1}=(z_{1}\cdot z_{0})\cdot z_{0}^{-1}=z_{1}\cdot (z_{0}\cdot z_{0}^{-1})=z_{1}\cdot e=z_{1}\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Dies steht in Widerspruch zu $z_{1}\neq 0_{A}$

Analog (da Multiplikation nicht zwingend kommutativ):

$0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot 0_{A}=z_{0}^{-1}\cdot (z_{0}\cdot z_{1})=(z_{0}^{-1}\cdot z_{0})\cdot z_{1}=e\cdot z_{1}=z_{1}\Rightarrow 0_{A}=z_{1}$

Dies widerspricht $z_{1}\neq 0_{A}$

Bemerkung

Die oben genannten Elemente sind allein durch ihre algebraischen Eigenschaften permanent singulär. Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir auch topologische Eigenschaften betrachten, die ein Element permanent singulär machen. Dazu gehören die topologischen Nullteiler in einer Algebra. Jeder Nullteiler ist auch ein topologischer Nullteiler - aber nicht umgekehrt.

Aufgaben für Lernende

• Zeigen Sie, dass ein nilpotentes Element in einer Algebra auch ein Nullteiler ist.
• Erläutern Sie, warum in den Beweisen oben die Topologie auf $A$ keine Rolle spielt. Argumentieren Sie dabei über die Eigenschaften in der topologischen Algebra, die Sie für den Nachweis der permanenten Singulärität verwendet haben.

Siehe auch

• Nullteiler
• topologische Nullteiler
• nilpotent
• topologisch kleine Potenzen

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