Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus

Einleitung

Wenn man eine Charakterisierung der ${\mathcal {K}}$ -regulären Elemente gefunden hat, identifiziert man die Einbettung der gegebenen Algebra $A$ zwar mit der Einbettung $A'\subset B$ der Algebra $A$ in die Algebraerweiterung $B$ .

Schritte: Konstruktion des Algebraisomorphismus

Bei der Konstruktion des Algebraisomorphismus kann man im Allgemeinen wiederkehrende Schritte identifizieren, die im Folgenden kurz erläutern werden sollen.

Definition eines Algebrahomomorphismus

Zunächst benötigt man einen Algebrahomomorphismus, damit die algebraischen Operationen in der Algebra $A$ verträglich auf die algebraischen Operationen in $B$ übertragen werden. Ein Algebrahomomorphismus ist dabei eine lineare Abbildung, die auch verträglich mit der Multiplikation auf $A$ ist, d.h.

$\tau (\lambda \cdot x)=\lambda \cdot \tau (x)$ für alle $\lambda \in \mathbb {K} ,\,x\in A$
$\tau (x+y)=\tau (x)+\tau (y)$ für alle $x,y\in A$
$\tau (x\cdot y)=\tau (x)\cdot \tau (y)$ für alle $x,y\in A$

Stetigkeit des Algebrahomomorphismus

Für die Definition eines Algebrahomöomorphismus benötigt man Algebraisomorphismus bei dem sowohl $\tau :A\to A'\subset B$ als auch $\tau ^{-1}:A'\to A$ stetig sind. Für eine Algebrahomomorphismus kann man zunächst nur die Stetigkeit von $\tau :A\to A'\subset B$ nachweisen.

Injektivität des Algebrahomomorphismus

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung und des Algebraisomorphimus $\tau :A\to B$ ist es wesentlich, dass man in Bild von $\tau$ die Punkte aus $\tau (A)=A'$ trennen kann. Daher man muss zunächst einmal nachweisen, dass $\tau :A\to B$ überhaupt injektiv ist, bevor man eine Umkekrabbildung $\tau ^{-1}:A'\to A$ definieren kann und wenn man diese definieren kann, muss man für die Homöomorphie auch die Stetigkeit von $\tau :A\to B$ und $\tau ^{-1}:A'\to A$ nachweisen.

Zusammenfassung: Konstruktionsschritte

Für die Konstruktion des Algebraisomorphismusgeht man wie folgt vor:

(KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus $\tau :A\to B$ und zeigt, dass dieser stetig ist.
(KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist $Kern(\tau )=\{0_{A}\}$
(KA3) man definiert mit $A':=\tau (A)\subset B$ , die Umkehrabbildung $\tau ^{-1}:A'\to A$ und zeigt, dass $\tau ^{-1}$ ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).

Veranschaulichung - Algebraisomorphismus

Bemerkung: Polynomalgebren

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung, in der ein $z\in A$ invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome $A[t]$ betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung $B$ über die Polynomalgebra konstruiert wird.

Siehe auch

Quellennachweise

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