Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus
Einleitung Bearbeiten
Wenn man eine Charakterisierung der -regulären Elemente gefunden hat, identifiziert man die Einbettung der gegebenen Algebra zwar mit der Einbettung der Algebra in die Algebraerweiterung .
Schritte: Konstruktion des Algebraisomorphismus Bearbeiten
Bei der Konstruktion des Algebraisomorphismus kann man im Allgemeinen wiederkehrende Schritte identifizieren, die im Folgenden kurz erläutern werden sollen.
Definition eines Algebrahomomorphismus Bearbeiten
Zunächst benötigt man einen Algebrahomomorphismus, damit die algebraischen Operationen in der Algebra verträglich auf die algebraischen Operationen in übertragen werden. Ein Algebrahomomorphismus ist dabei eine lineare Abbildung, die auch verträglich mit der Multiplikation auf ist, d.h.
- für alle
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Stetigkeit des Algebrahomomorphismus Bearbeiten
Für die Definition eines Algebrahomöomorphismus benötigt man Algebraisomorphismus bei dem sowohl als auch stetig sind. Für eine Algebrahomomorphismus kann man zunächst nur die Stetigkeit von nachweisen.
Injektivität des Algebrahomomorphismus Bearbeiten
Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung und des Algebraisomorphimus ist es wesentlich, dass man in Bild von die Punkte aus trennen kann. Daher man muss zunächst einmal nachweisen, dass überhaupt injektiv ist, bevor man eine Umkekrabbildung definieren kann und wenn man diese definieren kann, muss man für die Homöomorphie auch die Stetigkeit von und nachweisen.
Zusammenfassung: Konstruktionsschritte Bearbeiten
Für die Konstruktion des Algebraisomorphismusgeht man wie folgt vor:
- (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus und zeigt, dass dieser stetig ist.
- (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist
- (KA3) man definiert mit , die Umkehrabbildung und zeigt, dass ebenfalls stetig ist (siehe Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen).
Veranschaulichung - Algebraisomorphismus Bearbeiten
Bemerkung: Polynomalgebren Bearbeiten
Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung, in der ein invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung über die Polynomalgebra konstruiert wird.
Siehe auch Bearbeiten
- Algebraerweiterung
- Halbnorm
- Gaugefunktional
- Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)
- Ideal (Algebra)
- Normen, Metriken, Topologie
- Minkowski-Funktional
- P-Regularität
- P-Regularität über Quasinormen
- B-Regularität
- LC-Regularität
- MPC-Regularität
- Topologisierungslemma für Algebren
- topologische Nullteiler
- Relativtopologie
Quellennachweise Bearbeiten
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