Kurs:Funktionalanalysis/Ideal (Algebra)

Einführung

Ideale sind in einer Algebra Untervektorräume, die gegenüber der Multiplikation mit beliebigen Elementen aus der Algebra abgeschlossen sind. Ein Untervektorraum $I\subset A$ in einer Algebra $A$ mit der multiplikativen Verknüpfung $\cdot :A\times A\to A$ ist ein Linksideal, wenn gilt

$\forall _{x\in A,\,u\in I}:\,x\cdot u\in I.$

Unterschied Algebra und Ring

In der Theorie zu topologischen Invertierbarkeitskriterien benötigt man den Begriff des Ideals in topologischen Algebren. Der Begriff des Ideals basiert auf der Ringtheorie. Daher werden zunächst die Unterschiede von Idealen in einem Ring und Algebra behandelt. Im Wesentlichen besitzt die Algebra neben dem beiden inneren Verknüpfung der Multiplikation und Addition zusätzlich eine Vektorraumstruktur mit einer äußeren Verknüpfung als Multiplikation mit Skalaren.

Verknüpfungen

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ hat zwei innere Verknüpfungen eine Algebra $(A,+,\circ ,\cdot )$ hat mit der Addition $+:A\times A\to A$ und Multiplikation $\circ :A\times A\to A$ ebenfalls zwei innere Verknüpfungen in der Algebra und mit $\cdot :\mathbb {K} \times A\to A$ als Multiplikation mit Skalaren zusätzlich eine äußere Verknüpfung.

Addition

• $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe unter der Addition $+:R\times R\to R$, deren neutrales Element als Nullelement des Rings $R$ mit $0$ bezeichnet wird,
• $(A,+)$ ist ebenfalls eine abelsche Gruppe unter der Addition $+$, deren neutrales Element als Nullvektor des zugrunde liegenden Vektorraumes $A$ mit $0_{A}$ bezeichnet wird.

Multiplikation

• $(R,\,\cdot \,)$ ist eine Halbgruppe unter der Multiplikation $\cdot :R\times R\to R$. In der gängigen Schreibung bindet $\cdot$ stärker als $+$, und wird sehr häufig sogar weggelassen.
• $(A,\circ )$ ist ebenfalls eine Halbgruppe unter der Multiplikation $\circ :A\times A\to A$. Auch hier bindet $\circ$ stärker als $+$. Zur Unterscheidung von der Multiplikation mit Skalaren $\cdot :\mathbb {K} \times A\to A$ werden manchmal ein unterschiedliches Symbol $\circ$ für die innere Verknüpfung $\circ :A\times A\to A$ verwendet. Zusätzlich gelten in der Algebra die Vektorraumaxiome bzgl. der äußeren Verknüpfung.

Kommutativität der Multiplikation

Sowohl in Ringen als auch in Algebren muss die $\cdot :R\times R\to R$ bzw. $\circ :A\times A\to A$ nicht kommutativ sein (z.B. Ring der quadratischen Matrizen).

Distributivgesetze

Da die Kommuntativtät sowohl im Ring als auch in einer Algebra nicht vorausgesetzt werden können, müssen linke und rechte Distributivität als Eigenschaft formuliert werden. Es gelten die Distributivgesetze für alle $a,b,c\in R$ bzw. $x,y,z\in A$: Linke Distributivität

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\,\,{\mbox{ Ring}}$

$x\circ (y+z)=(x\circ y)+(x\circ z)\,\,{\mbox{ Algebra}}$

Rechte Distributivität

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\,\,{\mbox{ Ring}}$

$(x+y)\circ z=(x\circ z)+(y\circ z)\,\,{\mbox{ Algebra}}$

Distributivität äußere Verknüpfung

In einer Algebra $(A,+,\circ ,\cdot )$ über dem Körper $\mathbb {K}$ gilt zusätzlich die Distributivität für die äußeren Verknüpfung bzgl. Vektoren (DV) und Skalaren (DS)

• (DV) $\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w.$ (Vektoren distributiv)
• (DS) $(\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v.$ (Skalare distributiv)

Ideal in einem Ring

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge eines Rings, die das Nullelement enthält und abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion von Elementen des Ideals sowie abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit beliebigen Ringelementen ist. Beispielsweise sind Summe und Differenz zweier gerader Zahlen wieder gerade und zudem ist das Produkt einer geraden Zahl mit einer beliebigen ganzen Zahl ebenfalls gerade. Zudem ist die 0 als additiv Neutrales gerade. Das heißt, die Menge der geraden Zahlen ist ein Ideal im Ring der ganzen Zahlen.

Die Bezeichnung „Ideal“ ist abgeleitet aus dem Begriff „ideale Zahl“: Ideale können als Verallgemeinerung von Zahlen angesehen werden.

Geschichte - Ideal

Das Konzept der Ideale hat seinen Ursprung in der algebraischen Zahlentheorie des 19. Jahrhunderts bei Ernst Eduard Kummer und wurde weiterentwickelt von Richard Dedekind und Leopold Kronecker. Bei David Hilbert war ein Ideal ein System von unendlich vielen ganzen algebraischen Zahlen eines Rationalitätsbereiches (algebraischer Zahlkörper), mit der Eigenschaft, dass auch sämtliche Linearkombinationen dieser (mit ganzen algebraischen Zahlen als Koeffizienten) darin enthalten sind. Diese Definition entspricht dem heutigen Begriff des gebrochenen Ideals.

„Ideale Zahlen“

Der Ursprung der Ideale liegt in der Feststellung, dass in Ringen wie $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]=\left\{a+b\cdot {\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}$ die Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Elemente nicht gilt: So ist

$6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\cdot \left(1-{\sqrt {-5}}\right),$

und die beiden Faktoren jeder Zerlegung sind irreduzibel.

Linksideal - Rechtsideal

In der Literatur findet man häufig die Begriffe Linksideal, Rechtsideal und zweiseitiges Ideal. Die Unterscheidung ist notwendig, da sowohl Ringe als auch Algebren nicht notwendig kommuntativ bzgl. der Multiplikation sind.

Definition Ideal - Ring

Es sei $I$ eine Teilmenge eines Ringes $\mathbf {R} =(R,+,\cdot )$. $I$ heißt dann Linksideal, wenn gilt:

R1: $(I,+)$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$

R2L: Für jedes $u\in I$ und $r\in R$ ist $r\cdot u\in I$.

Entsprechend ist $I$ ein Rechtsideal, wenn Bedingung R1 und

R2R: Für jedes $u\in I$ und $r\in R$ ist $u\cdot r\in I$

erfüllt ist.

$I$ nennt man schließlich zweiseitiges Ideal oder nur kurz Ideal, falls $I$ Links- und Rechtsideal ist, also R1, R2L und R2R erfüllt.

Definition Ideal - Algebra

Es sei $I$ eine Teilmenge eine Algebra $(A,+,\cdot ,\circ )$. $I\subset A$ heißt dann Linksideal, wenn gilt:

A1: $I$ ist ein Untervektorraum von $(A,+,\cdot )$

A2L: Für jedes $u\in I$ und $x\in A$ ist $x\cdot u\in I$.

Entsprechend ist $I$ ein Rechtsideal, wenn Bedingung A1 und

A2R: Für jedes $u\in I$ und $a\in A$ ist $u\cdot x\in I$

erfüllt ist.

$I$ nennt man ebenso zweiseitiges Ideal oder nur kurz Ideal, falls $I$ Links- und Rechtsideal ist, also A1, A2L und A2R erfüllt.

Bemerkungen

• Ist die Multiplation kommutativ, dann fallen alle drei Begriffe zusammen, in einem nichtkommutativen Ring bzw. in einer nichtkommuntativen Algebra können sie sich aber unterscheiden.
• Bedingung A1 ist äquivalent zu der Forderung, dass $I$ nichtleer ist und das Untervektorraumkriterium erfüllt ist, d.h. mit $u_{1},u_{2}\in I$, $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {K}$ gilt auch $\lambda _{1}\cdot u_{1}+\lambda _{2}\cdot u_{2}\in I$ ist (siehe Untervektorraumkriterium).

Aufgabe für Studierende

• Zeigen Sie, dass die Menge $I_{o}:=\{0_{A}\}$, die nur aus dem neutralen Elemente der Addition $0_{A}$ besteht, ein Ideal einer Algebra $(A,+,\circ ,\cdot )$ ist.
• Mit $A:=Mat(2\times 2,\mathbb {R} )$ sei $(A,+,\circ ,\cdot )$ die Algebra der $2\times 2$-Matrizen mit Koeffizienten in $\mathbb {R}$ mit Matrixmultiplation $\circ$. Sei $M_{0}\in A$ nicht invertierbar. Zeigen Sie, dass $I_{1}:=\{M_{0}\circ M\,:\,M\in A\}$ ein Rechtsideal in $A$ ist, bei dem zusätzlich $I_{1}\not =A$ gilt.
• Wählen Sie für $M_{0}$ eine Matrix, die nur an einer Komponente der Matrix von 0 verschieden ist. Geben Sie die Matrizen ${\widehat {M}}:=M_{0}\circ M\in I_{1}$ allgemein bzgl. der Komponenten an.

Beispiele - Ideale im Ring

Die folgenden Beispiele sind Ideale in einem Ring, bei denen im Vergleich zur Algebra keine zusätzlich keine Vektorraumstruktur über einem Körper $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ existiert.

• Die Menge $2\cdot \mathbb {Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring $\mathbb {Z}$ aller ganzen Zahlen. $2\cdot \mathbb {Z}$ ist prinzipiell ein Unterring von $\mathbb {Z}$, in der Kategorie der Ringe mit Eins wird $2\mathbb {Z}$ jedoch (da ohne Einselement) nicht als Unterring bezeichnet.
• Die Menge $2\cdot \mathbb {Z} +1$ der ungeraden ganzen Zahlen ist kein Ideal in $\mathbb {Z}$; sie erfüllt keine der drei Bedingungen.

Beispiele - Ideale einer Algebra

Die folgenden Algebren sind grundlegende Beispiele für Polynomalgebren mit Cauchy-Multiplikation und Algebren von stetigen Funktionen, die im Kurs über topologische Invertierbarkeitskriterien im Kontext Polynomalgebren $A[t]$ mit Koeffizienten aus eine zugrunde liegenden Algebra $A$ erweitert werden. Die Ideale werden dabei für die Quotientenräume in Polynomalgebren $A[t]$ angewendet.

Beispiel - Polynomalgebra

In der Algebra $A:=\mathbb {R} [x]$ aller Polynome mit reellen Koeffizienten und Cauchy-Produkt als Multiplikation wird folgendes Ideal $I$ definiert, das aus allen Polynomen $r\in A$ besteht, die durch das Polynom $p(x)=x^{2}+1$ teilbar sind:

$I:=\left\{r\in A\,:\,\exists _{q\in A}:\,r=p\cdot q\right\}=p\cdot A,$

bildet ein Ideal in der Polynomalgebra $\mathbb {R} [x]$. Der Quotientenraum $\mathbb {R} [x]/I$ ist ein Körper und isomorph zu den komplexen Zahlen und $I$ ist sogar Maximalideal.

Beispiel - Algebra der stetigen Funktionen

Die Algebra $A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ enthält die Ideal $I_{x}:=\{f\in A\,:\,f(x)=0\}$ der Funktionen $f$, die an der Stelle $x\in \mathbb {R}$ eine Nullstelle mit $f(x)=0$. Ein anderes Ideal $I_{K}$ in $C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger, d. h. alle Funktionen $f$, für die die $Tr(f):={\overline {\{x\in \mathbb {R} \,:\,f(x)\not =0\}}}$ kompakte Menge ist (d.h. abgeschlossen und beschränkt).

Beispiel - Nullideal

Die Mengen $\{0_{A}\}$ und $A$ sind stets Ideale einer Algebra $A$. Hierbei wird $\{0_{A}\}$ Nullideal genannt.

Erzeugung von Idealen

Alle Links-, alle Rechtsideale und alle zweiseitigen Ideale bilden jeweils ein Hüllensystem. Die zugehörigen Idealoperatoren werden mit ${\mathfrak {E}}(\;),$ oder auch mit $\langle \;\rangle$ bezeichnet.

Erzeugung durch Schnitt über Ideale

Ist $U\subset A$ eine Teilmenge der Algebra $A$, dann nennt man

${\mathfrak {E}}(U):=\bigcap _{I\ \mathrm {Ideal\ von} \ A \atop \ I\supseteq U}I$

das von $U$ erzeugte Ideal in $A$. ${\mathfrak {E}}(U)$ ist das kleinste (Links-, Rechts- bzw. zweiseitige) Ideal in $A$, das $U$ enthält.

Erzeugung von Rechts- bzw. Linksidealen

Ist $U\subset A$ eine Teilmenge der Algebra $A$, dann nennt man

${\mathfrak {E}}_{R}(U):=\bigcap _{I\ \mathrm {Rechtsideal\ von} \ A \atop \ I\supseteq U}I$

das von $U$ erzeugte Rechtsideal in $A$. ${\mathfrak {E}}(U)$ ist das kleinste (Links-, Rechts- bzw. zweiseitige) Ideal in $A$, das $U$ enthält. Analog definiert.

${\mathfrak {E}}_{L}(U):=\bigcap _{I\ \mathrm {Linksideal\ von} \ A \atop \ I\supseteq U}I$

Erzeugung in unitalen Algebren

Besitzt $(A,+,\circ ,\cdot )$ ein Einselement $e_{A}$ (unital), so ist

${\mathfrak {E}}(U)=\{x_{1}\circ u_{1}\circ y_{1}+\dots +x_{n}\circ u_{n}\circ y_{n}\mid x_{i},y_{i}\in A,u_{i}\in U\},$

und wenn $(A,\circ )$ zusätzlich noch kommutativ ist, gilt sogar ${\mathfrak {E}}(U)=\{x_{1}\circ u_{1}+\dots +x_{n}\circ u_{n}\mid x_{i}\in A,u_{i}\in U\},$

Hauptideal

Das von einem Element $a\in A$ erzeugte Hauptideal ist

${\mathfrak {E}}(a):={\mathfrak {E}}\left(\{a\}\right.)$

Aufgaben zu Idealen

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf Algebren. Die Aussagen gelten ebenfalls in Ringen.

Radikale

Sei $(A,+,\circ ,\cdot )$ eine unitale Algebra mit kommutativer Multiplikation $\circ$ und einem Einselement $e_{A}\in A$ und $I\subseteq A$ ein Ideal. Zeigen Sie, dass dann auch das Radikal ${\sqrt {I}}$ von $I$, das als ${\sqrt {I}}:=\{x\in R\mid \exists r\in \mathbb {N} :x^{r}\in I\}$ definiert ist, ein Ideal ist.

Durchschnitt von Idealen

Sei $(A,+,\circ ,\cdot )$ eine unitale Algebra, so gilt für zwei Ideale $I,J\subseteq A$. Zeigen Sie, das der (mengentheoretische) Durchschnitt $I\cap J$ von zwei Idealen $I$ und $J$ wieder ein Ideal ist.

$I\cap J={\mathfrak {E}}(I\cap J)$

Vereinigung von Idealen

Geben Sie ein Gegenbeispiel an, dass die mengentheoretische Vereinigung $I\cup J$ ist im Allgemeinen kein Ideal ist. Verwenden Sie dazu z.B. die zwei Ideal $I_{x},I_{y}$ in der Algebra der stetigen Funktion von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ mit

Summen von Idealen

Seien $I,J\subseteq A$ zwei Ideale in einer Algebra $A$. Zeigen Sie, dass die Summe wieder ein Ideal ist.

$I+J:=\{a+b\mid a\in I,b\in J\}={\mathfrak {(}}I\cup J)$

Wichtig: Summen und Vereinigungen von Idealen sind im Allgemeinen unterschiedliche Konstrukte. Zeigen dazu aber die folgende Inklusion:

$I+J\supset I\cup J$

Hauptideal einer Matrix

Gegeben sind die beiden Matrizen

$E:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\,\,\,\,\,M_{0}:={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}$

mit dem Einselement $E$ in der Algebra $A:=Mat(2\times 2,\mathbb {R} )$.

• Bestimmen Sie das von $p\in A[t]$ erzeugte Ideal ${\mathfrak {E}}(p)\subset A[t]$ mit $p(t)=E\cdot t^{3}$.
• Bestimmen Sie das von $q\in A[t]$ erzeugte Rechtsideal ${\mathfrak {E}}_{R}(q)\subset A[t]$ mit $q(t)=M_{0}\cdot t$. Wie unterscheidet es sich das erzeugte Rechtsideal ${\mathfrak {E}}_{R}(q)$ von dem erzeugten Linkideal ${\mathfrak {E}}_{L}(q)\subset A[t]$? Hinweis: Nutzen Sie z.B. Maxima CAS für die Berechnung der allgemeinen Struktur der Polynome in dem Ideal.

Komplexprodukt von Idealen

Das sogenannte Komplexprodukt $I\circ J$ in einer Algebra $(A,+,\circ ,\cdot )$, das aus der Menge der Produkte von Elementen aus $I$ mit Elementen aus $J$ besteht, ist im Allgemeinen kein Ideal. Als Produkt von $I$ und $J$ wird daher das Ideal definiert, das von $IJ$ erzeugt wird:

${\mathfrak {E}}(I\circ J):={\mathfrak {E}}\left(\left\{a\circ b\mid a\in I,b\in J\right\}\right)$

Seien $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x\not =y$ und $I_{x},I_{y}\in A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$. Zeigen Sie, dass gilt

$I_{x}\cdot I_{y}:=\{f\ \in A\mid f(x)=0\wedge f(y)=0\}.$

Bemerkung Produktsymbol

Besteht keine Verwechselungsgefahr mit dem inneren Produkt $\circ$ und Multipliation mit Skalaren $\cdot :\mathbb {K} \times A\to A$ in der Algebra, dann schreibt man auch das Idealprodukt $I\circ J$ oder kurz $I\cdot J$ oder sogar nur $IJ$.

• Der Quotient von $I$ und $J$ ist ein Ideal, das alle $x\in R$ enthält, für die das Komplexprodukt $xJ$ eine Teilmenge von $I$ ist:

$I:J:=\{x\in R\mid xJ\subseteq I\}.$

Bemerkungen

• Das Produkt zweier Ideale ist stets in ihrem Schnitt enthalten: $I\cdot J\subseteq I\cap J.$ Sind $I$ und $J$ teilerfremd, also $I+J=R$, so gilt sogar Gleichheit.
• Der Idealquotient wird in der Literatur auch häufig in Klammern geschrieben: $(I:J).$
• Mit den Verknüpfungen Summe und Durchschnitt bildet die Menge aller Ideale eines Ringes einen modularen, algebraischen Verband.
• Einige wichtige Eigenschaften dieser Verknüpfungen werden in den Noetherschen Isomorphiesätzen zusammengefasst.

Echte Ideale

Ein Ideal $I$ heißt echt in einer Algebra $A$, wenn es nicht ganz $A$ ist. Dies ist bei unitalen Algebren mit $e_{A}$ genau dann der Fall, wenn $e_{A}$ nicht in dem Ideal $I$ liegt.

Maximale Ideale

Ein echtes Ideal $M$ heißt maximal, wenn es kein größeres echtes Ideal in der Algebra $A$ gibt, d. h., wenn für jedes Ideal $I$ gilt:

$M\subseteq I\subsetneq A\Rightarrow M=I$

Bemerkung: Lemma von Zorn

Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann gezeigt werden, dass jedes echte Ideal eines Rings mit $e_{A}$ in einem maximalen Ideal enthalten ist. Insbesondere besitzt jede Algebra mit Einselement $e_{A}$ (außer dem Nullring) ein maximales Ideal.

Aufgabe für Lernende

• Zeigen Sie in der Menge der stetigen Funktionen von , dass $I:=I_{x}\cap I_{y}$ mit $x\not =y$ kein maximales Ideal ist.
• Beweisen oder widerlegen Sie, dass $I_{x}$ mit $x\in \mathbb {R}$ eine maximales Ideal ist.

Primideale

Ein echtes Ideal $P$ heißt prim, wenn für alle Ideale $I,J$ gilt:

$I\cdot J\subseteq P\Rightarrow I\subseteq P$ oder $J\subseteq P$

In einer Algebra mit Einselement $e_{A}$ ist jedes maximale Ideal auch prim.

Faktoralgebren und Kerne

Ideale sind wichtig, weil sie als Kerne von Algebrahomomorphismen auftreten und die Definition von Faktorringen ermöglichen. Diese Prinzipien werden auch bei der Konstruktion von Algebraerweiterungen bei der Untersuchung von topologischen Invertierbarkeitskriterien verwendet.

Algebrahomomorphismus

Ein Algebrahomomorphismus $\tau$ von einer Algebra $A$ in eine Algebra $B$ ist eine Abbildung $\tau \colon A\to B$ mit

${\begin{array}{ll}\tau (0_{A})=0_{B},&\tau (\lambda _{1}\cdot a_{1})=\lambda _{1}\cdot \tau (a_{1})\\\tau (a_{1}+a_{2})=\tau (a_{1})+\tau (a_{2}),&\tau (a_{1}\circ a_{2})=\tau (a_{1})\circ \tau (a_{2})\end{array}}$

für alle $a_{1},a_{2}\in A$ und $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {K}$. Der Kern von $f$ ist definiert als

$Ker(f):=\{a\in A\mid \tau (a)=0_{B}\}.$

Zeigen Sie, dass der Kern ein zweiseitiges Ideal in der Algebra $A$ ist.

Quotientraum als Algebra

Startet man umgekehrt mit einem zweiseitigen Ideal $I$ von $A$, dann kann man den Quotientenraum $A/I$ (sprich: „$A$ modulo $I$“) ebenfalls als eine Algebra von Nebenklassen auffassen, dessen Elemente die Form

$a+I:=\{a+i\mid i\in I\}$

für ein $a$ aus $A$ haben. Die Abbildung

$f_{I}\colon A\to A/I,\,a\mapsto a+I$

ist ein surjektiver Algebrahomomorphismus (Algebraepimorphismus), dessen Kern genau das Ideal $I$ ist. Damit sind die Ideale einer Algebra $A$ genau die Kerne von Algebrahomomorphismen von $A$.

Algebraerweiterungen

Im Kontext von Algebraerweiterungen werden mit Hauptidealen $I:=p\cdot A[t]$ und $p(t):=z\cdot t-e_{A}$ ein Hauptideal definiert. Mit $B:=A[t]/I$ wird eine Algebraerweitung $B$ von $A$ definiert, in der ein ${\mathcal {K}}$-reguläres Element ein multiplikativ inverses Element besitzt. Dabei wird Topologie und auf $A$ und $B$ berücksichtigt, damit ein injektiver Algebrahomomorphismus $A$ in $B$ einbettet.

Literatur

• Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, ISSN 0072-7830).
• Ernst Eduard Kummer: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 35, 1847, S. 327–367.
• David Hilbert: Zahlbericht "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung", Bd. 4 S. 175–546 1897 [1]

Siehe auch

• Vektorraumaxiome der Algebra
• Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien
• Quotientenraum

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