Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen

Einleitung

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Der Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen liefert äquivalente Bedingungen zu Stetigkeit, die mit topologieerzeugende Funktionalen (Normen, Halbnormen, Gaugefunktionale).

Lineare Abbildungen - endlichdimensionale Vektorräume

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Lineare Abbildung   von einem endlichdimensionalen  -Vektorraum   in einen  -Vektorraum   sind immer stetig.

Lineare Abbildungen - nicht stetig

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Lineare Abbildung   von einem unendlichdimensionalen  -Vektorraum   in einen  -Vektorraum   sind auch nicht stetig sein (siehe Beispiele für lineare Abbildungen, die nicht stetig sind.

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung - normierte Räumen

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Seien   und   normierte Räume über dem Körper   und

  eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt  
  • (2) T ist stetig im Nullvektor  
  • (3) Es existiert ein   mit   für alle   mit  
  • (4) Es existiert ein   mit   für alle  ,

Der Beweis erfolgt als Ringschluss von (1)   (2)   (3)   (4)   (1)

Korrollar SLA für bilineare Abbildungen

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Die Aussage des Stetigkeitssatzes gilt analog für bilineare Abbildungen und normierte Räume: Seien  ,   und   normierte Räume über dem Körper   und

  eine bilineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt  
  • (2) T ist stetig im Nullvektor  
  • (3) Es existiert ein   mit   für alle   mit  
  • (4) Es existiert ein   mit   für alle  ,

Bemerkung - Produktraum als Vektorraum

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Der Produktraum   wird in natürlicher Weise zu einem  -Vektorraum durch die folgenden Verknüpfungen  :

 

Mit   wird   ebenfalls zu einem normierten Raum.

Bedeutung des Korrolars

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Für das Topologisierungslemma für Algebren ist es hilfreich, die Stetigkeit einem Punkt nachweisen zu müssen. Multiplikation mit Skalaren und die Multiplikation auf der Algebra sind in diesem Kontext bilineare Abbildungen. Dabei ist z.B.   und   mit   die submultiplikative Norm auf der Algebra  .

Aufgabe - Beweis Korollar

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Beweisen Sie das obige Korollar unter Verwendung der Beweisideen aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen. Hinweise:

  • Nutzen Sie dabei die Äquivalenz von

 .

  • Nutzen Sie für die Abschätzung für   die Linearität in jeder Komponente.

Aufgabe - Äquivalenz der Normen - Produktraum

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In dem obigen Korollar wird eine Norm   auf   definiert. Zeigen Sie, dass   eine äquivalente Norm auf   ist.

Operatornorm

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Die Bedingung (4) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen führt zur Einführung der Operatorraum. Damit macht man den Vektorraum der stetigen linearen Funktionen   als Teilmenge aller linearen Abbildungen   selbst zu einem normierten Raum. (der Index   in   steht für "continuous" stetig).

Alternative Aussage

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Alternativ zu (3) kann man die Aussage auch wie folgt formulieren

(3') Es existiert ein   mit  

Dies ist äquivalent zu

 

Definition: Operatornorm

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Seien   und   normierte Vektorräume über dem Körper   und   die Menge der linearen Abbildung von   nach  . sei   ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

 

bezüglich der Vektornormen   und   durch

 

definiert.

Bemerkung - Operatornorm

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Die Operatornorm   liefert eine kleinste obere Schranke für die Streckung von Vektoren aus der der Einheitskugel in  .

Lineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionbereich

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Für endlichdimensionale Vektorräume ist diese Unterscheidung nicht notwendig, da jede endlichdimensionale lineare Abbildung stetig ist.

Aufgabe 1

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Beweisen Sie den Satz, dass lineare Abbildungen mit einem endlichdimensionalen Definitionsbereich   stetig sind.

Beweisidee

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Sei   und   eine Basis von nomierten Vektoren für   (d.h.   für alle  ).

  • Nutzen Sie die Aussage (3) aus dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen.
  • Wählen Sie   aus der abgeschlossenen Einheitskugel  .
  • Stellen Sie   als Linearkombination der Basisvektoren dar.
  • Schätzen Sie die Norm   nach oben ab.

Bemerkung: Stetigkeit und Normbeschränktheit

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Bei stetigen linearen Abbildung von einem normierten Raum   nach   ist das Bild   der abgeschlossenen Einheitskugel   bzgl. der Norm   beschränkt.

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen

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Seien   und   topologische Vektorräume mit den Systemen von topologieerzeugenden Gaugefunktionalen über dem Körper   und

  eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt  
  • (2) T ist stetig im Nullvektor  
  • (3)  
  • (4)   ,

Beweis SLAT

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Auch der Stetigkeitssatz für Lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) wird als Ringschluss von (1)   (2)   (3)   (4)   (1) bewiesen.

Korrollar SLAT für bilineare Abbildungen

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Die Aussage des Stetigkeitssatzes gilt analog für bilineare Abbildungen und normierte Räume: Seien  ,   und   normierte Räume über dem Körper   und

  eine bilineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
  • (1) T ist stetig in jedem Punkt  
  • (2) T ist stetig im Nullvektor  
  • (3)   für alle   mit  
  • (4)   für alle  ,

Gaugefunktionale und partielle Ordnung

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Die Indexmengen   der Netze werden in Abhängigkeit von der Indexmenge der Gaugefunktionale gewählt.   ist dabei eine geeignete Wahl (siehe Gaugefunktionale und partielle Ordnung).

Siehe auch

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