Ringschluss von (1)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
klar, da der Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
Wir zeigen die Kontraposition .
Annahme: Es exisitiert eine Folge
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle ({x_{n}})_{n\in \mathbb {N} }}
B
1
‖
⋅
‖
X
(
0
X
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}}
(
T
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(T({x_{n}})\right)_{n\in \mathbb {N} }}
lim
n
→
∞
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|T({x_{n}})\right\|_{Y}=+\infty }
Wir folgern dann, dass
T
{\displaystyle T}
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
Annahme, dass die Menge
{
‖
T
(
x
)
‖
Y
|
x
∈
X
∧
‖
x
‖
X
≤
1
}
{\displaystyle \{\|T(x)\|_{Y}\ |\ x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}}
(
x
n
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
)
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }}
0
X
∈
X
{\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
≥
n
und
0
<
‖
x
n
‖
X
≤
1
{\displaystyle \|T(x_{n})\|_{Y}\geq n\quad {\mbox{ und }}0<\|x_{n}\|_{X}\leq 1}
Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in
Y
{\displaystyle Y}
(
x
n
^
)
n
∈
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }}
X
{\displaystyle X}
T
(
x
n
^
)
{\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}
B
1
‖
⋅
‖
Y
(
0
Y
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{Y}}(0_{Y})}}}
Wir definierten die Folgenglieder
x
n
^
{\displaystyle {\widehat {x_{n}}}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
(
x
n
^
)
n
∈
N
=
(
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
x
n
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
)
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }}
Damit ist die Folge
(
x
n
^
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }}
X
{\displaystyle X}
‖
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
x
n
‖
X
=
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
‖
x
n
‖
X
≤
1
n
⋅
‖
x
n
‖
X
⏟
≤
1
≤
1
n
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right\|_{X}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \left\|x_{n}\right\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\cdot \underbrace {\|x_{n}\|_{X}} _{\leq 1}\leq {\frac {1}{n}}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0}
Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge
T
(
x
n
^
)
{\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
‖
T
(
x
n
^
)
‖
Y
=
‖
T
(
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
x
n
)
‖
Y
=
T
l
i
n
‖
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
T
(
x
n
)
‖
Y
=
N
o
r
m
h
o
m
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}&=&\left\|T\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)\right\|_{Y}{\stackrel {T\,lin\,\,}{=}}\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot T(x_{n})\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom}{=}}&{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1\\\end{array}}}
Wenn also
(
x
n
^
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }}
0
X
{\displaystyle \mathbb {0} _{X}}
X
{\displaystyle X}
0
X
∈
X
{\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}
T
{\displaystyle T}
(
T
(
x
n
^
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (T({\widehat {x_{n}}}))_{n\in \mathbb {N} }}
0
Y
{\displaystyle \mathbb {0} _{Y}}
T
(
x
n
^
)
{\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}
Y
{\displaystyle Y}
(
T
(
x
n
^
)
)
n
∈
N
∈
Y
N
{\displaystyle \left(T({\widehat {x_{n}}})\right)_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}
0
Y
∈
Y
{\displaystyle \mathbb {0} _{Y}\in Y}
T
{\displaystyle T}
0
X
{\displaystyle 0_{X}}
Bearbeiten
Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein
M
>
0
{\displaystyle M>0}
‖
T
(
x
)
‖
Y
≤
M
{\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
x
‖
X
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{X}\leq 1}
M
>
0
{\displaystyle M>0}
M
>
0
{\displaystyle M>0}
x
=
0
X
{\displaystyle x=0_{X}}
x
≠
0
X
{\displaystyle x\not =0_{X}}
In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
‖
T
(
0
X
)
‖
Y
=
‖
0
Y
‖
Y
=
0
=
‖
0
X
‖
X
=
M
⋅
‖
0
X
‖
X
{\displaystyle \|T(0_{X})\|_{Y}=\|0_{Y}\|_{Y}=0=\|0_{X}\|_{X}=M\cdot \|0_{X}\|_{X}}
In Fall 2 sei nun
x
≠
0
X
{\displaystyle x\not =0_{X}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
^
:=
x
‖
x
‖
X
{\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}}
B
1
‖
⋅
‖
X
(
0
X
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}}
X
{\displaystyle X}
‖
x
^
‖
X
=
‖
x
‖
x
‖
X
‖
X
=
‖
x
‖
X
‖
x
‖
X
=
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{X}=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right\|_{X}={\frac {\|x\|_{X}}{\|x\|_{X}}}=1}
Da nun
‖
x
^
‖
X
≤
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{X}\leq 1}
x
^
:=
x
‖
x
‖
X
{\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}}
M
≥
‖
T
(
x
^
)
‖
Y
=
‖
T
(
x
‖
x
‖
X
)
‖
Y
=
T
l
i
n
‖
1
‖
x
‖
X
⋅
T
(
x
)
‖
Y
=
N
o
r
m
h
o
m
.
|
1
‖
x
‖
X
|
⋅
‖
T
(
x
)
‖
Y
=
1
‖
x
‖
X
⋅
‖
T
(
x
)
‖
Y
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}M&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{Y}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot T(x)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\right|\cdot \|T(x)\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}\end{array}}}
Insgesamt erhält man (3):
M
≥
‖
T
(
x
^
)
‖
Y
=
1
‖
x
‖
X
⋅
‖
T
(
x
)
‖
Y
{\displaystyle M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}}
‖
T
(
x
)
‖
Y
≤
M
⋅
‖
x
‖
X
{\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}}
Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein
M
>
0
{\displaystyle M>0}
‖
T
(
x
)
‖
Y
≤
M
⋅
‖
x
‖
X
{\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung
T
{\displaystyle T}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
D.h. wir zeigen, dass aus
lim
n
→
∞
‖
⋅
‖
X
x
n
=
x
o
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}}
lim
n
→
∞
‖
⋅
‖
Y
T
(
x
n
)
=
T
(
x
o
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{Y}}T(x_{n})=T(x_{o})}
T
(
x
o
)
{\displaystyle T(x_{o})}
Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.
Für den Nachweis der Stetigkeit von
T
{\displaystyle T}
X
{\displaystyle X}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
(
x
n
)
n
∈
N
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}
X
{\displaystyle X}
lim
n
→
∞
‖
⋅
‖
X
x
n
=
x
o
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
‖
⋅
‖
X
{\displaystyle \|\cdot \|_{X}}
(
T
(
x
n
)
)
n
∈
N
∈
Y
N
{\displaystyle (T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}
T
(
x
0
)
∈
Y
{\displaystyle T(x_{0})\in Y}
Für den Nachweis der Konvergenz der Folge
(
T
(
x
n
)
)
n
∈
N
∈
Y
N
{\displaystyle (T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}
T
(
x
0
)
∈
Y
{\displaystyle T(x_{0})\in Y}
T
(
x
n
)
{\displaystyle T(x_{n})}
T
(
x
o
)
{\displaystyle T(x_{o})}
0
≤
‖
T
(
x
n
)
−
T
(
x
0
)
‖
Y
=
T
l
i
n
.
‖
T
(
x
n
−
x
0
)
‖
Y
≤
(
4
)
M
⋅
‖
x
n
−
x
0
‖
X
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&\leq &\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{n}-x_{0})\|_{Y}\\&{\stackrel {(4)}{\leq }}&M\cdot \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0\\\end{array}}}
da
(
x
n
)
n
∈
N
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}
X
{\displaystyle X}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
‖
x
n
−
x
0
‖
X
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0}
‖
T
(
x
n
)
−
T
(
x
0
)
‖
Y
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0}
Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen.
◻
{\displaystyle \Box }
