Ringschluss von (1)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
(2)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
(3)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
(4)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
(1)
Folgerung (1) nach (2)
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klar, da der Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
Folgerung (2) nach (3)
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Wir zeigen die Kontraposition .
Annahme: Es exisitiert eine Folge
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle ({x_{n}})_{n\in \mathbb {N} }}
aus der abgeschlossenen Einheitskugel
B
1
‖
⋅
‖
X
(
0
X
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}}
, die eine unbeschränkte Bildfolge
(
T
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(T({x_{n}})\right)_{n\in \mathbb {N} }}
mit
lim
n
→
∞
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|T({x_{n}})\right\|_{Y}=+\infty }
besitzt.
Wir folgern dann, dass
T
{\displaystyle T}
in dem Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
nicht stetig ist.
Folgerung (2) nach (3) - Teil 1
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Annahme, dass die Menge
{
‖
T
(
x
)
‖
Y
|
x
∈
X
∧
‖
x
‖
X
≤
1
}
{\displaystyle \{\|T(x)\|_{Y}\ |\ x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}}
unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge
(
x
n
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
)
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }}
mit dem Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}
mit
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
≥
n
und
0
<
‖
x
n
‖
X
≤
1
{\displaystyle \|T(x_{n})\|_{Y}\geq n\quad {\mbox{ und }}0<\|x_{n}\|_{X}\leq 1}
.
Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in
Y
{\displaystyle Y}
erzeugen wir nun ein Nullfolge in
(
x
n
^
)
n
∈
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }}
in
X
{\displaystyle X}
, dessen Bildfolgenglieder
T
(
x
n
^
)
{\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}
auf dem topologischen Rand der Einheitskugel
B
1
‖
⋅
‖
Y
(
0
Y
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{Y}}(0_{Y})}}}
liegen.
Folgerung (2) nach (3) - Teil 2
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Wir definierten die Folgenglieder
x
n
^
{\displaystyle {\widehat {x_{n}}}}
über die
x
n
{\displaystyle x_{n}}
aus Teil 1 wie folgt.
(
x
n
^
)
n
∈
N
=
(
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
x
n
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
)
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }}
Damit ist die Folge
(
x
n
^
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }}
eine Nullfolge in
X
{\displaystyle X}
, denn es gilt:
‖
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
x
n
‖
X
=
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
‖
x
n
‖
X
≤
1
n
⋅
‖
x
n
‖
X
⏟
≤
1
≤
1
n
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right\|_{X}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \left\|x_{n}\right\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\cdot \underbrace {\|x_{n}\|_{X}} _{\leq 1}\leq {\frac {1}{n}}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0}
Folgerung (2) nach (3) - Teil 3
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Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge
T
(
x
n
^
)
{\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}
auf dem Rand der Einheitskugel in
Y
{\displaystyle Y}
und kann daher keine Nullfolge in
Y
{\displaystyle Y}
sein, denn es gilt:
‖
T
(
x
n
^
)
‖
Y
=
‖
T
(
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
x
n
)
‖
Y
=
T
l
i
n
‖
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
T
(
x
n
)
‖
Y
=
N
o
r
m
h
o
m
1
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
⋅
‖
T
(
x
n
)
‖
Y
=
1
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}&=&\left\|T\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)\right\|_{Y}{\stackrel {T\,lin\,\,}{=}}\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot T(x_{n})\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom}{=}}&{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1\\\end{array}}}
Folgerung (2) nach (3) - Teil 4
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Wenn also
(
x
n
^
)
n
∈
N
∈
(
X
∖
{
0
X
}
N
{\displaystyle ({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }}
gegen den Nullvektor
0
X
{\displaystyle \mathbb {0} _{X}}
aus
X
{\displaystyle X}
muss bei einer im Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle \mathbb {0} _{X}\in X}
linearen Abbildung
T
{\displaystyle T}
auch die Bildfolge
(
T
(
x
n
^
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (T({\widehat {x_{n}}}))_{n\in \mathbb {N} }}
gegen den Nullvektor
0
Y
{\displaystyle \mathbb {0} _{Y}}
konvergieren. Da aber die Bildfolgenglieder
T
(
x
n
^
)
{\displaystyle T({\widehat {x_{n}}})}
auf dem Rand der Einheitskugel in
Y
{\displaystyle Y}
liegen, kann die Bildfolge
(
T
(
x
n
^
)
)
n
∈
N
∈
Y
N
{\displaystyle \left(T({\widehat {x_{n}}})\right)_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}
nicht gegen den Nullvektor
0
Y
∈
Y
{\displaystyle \mathbb {0} _{Y}\in Y}
konvergieren. Damit ist die lineare Abbildung
T
{\displaystyle T}
in
0
X
{\displaystyle 0_{X}}
nicht stetig.
Folgerung (3) nach (4) - Fallunterscheidung
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Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein
M
>
0
{\displaystyle M>0}
mit
‖
T
(
x
)
‖
Y
≤
M
{\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M}
für alle
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
mit
‖
x
‖
X
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{X}\leq 1}
. Man wählt für das gesucht
M
>
0
{\displaystyle M>0}
der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene
M
>
0
{\displaystyle M>0}
und betrachtet die Fallunterscheidung für
x
=
0
X
{\displaystyle x=0_{X}}
und
x
≠
0
X
{\displaystyle x\not =0_{X}}
:
Folgerung (3) nach (4) - Fall 1
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In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
efüllt ist. Es gilt:
‖
T
(
0
X
)
‖
Y
=
‖
0
Y
‖
Y
=
0
=
‖
0
X
‖
X
=
M
⋅
‖
0
X
‖
X
{\displaystyle \|T(0_{X})\|_{Y}=\|0_{Y}\|_{Y}=0=\|0_{X}\|_{X}=M\cdot \|0_{X}\|_{X}}
Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.1
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In Fall 2 sei nun
x
≠
0
X
{\displaystyle x\not =0_{X}}
und
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
beliebig gewählt. Dann liegt der Vektor
x
^
:=
x
‖
x
‖
X
{\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}}
auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel
B
1
‖
⋅
‖
X
(
0
X
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}}
in
X
{\displaystyle X}
, denn es gilt:
‖
x
^
‖
X
=
‖
x
‖
x
‖
X
‖
X
=
‖
x
‖
X
‖
x
‖
X
=
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{X}=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right\|_{X}={\frac {\|x\|_{X}}{\|x\|_{X}}}=1}
Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.2
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Da nun
‖
x
^
‖
X
≤
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{X}\leq 1}
erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf
x
^
:=
x
‖
x
‖
X
{\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}}
angewendet werden und man erhält:
M
≥
‖
T
(
x
^
)
‖
Y
=
‖
T
(
x
‖
x
‖
X
)
‖
Y
=
T
l
i
n
‖
1
‖
x
‖
X
⋅
T
(
x
)
‖
Y
=
N
o
r
m
h
o
m
.
|
1
‖
x
‖
X
|
⋅
‖
T
(
x
)
‖
Y
=
1
‖
x
‖
X
⋅
‖
T
(
x
)
‖
Y
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}M&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{Y}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot T(x)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\right|\cdot \|T(x)\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}\end{array}}}
Insgesamt erhält man (3):
M
≥
‖
T
(
x
^
)
‖
Y
=
1
‖
x
‖
X
⋅
‖
T
(
x
)
‖
Y
{\displaystyle M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}}
bzw.
‖
T
(
x
)
‖
Y
≤
M
⋅
‖
x
‖
X
{\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}}
Folgerung (4) nach (1) - Teil 1
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Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein
M
>
0
{\displaystyle M>0}
mit
‖
T
(
x
)
‖
Y
≤
M
⋅
‖
x
‖
X
{\displaystyle \|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}}
für alle
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
.
Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung
T
{\displaystyle T}
in einem beliebigen Punkt
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
stetig ist.d
D.h. wir zeigen, dass aus
lim
n
→
∞
‖
⋅
‖
X
x
n
=
x
o
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}}
auch die Konvergenz der Bildfolge
lim
n
→
∞
‖
⋅
‖
Y
T
(
x
n
)
=
T
(
x
o
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{Y}}T(x_{n})=T(x_{o})}
gegen
T
(
x
o
)
{\displaystyle T(x_{o})}
erfüllt ist. Über dem Limes steht die Norm, bzgl. der die Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.
Folgerung (4) nach (1) - Teil 1
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Für den Nachweis der Stetigkeit von
T
{\displaystyle T}
in jedem Punkt aus
X
{\displaystyle X}
sei nun
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
beliebig gewählt. Ferner sei ein Folge
(
x
n
)
n
∈
N
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}
in
X
{\displaystyle X}
mit
lim
n
→
∞
‖
⋅
‖
X
x
n
=
x
o
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}}
gegeben, die also gegen
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
bzgl. der Norm
‖
⋅
‖
X
{\displaystyle \|\cdot \|_{X}}
konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildfolge
(
T
(
x
n
)
)
n
∈
N
∈
Y
N
{\displaystyle (T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}
gegen
T
(
x
0
)
∈
Y
{\displaystyle T(x_{0})\in Y}
verwenden man die Linearität und die Einschachtelung der Bildfolge durch Verwendung der Ungleichung (4).
Folgerung (4) nach (1) - Teil 2
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Für den Nachweis der Konvergenz der Folge
(
T
(
x
n
)
)
n
∈
N
∈
Y
N
{\displaystyle (T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }}
gegen
T
(
x
0
)
∈
Y
{\displaystyle T(x_{0})\in Y}
wird Abstand zwischen Folgengliedern
T
(
x
n
)
{\displaystyle T(x_{n})}
und
T
(
x
o
)
{\displaystyle T(x_{o})}
wie folgt abgeschätzt:
0
≤
‖
T
(
x
n
)
−
T
(
x
0
)
‖
Y
=
T
l
i
n
.
‖
T
(
x
n
−
x
0
)
‖
Y
≤
(
4
)
M
⋅
‖
x
n
−
x
0
‖
X
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&\leq &\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{n}-x_{0})\|_{Y}\\&{\stackrel {(4)}{\leq }}&M\cdot \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0\\\end{array}}}
,
da
(
x
n
)
n
∈
N
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}
in
X
{\displaystyle X}
gegen
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
konvergiert und mit
‖
x
n
−
x
0
‖
X
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0}
durch Abschätzung auch
‖
T
(
x
n
)
−
T
(
x
0
)
‖
Y
n
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0}
konvergiert.
Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen.
◻
{\displaystyle \Box }