Der Stetigkeitssatz für Lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) wird als
Ringschluss von (1)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
klar, da der Nullvektor
0
X
∈
X
{\displaystyle 0_{X}\in X}
Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume erhält man für die Stetigkeit in
x
o
=
0
X
∈
X
{\displaystyle x_{o}=0_{X}\in X}
∀
U
ε
∈
U
T
Y
(
T
(
x
o
)
)
∃
U
δ
∈
U
T
X
(
x
o
)
∀
x
∈
X
:
x
∈
U
δ
⟹
T
(
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle \forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(T(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow T(x)\in U_{\varepsilon }}
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Da
(
X
,
‖
⋅
‖
A
)
{\displaystyle (X,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}
(
Y
,
‖
⋅
‖
A
~
)
{\displaystyle (Y,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}
topologische Räume sind und die Systemen von Gaugefunktionalen die Topologie erzeugen, gibt es für jede Nullumgebung
U
δ
{\displaystyle U_{\delta }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
δ
o
>
0
{\displaystyle \delta _{o}>0}
U
ε
{\displaystyle U_{\varepsilon }}
α
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
ε
o
>
0
{\displaystyle \varepsilon _{o}>0}
B
δ
o
α
(
0
X
)
⊂
U
δ
∧
B
ε
o
α
~
(
0
Y
)
⊂
U
ε
{\displaystyle B_{\delta _{o}}^{\alpha }(0_{X})\subset U_{\delta }\ \wedge \ B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})\subset U_{\varepsilon }}
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Da es nach dem
ε
−
δ
{\displaystyle \varepsilon -\delta }
U
ε
{\displaystyle U_{\varepsilon }}
U
δ
{\displaystyle U_{\delta }}
U
ε
:=
B
ε
o
α
~
(
0
Y
)
{\displaystyle U_{\varepsilon }:=B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})}
0
Y
{\displaystyle 0_{Y}}
U
δ
{\displaystyle U_{\delta }}
x
∈
U
δ
{\displaystyle x\in U_{\delta }}
T
(
x
)
∈
B
ε
o
α
~
(
0
Y
)
=
U
ε
{\displaystyle T(x)\in B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})=U_{\varepsilon }}
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Durch Anwendung auf die Gaugefunktionale erhält man die Abschätzungen:
‖
x
‖
α
<
δ
o
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }<\delta _{o}}
x
∈
B
δ
o
α
(
0
X
)
⊂
U
δ
{\displaystyle x\in B_{\delta _{o}}^{\alpha }(0_{X})\subset U_{\delta }}
‖
y
‖
α
~
<
ε
o
{\displaystyle \|y\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon _{o}}
y
∈
B
ε
o
α
~
(
0
Y
)
=
U
ε
{\displaystyle y\in B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})=U_{\varepsilon }}
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Mit der ersten Abschätzung und der Homogenität von Gaugefunktionalen folgt aus
‖
x
‖
α
<
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }<1}
‖
δ
o
⋅
x
‖
α
<
δ
o
{\displaystyle \|\delta _{o}\cdot x\|_{\alpha }<\delta _{o}}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
x
∈
U
δ
⟹
T
(
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle x\in U_{\delta }\Longrightarrow T(x)\in U_{\varepsilon }}
T
(
δ
o
⋅
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle T(\delta _{o}\cdot x)\in U_{\varepsilon }}
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Für Bedingung (3) benötigt man eine Abschätzung für
‖
x
‖
α
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq 1}
‖
x
‖
α
<
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }<1}
‖
x
‖
α
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq 1}
‖
δ
o
2
⋅
x
‖
α
≤
δ
o
2
<
δ
0
{\displaystyle \left\|{\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\right\|_{\alpha }\leq {\frac {\delta _{o}}{2}}<\delta _{0}}
‖
x
‖
α
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq 1}
δ
o
2
⋅
x
∈
B
δ
o
α
(
0
X
)
{\displaystyle {\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\in B_{\delta _{o}}^{\alpha }(0_{X})}
T
(
δ
o
2
⋅
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle T\left({\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\right)\in U_{\varepsilon }}
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Mit
y
:=
T
(
δ
o
2
⋅
x
)
∈
U
ε
{\displaystyle y:=T\left({\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\right)\in U_{\varepsilon }}
‖
y
‖
α
~
<
ε
o
{\displaystyle \|y\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon _{o}}
y
∈
U
ε
{\displaystyle y\in U_{\varepsilon }}
‖
T
(
δ
⋅
x
)
‖
α
~
<
ε
o
{\displaystyle \|T(\delta \cdot x)\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon _{o}}
Gaugefunktionalen für alle
‖
x
‖
α
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq 1}
‖
T
(
x
)
‖
α
~
=
2
δ
o
⋅
‖
T
(
δ
o
2
⋅
x
)
‖
α
~
⏟
<
ε
o
<
2
δ
o
⋅
ε
o
⏟
:=
M
α
=
M
α
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}={\frac {2}{\delta _{o}}}\cdot \underbrace {{\bigg \|}T{\bigg (}{\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x{\bigg )}{\bigg \|}_{\widetilde {\alpha }}} _{<\varepsilon _{o}}<\underbrace {{\frac {2}{\delta _{o}}}\cdot \varepsilon _{o}} _{:=M_{\alpha }}=M_{\alpha }}
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Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Zu jedem
α
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
M
α
>
0
{\displaystyle M_{\alpha }>0}
‖
T
(
x
)
‖
α
~
≤
M
α
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
x
‖
α
≤
1
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq 1}
M
α
>
0
{\displaystyle M_{\alpha }>0}
M
>
0
{\displaystyle M>0}
‖
T
(
x
)
‖
α
~
=
0
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}=0}
‖
T
(
x
)
‖
α
~
≠
0
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\not =0}
In Fall 1 weisen wir die Ungleichung (4) für den Fall
‖
T
(
x
)
‖
α
~
=
0
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}=0}
‖
T
(
x
)
‖
α
~
=
0
≤
M
α
⏟
>
0
⋅
‖
x
‖
α
~
⏟
≥
0
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}=0\leq \underbrace {M_{\alpha }} _{>0}\cdot \underbrace {\|x\|_{\widetilde {\alpha }}} _{\geq 0}}
In Fall 2 sei nun
‖
T
(
x
)
‖
α
~
≠
0
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\not =0}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
x
‖
α
>
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }>0}
x
^
:=
x
‖
x
‖
α
{\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}}
B
1
(
α
)
(
0
X
)
¯
{\displaystyle {\overline {B_{1}^{(\alpha )}(0_{X})}}}
X
{\displaystyle X}
‖
x
^
‖
α
=
‖
x
‖
x
‖
α
‖
α
=
‖
x
‖
α
‖
x
‖
α
=
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{\alpha }=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right\|_{\alpha }={\frac {\|x\|_{\alpha }}{\|x\|_{\alpha }}}=1}
Da nun
‖
x
^
‖
α
≤
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{\alpha }\leq 1}
x
^
:=
x
‖
x
‖
α
{\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}}
M
α
≥
‖
T
(
x
^
)
‖
α
~
=
‖
T
(
x
‖
x
‖
α
)
‖
α
~
=
T
l
i
n
‖
1
‖
x
‖
α
⋅
T
(
x
)
‖
α
~
=
‖
⋅
‖
α
~
h
o
m
.
|
1
‖
x
‖
α
|
⋅
‖
T
(
x
)
‖
α
~
=
1
‖
x
‖
α
⋅
‖
T
(
x
)
‖
α
~
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}M_{\alpha }&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{\widetilde {\alpha }}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\cdot T(x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&{\stackrel {\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\right|\cdot \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}={\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\cdot \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\end{array}}}
Die Normierung zu
‖
x
^
‖
α
=
1
{\displaystyle \|{\widehat {x}}\|_{\alpha }=1}
‖
x
‖
α
>
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }>0}
‖
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}
‖
T
(
x
^
)
‖
α
~
>
0
{\displaystyle \|T({\widehat {x}})\|_{\widetilde {\alpha }}>0}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}
0
<
‖
T
(
x
)
‖
α
~
≤
M
α
{\displaystyle 0<\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }}
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Es gilt keine
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
‖
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}
0
<
‖
T
(
x
)
‖
α
~
≤
M
α
{\displaystyle 0<\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }}
‖
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}
‖
λ
⋅
x
‖
α
=
0
<
1
{\displaystyle \|\lambda \cdot x\|_{\alpha }=0<1}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
M
α
{\displaystyle M_{\alpha }}
T
{\displaystyle T}
Gaugefunktionals
‖
λ
⋅
x
‖
α
=
0
<
1
{\displaystyle \|\lambda \cdot x\|_{\alpha }=0<1}
‖
T
(
λ
⋅
x
)
‖
α
~
=
|
λ
|
⋅
‖
T
(
x
)
‖
α
~
⏟
>
0
{\displaystyle \|T(\lambda \cdot x)\|_{\widetilde {\alpha }}=|\lambda |\cdot \underbrace {\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}} _{>0}}
Da nach (3) eine Schranke
M
α
{\displaystyle M_{\alpha }}
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
‖
x
‖
α
=
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}
Insgesamt erhält man (3): Für alle
α
~
∈
A
~
{\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}
‖
x
‖
α
>
0
{\displaystyle \|x\|_{\alpha }>0}
M
α
≥
‖
T
(
x
^
)
‖
α
~
=
1
‖
x
‖
α
⋅
‖
T
(
x
)
‖
α
~
{\displaystyle M_{\alpha }\geq \|T({\widehat {x}})\|_{\widetilde {\alpha }}={\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\cdot \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}}
bzw. die Ungleichung
‖
T
(
x
)
‖
α
~
≤
M
⋅
‖
x
‖
α
{\displaystyle \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M\cdot \|x\|_{\alpha }}
Nach Voraussetzung gelte (4)
∀
α
~
∈
A
~
∃
α
∈
A
,
M
α
>
0
∀
x
∈
X
:
‖
T
(
x
)
‖
A
~
≤
M
α
⋅
‖
x
‖
α
{\displaystyle \forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},\,M_{\alpha }>0}\forall _{x\in X}\,:\,\|T(x)\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\leq M_{\alpha }\cdot \|x\|_{\alpha }}
Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung
T
{\displaystyle T}
x
o
∈
X
{\displaystyle x_{o}\in X}
D.h. wir zeigen, dass aus
lim
i
→
∞
‖
⋅
‖
A
x
i
=
x
o
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}x_{i}=x_{o}}
lim
i
→
∞
‖
⋅
‖
A
~
T
(
x
i
)
=
T
(
x
o
)
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}T(x_{i})=T(x_{o})}
T
(
x
o
)
{\displaystyle T(x_{o})}
Konvergenz definiert wird.
Für den Nachweis der Stetigkeit von
T
{\displaystyle T}
X
{\displaystyle X}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X^{I}}
X
{\displaystyle X}
lim
i
→
∞
‖
⋅
‖
A
x
i
=
x
o
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}x_{i}=x_{o}}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
Gaugefunktionalsystems
‖
⋅
‖
A
{\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}
(
T
(
x
i
)
)
i
∈
I
∈
Y
I
{\displaystyle (T(x_{i}))_{i\in I}\in Y^{I}}
T
(
x
0
)
∈
Y
{\displaystyle T(x_{0})\in Y}
Zunächst einmal drücken wir die Konvergenzaussage für Netze in der Topologie durch die Gaugefunktionalsysteme aus.
lim
i
→
∞
‖
⋅
‖
A
x
i
=
x
o
⟺
∀
α
∈
A
,
δ
>
0
∃
i
(
α
,
δ
)
∈
I
∀
i
≻
i
(
α
,
δ
)
:
‖
x
i
−
x
o
‖
α
<
δ
{\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}&x_{i}=x_{o}\,\,\Longleftrightarrow \\&\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},\delta >0}\exists _{i_{(\alpha ,\delta )}\in I}\forall _{i\succ i_{(\alpha ,\delta )}}\,:\,\|x_{i}-x_{o}\|_{\alpha }<\delta \end{array}}}
lim
i
~
→
∞
‖
⋅
‖
A
~
T
(
x
i
)
=
T
(
x
o
)
⟺
∀
α
~
∈
A
~
,
ε
>
0
∃
i
(
α
~
,
ε
)
∈
I
∀
i
≻
i
(
α
~
,
ε
)
:
‖
T
(
x
i
)
−
T
(
x
o
)
‖
α
~
<
ε
{\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \lim _{{\widetilde {i}}\to \infty }^{\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}&T(x_{i})=T(x_{o})\,\,\Longleftrightarrow \\&\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},\varepsilon >0}\exists _{i_{({\widetilde {\alpha }},\varepsilon )}\in I}\forall _{i\succ i_{({\widetilde {\alpha }},\varepsilon )}}:\|T(x_{i})-T(x_{o})\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon \end{array}}}
Für den Nachweis der Konvergenz des Netzes
(
T
(
x
i
)
)
i
∈
I
∈
Y
I
{\displaystyle (T(x_{i}))_{i\in I}\in Y^{I}}
T
(
x
0
)
∈
Y
{\displaystyle T(x_{0})\in Y}
T
(
x
i
)
{\displaystyle T(x_{i})}
T
(
x
o
)
{\displaystyle T(x_{o})}
0
≤
‖
T
(
x
i
)
−
T
(
x
0
)
‖
α
~
=
T
l
i
n
.
‖
T
(
x
i
−
x
0
)
‖
α
~
≤
(
4
)
M
α
⋅
‖
x
i
−
x
0
‖
α
i
→
∞
⟶
0
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&\leq &\|T(x_{i})-T(x_{0})\|_{\widetilde {\alpha }}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{i}-x_{0})\|_{\widetilde {\alpha }}\\&{\stackrel {(4)}{\leq }}&M_{\alpha }\cdot \|x_{i}-x_{0}\|_{\alpha }{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle i\to \infty }}0\\\end{array}}}
da
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X^{I}}
X
{\displaystyle X}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
‖
x
i
−
x
0
‖
α
i
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \|x_{i}-x_{0}\|_{\alpha }{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle i\to \infty }}0}
‖
T
(
x
i
)
−
T
(
x
0
)
‖
α
~
i
→
∞
⟶
0
{\displaystyle \|T(x_{i})-T(x_{0})\|_{\widetilde {\alpha }}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle i\to \infty }}0}
Damit wurde mit dem Ringschluss die Äquivalenz der Aussagen (1)-(4) nachgewiesen.
◻
{\displaystyle \Box }
